高等数学同济版下册期末考试题和答案解析四套

高等数学（下册）期末考试试卷（一）
一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分
⎰⎰≤++1
||||22
)ln(y x dxdy y x
的符号为。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()
()(βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑
ds y x )122（。

6、微分方程
x
y
x y dx dy tan +=的通解为。

7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑
∞
=+1)
1(1
n n n 的和为。

二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；
（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；
（D ）0)
()(),(),(lim 2
2
00000
=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆
y x y
y x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y
u
y x u x ∂∂+∂∂等于（）
（A ）y x +；（B ）x ；(C)y ；(D)0。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω
=zdV I 等于（）
（A ）4⎰⎰⎰20
20
1
3
cos sin π
π
ϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰20
1
2sin π
πϕϕθdr r d d ；
（C ）⎰⎰⎰π
π
ϕϕϕθ202010
3cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20
1
3cos sin dr r d d 。

4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（）
（A ）⎰⎰
-20
cos 20
2
244π
θθa dr r a d ；（B ）⎰⎰
-20
cos 20
2244π
θθa dr r a r d ；
（C ）⎰⎰
-20
cos 20
2
248π
θθa dr r a r d ；（D ）⎰
⎰
-
-22
cos 20
224π
πθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+L
Qdy Pdx )(
（A ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy x Q y P )(
；（B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P
y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y Q x P )(
；（D ）⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y P x Q )(。

6、下列说法中错误的是（） （A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx
dy
x dx dy y
sin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ）
方程
x
y
x dx dy 221=
+是伯努利方程。

7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （） （A ）x e x 2sin -；（B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -；（D ）x e x 2sin 。

8、设0lim =∞
→n n nu ,则∑∞
=1n n u （）
（A ）收敛；（B ）发散；（C ）不一定；（D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）
1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。

)(),,(xy x g v xy x f u +==， 求
y
u x u ∂∂∂∂,。

2、（8分）设⎰
+-=t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u x u ∂∂∂∂,。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算=I ⎰⎰-2
2
2
x
y dy e dx 。

（7分）
2、计算⎰⎰⎰Ω
+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）
五、（13分）计算⎰+
+-=L
y x ydx
xdy I 2
2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原
点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)
()(1)
()()(y f x f y f x f y x f -+=
+，且)0(f '存在，求)(x f 。

七、（8分）求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛区间。

高等数学（下册）期末考试试卷（二）
1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则
=∂∂+∂∂y
z x z 。

2、=+-→→xy
xy
y x 93lim。

3、设⎰⎰
=2
2),(x x
dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰
≤+→=++2
22)(1lim
223
0t y x t d y x f t σπ。

5、设L 为取正向的圆周422=+y x ，则曲线积分
⎰
=-++L
x x dy x ye dx ye y )2()1(。

6、设→
→
→
+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(2
2
2
，则=A div 。

7、通解为x x e c e c y 221-+=的微分方程是。

8、设⎩⎨
⎧<<<≤--=π
πx x x f 0,
10,1)(，则它的Fourier 展开式中的=n a 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）。

1、设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=+≠++=0
,00,),(22224
22
y x y x y x xy y x f ,则在点（0，0）处（）
（A ）连续且偏导数存在；（B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在；（D ）不连续且偏导数不存在。

2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及+∂∂22x u 022=∂∂y
u ，
则（）
（A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上。

3、设平面区域D ：1)1()2(22≤-+-y x ，若⎰⎰+=D
d y x I σ21)(，⎰⎰+=D
d y x I σ32)(
则有（）
（A ）21I I <；（B ）21I I =；（C ）21I I >；（D ）不能比较。

4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域，则⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 32=（）
（A ）
3611；（B ）3621；（C ）3631；（D ）364
1。

5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎩
⎨
⎧==)()
(t y t x ψϕ)(βα≤≤t ，
其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则曲线积分⎰=L
ds y x f ),(（） (A)⎰β
αψϕdt t t f ))(),((；(B)⎰'+'α
β
ψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22；
(C)⎰'+'β
α
ψϕψϕdt t t t t f )()())(),((2
2；(D)⎰α
β
ψϕdt t t f ))(),((。

6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x ，则曲面积分
⎰⎰∑
++zdxdy ydzdx xdydz =（）
(A)0；(B)π2；(C)π；(D)π4。

7、下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知21y y +也是它的解的方程是（） (A)0)()(=++'x q y x p y ；(B)0)()(=+'+''y x q y x p y ； (C))()()(x f y x q y x p y =+'+''；(D)0)()(=+'+''x q y x p y 。

8、设级数∑∞
=1n n a 为一交错级数，则（）
(A)该级数必收敛；(B)该级数必发散；
(C)该级数可能收敛也可能发散；(D)若)0(0→→n a n ，则必收敛。

