双曲线的定义及标准方程

2.2.1 双曲线的定义与标准方程
高
课题：§2.2.1 双曲线的定义与标准方程
课型：新授课课时：第一课时
教法：三导式教学法
一、教学目标
1．知识与技能：了解双曲线的标准方程的推导过程；掌握双曲线的定义与标准方程；掌握运用待定系数法求双曲线的方程.
2．过程与方法：经历导出双曲线标准方程的过程，复习待定系数法。

3．情感、态度与价值观：认识双曲线的图象，体会数学的对称美，
增强学生学习数学的兴趣。

二、教材分析
重点：双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程．
难点：1．定义中的“常数2a与2c的关系”的理解；
2．双曲线标准方程的推导与化简
三、学法指导：双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教材的处理方法也相仿，
同学们可用对比椭圆与双曲线的异同点来学习。

四、教学过程
一、导学：
（一）、展示学习目标：
1．掌握双曲线的定义及其标准方程；了解双曲线的标准方程的推导过程2．掌握运用待定系数法及定义法求双曲线的方程；
（二）自学思考
1、什么是椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎
样？
2 、双曲线定义中，当2a =2c；2a＞2c＞0时，动点P的轨迹分别是什么？
3、例1 中（如何建立适当的坐标系，求双曲线的方程? ）主要有那些步骤？
4、与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程
又是怎样呢？
5、如何判断椭圆、双曲线的焦点在哪一条轴上？
二、导疑：
问题1：什么是椭圆？如果把椭圆定义中的“和”改写为“差”，那么点的轨迹会怎样？（用几何画板进行演示实验1、2）
（由椭圆的定义引出双曲线的定义，由多媒替演示两个实验，在上述演示的基础上，引导学生概括出双曲线的定义，学生试叙述，教师用多媒体展示双曲线的定义．）
1．双曲线的定义：||PF 1|-|PF 2||=2a （0＜2a ＜|F 1F 2|=2c)
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数2a(0＜2a ＜|F 1F 2|=2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫做焦距，记作2c(c ＞0)．
问题2:设动点为P ，由定义知||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，，请大家讨论以下几个问题：
(1)当2a=2c 时，动点P 的轨迹是分别以点F 1、F 2为端点，方向指向F 1F 2外侧的两条射线？
(2)当2a ＞2c ＞0时，动点P 的轨迹是不存在？
问题3:例1如图 建立适当的坐标系，如何求双曲线的方程?
请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程．主要有那些步骤？
主要步骤（1）建系设点
（2）列式a MF MF 221±=-
（3）列方程a y c x y c x 2)()(2222±=+--++
（4）化简),0,0(,122222
22b a c b a b
y a x +=>>=+ 利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质．这一简化的方程称为双曲线的标准方程,结合图形再一次理解方程中0＜2a ＜2c 的条件是不可缺少的．b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义．具有c 2=a 2+b 2与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处．由此得出双曲线的标准方程。

2．焦点在x 轴上, 双曲线的标准方程：),0,0(,122222
22b a c b a b
y a x +=>>=- 问题4:如果双曲线的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又是怎样呢？（例2 如图，设双曲线的焦点在y 轴上，坐标分别为F 1(0，-c)和F 