三、求解下列问题（共计15分）
1、（8分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （0，1，0）沿A 指向点B （3，-2，2） 的方向的方向导数。

2、（7分）求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算⎰⎰⎰
Ω
+++=3
)
1(z y x dv
I ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω
++=dv y x f z t F )]([)(222，
其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dt
dF 。

五、求解下列问题（15分）
1、（8分）求⎰-+-=L x x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (，其中L 是从A （a ，0）经2x ax y -=到
O （0，0）的弧。

2、（7分）计算⎰⎰∑
++=dxdy z dzdx y dydz x I 222，其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+的外侧。

六、（15分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分
⎰
'++-'L
x dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关，求函数)(x ϕ。

高等数学（下册）期末考试试卷（三）
一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设⎰=yz
xz t dt e u 2
，则
=∂∂z
u。

2、函数)2sin(),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=l 的方向导数
)
0,0(l
f ∂∂=。

3、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω
=dv z y x f I ),,(化为先对
z 再对y 最后对x 三次积分，则I=。

4、设),(y x f 为连续函数，则=I ⎰⎰=+→D
t d y x f t σπ),(1lim
2
0，其中222
:t y x
D ≤+。

5、⎰=+L ds y x )(22，其中222:a y x L =+。

6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面Ω∂是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数
),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分
之间有关系式：，该关系式称为公式。

7、微分方程96962+-=+'-''x x y y y 的特解可设为=*y 。

8、若级数∑∞
=--1
1
)1(n p
n n 发散，则p 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）
1、设),(b a f x '存在，则x
b x a f b a x f x )
,(),(lim
0--+→=（）
（A ）),(b a f x '；（B ）0；（C ）2),(b a f x '；（D ）2
1
),(b a f x '。

2、设2
y x z =，结论正确的是（）
（A ）
022>∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ；（B ）022=∂∂∂-∂∂∂x y z
y x z ； （C ）
022<∂∂∂-∂∂∂x y z y x z ；（D ）022≠∂∂∂-∂∂∂x
y z
y x z 。

3、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=D
d y x f σ),(（）
（A ）0；（B ）2⎰⎰1
),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1
),(D d y x f σ；(D)2⎰⎰2
),(D d y x f σ。

4、设Ω：2222R z y x ≤++，则⎰⎰⎰Ω
+dxdydz y x )(22=（）
（A ）538R π；（B ）534R π；（C ）
5158R π；（D ）515
16
R π。

5、设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ，在点),(y x 处的线密度为),(y x ρ，则曲线弧Ｌ的重心的x 坐标x 为（ ） （Ａ）x =
⎰
L
ds y x x M
),(1
ρ；（B ）x =
⎰
L
dx y x x M
),(1ρ；
（C ）x =⎰L ds y x x ),(ρ；（D ）x =⎰
L
xds M
1,其中M 为曲线弧Ｌ的质量。

６、设∑为柱面122=+y x 和1,0,0===z y x 在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分
⎰⎰∑
++ydxdz x xzdydz zdxdy y 22＝（ ） （A ）0；（B ）4π-
；（C ）245π；（D ）4
π。

７、方程)(2x f y y ='-''的特解可设为（ ） （A ）A ，若1)(=x f ；（B ）x Ae ，若x e x f =)(；
（C ）E Dx Cx Bx Ax ++++234，若x x x f 2)(2-=； （D ）)5cos 5sin (x B x A x +，若x x f 5sin )(=。

８、设⎩⎨⎧≤<<≤--=π
πx x x f 01
0,1)(，则它的Fourier 展开式中的n a 等于（ ）
（A ）
])1(1[2n n --π；（B ）0；（C ）π
n 1；（D ）πn 4。

三、（１２分）设t t x f y ),,(=为由方程0),,(=t y x F 确定的y x ,的函数，其中F f ,具有一阶
连续偏导数，求dx dy 。

四、（８分）在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。

五、（８分）求圆柱面y y x 222=+被锥面22y x z +=和平面0=z 割下部分的面积Ａ。

六、（１２分）计算⎰⎰∑
=xyzdxdy I ，其中∑为球面1222=++z y x 的0,0≥≥y x 部分
的外侧。

七、（10分）设
x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos +=，求)(x f 。

八、（10分）将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数。

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案
一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ； 2、负号；3、2
3;
11
0⎰⎰⎰
⎰-+=D
y e e
y
dx dy d σ；4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π；6、Cx x
y
=sin
； 7、x
x
e C e C x C x C y 2423212sin 2cos -
+++=；8、1；
二、1、D ；2、D ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、A ；8、C ； 三、1、21f y f x
u
'+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂； 2、
)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t
u
-++=∂∂；
四、1、)1(2
142
20
2
20
2
2
2
-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y
y x
y ；
2、⎰
⎰
⎰⎰
⎰⎰=
+=
πππθθ20
20
21
20
2
21322
33
14
2r
dz r dr d dz r dr d I
柱面坐标
； 五、令2
222
,y x x
Q y x y P +=+-=则x
Q
y x x y y P ∂∂=+-=∂∂2
2222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，
x
Q
y P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，
x
Q y P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 六、由所给条件易得：
又x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim )(0=x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)
()()(1)
()(lim 0
即
)0()
(1)
(2
f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即])0(tan[)(c x f x f +'=
又0)0(=f 即Z k k c ∈=,π))0(tan()(x f x f '=∴
七、令t x =-2，考虑级数∑∞
=++-1
1
212)1(n n n
n t
∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；
当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散； 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞
=++-11
1
21
)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞
=+-1
1
21
)1(n n
n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案
一、1、1；2、-1/6；3、⎰⎰
⎰⎰
+2
02
/42
22
/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ；4、
)0(3
2
f '； 5、π8-；6、)(2z y x ++；7、02=-'+''y y y ；8、0； 二、1、C ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C ；6、D ；7、B ；8、C ； 三、1、函数)ln(22z y x u ++=在点A （1，0，1）处可微，且
)
1,0,1(2
2
1z
y x x u A ++=
∂∂2/1=； 01)
1,0,1(2
22
2
=+⋅
++=
∂∂z
y y
z
y x y
u A ；
而),1,2,2(-==所以)31,32,32(-=
,故在A 点沿AB l =方向导数为：
=
∂∂A
l
u A
x
u ∂∂αcos ⋅+
A
y
u ∂∂βcos ⋅+
A
z
u ∂∂γcos ⋅
2、由⎪⎩⎪⎨⎧=--==-+--='0)24(0)1()4(22
y x x f xy y x xy f y
x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f
而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(23≤≤-=x x x y x f
令0)122(23='-x x 得4,021==x x
于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f
),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f
四、1、Ω的联立不等式组为⎪⎩
⎪
⎨⎧--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 10101
0:
所以⎰⎰⎰---++++=101010
3
)1(x y
x z y x dz
dy dx I
2、在柱面坐标系中 所以
五、1、连接→
OA ，由Green 公式得：
2、作辅助曲面⎩
⎨⎧≤+=∑2
221:a y x a
z ，上侧，则由Gauss 公式得： ⎰⎰∑
=I +⎰⎰∑1
⎰⎰∑-1
=
⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-1
1
=
⎰⎰⎰
⎰⎰≤≤≤+≤+-
++a
z z y x a y x dxdy a dxdydz z y x 0,2
2222
22)(2
=⎰⎰⎰
≤+-a
z y x a zdxdy dz
04
2
222π 六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x ϕϕϕ''=+-' 即x xe x x x 2)(2)(3)(=+'-''ϕϕϕ 特征方程0232=+-r r ，特征根2,121==r r
对应齐次方程的通解为：x x e c e c y 221+=
又因为2=λ是特征根。

故其特解可设为：x e B Ax x y 2*)(+= 代入方程并整理得：1,2
1-==B A
即x e x x y 2*)2(2
1
-=
故所求函数为：x x x e x x e c e c x 2221)2(2
1)(-++=ϕ
高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案
一、1、2
22
2z x z y xe
ye -；2、5；3、⎰⎰
⎰
------1
1
1110
22
22),,(x x y x dz z y x f dy dx ；
4、325);
0,0(a f π、；6、⎰⎰⎰⎰⎰+
Ω∂Ω
++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R
y Q x P )(
， Gauss 公式；7、C Bx Ax ++28、0≤P 。

二、1、C ；2、B ；3、A ；4、C ；5、A ；6、D ；7、B ；8、B 三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=，0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得：
y t t x t t x F f F F f F f dx dy '
'+''
'-'⋅'=
四、设),(y x 为椭圆4422=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为
13
326y
x d --=
；令)44()326(222-++--=y x y x L λ，于是由：
得条件驻点：)5
3,5
8(),5
3,5
8(),5
3,58(),5
3,38(4321----M M M M 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中13
13
13
3261
min =
--=
M y
x d 即为所求。

五、曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=y
y x y
x z 22222在yoz 面上的
投影为⎩⎨
⎧=≤≤=0
)
0(22x z y y
z
于是所割下部分在yoz 面上的投影域为：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y
z y D yz 2020:，y
由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。

六、将∑分为上半部分2211:y x z --=∑和下半部分2221:y x z ---=∑，
21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy
于是：⎰⎰⎰⎰
∑--=
1
221dxdy y x xyzdxdy xy
D
15
1
1cos sin 2
1
22=
⋅-⋅=
⎰
⎰ρρρθθρθπ
d d 极坐标
； ⎰⎰⎰⎰
∑=----=
2
15
1
))(1(2
2dxdy y x xy xyzdxdy xy
D ， ⎰⎰⎰⎰∑∑+=∴2
1
I =
15
2 七、因为
x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +='
所以22)(x x f -='c x x x f +-=∴33
12)(
八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(22x x x x x f +++=++=
又]1,1(,)1()1ln(1
1-∈-=+∑∞
=-u u n u n n
n 高等数学（下册）期末考试试卷（四）
一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）
1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅=
．
2、设ln()z x xy =，则32
z x y
∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．
4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数
在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于．
5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()L
x y ds +=⎰ ．
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题
纸写上：姓名、学号、班级．
二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
1、求曲线222
222
239
3x y z z x y
⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数11
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z
x x y
∂∂∂∂∂．
5、计算曲面积分,dS
z
∑
⎰⎰
其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．
三、（本题满分9分）
抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距
离的最大值与最小值．
四、（本题满分10分）
计算曲线积分(sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-⎰，
其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．
五、（本题满分10分）
求幂级数13n
n n x n
∞
=⋅∑的收敛域及和函数．
六、（本题满分10分）
计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++-⎰⎰，
其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．
七、（本题满分6分）
设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t
F t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲
面z =
与z =3
0()
lim
t F t t +
→． -------------------------------------
备注：①考试时间为2小时；
②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
参考解答与评分标准2009年6月
一、填空题【每小题4分，共20分】1、4-；2、21
y
-
；3、2414x y z ++=；4、3，0；5
二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1、解：方程两边对x 求导，得323dy
dz y z x dx dx
dy dz y z x
dx
dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，从而54dy x dx y =-
，74dz x dx z = (4)
该曲线在()1,1,2-处的切向量为571
(1,,)(8,10,7).488
T == (5)
故所求的切线方程为
112
8107
x y z -+-==....................【6】 法平面方程为()()()81101720x y z -+++-=即810712x y z ++=.. (7)
２、解：22
22
226z x y z x y
⎧=+⇒⎨=--⎩22
2x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为V dv Ω
=
⎰⎰⎰22
26200
20
2(63)6d d dz d π
ρρθρπρρπ-==-=⎰⎰
……..
【7】
３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n
n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1
n n u ∞
=∑发
散 (3)
又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+
=+,1
lim ||lim ln(1)0n n n u n
→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解：
121211
()0z f y f yf f x y y
∂''''=⋅+⋅+=+∂， (3)
2111
122212222211[()][()]z x x
f y f x f f f x f x y y y y y
∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111
222
231.x
f xyf f f y y
''''''=+--【7】 ５、解：∑
的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为
2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．
=３】
故
22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a π
ρρθρ∑
==---⎰⎰⎰⎰⎰
220
12ln()2ln
2a
a a a h
πρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】
三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M
到原点的距离为
d =1】
令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，
则由22
220220201x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪
=++=⎨⎪=+⎪
++=⎪⎩
，解得12x y -±==，2
3z =．于是得到两个可能
极值点
121111(
,2(2222
M M -+-+---…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)
四、【10分】解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得
22(sin )(cos )8
x x D
L OA
I e y m dx e y mx dy m d ma π
σ+=
-+-=-=-
⎰⎰⎰． (5)
而10
(sin )(cos )a
x x OA
I e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)
∴221(sin )(cos ).8
x x L
e y m dx e y mx dy I I ma ma π
-+-=-=-
⎰………………………
【10】
五、【10分】解：()1131
lim lim 3133n n n n n n a n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为(3,3)-…………
【2】
又当3x =时，级数成为11
n n
∞
=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11n
n n ∞
=-∑
，收敛． (4)
故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)
令()13
n
n n x s x n ∞
==∑（33x -≤<），则
11111111
()()3
3331/33n n n n n x x s x x x -∞
∞-=='====
--∑∑,(||3x <)……【8】 于是()()00
0()()ln 3ln 3ln 33x x
x dx
s x s x dx x x x '===--=---⎰
⎰
，（33x -≤<） (10)
六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为
Ω，则由高斯公式，有()()1
33222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω
=
++-=++⎰⎰
⎰⎰⎰ (5)
()221
12
62d d z dz πρθρρ
ρπ-=+=⎰⎰⎰
(7)
而
()()221
1
332211
2231313
3x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
….…
【9】
2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)
七、【6分】解：()()22
24
0sin cos t
F t d d r f r r dr π
πθϕϕϕ⎡⎤=+⎣
⎦⎰
⎰⎰ (2)
(()4
22
028
t
t r f r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
⎰….…【4】 故(
)(
3222320002()222lim lim lim ().333
t t t t t f t F t f t a t t π+++
→→→⎡⎤+-⎢⎥
--⎣⎦===【6】。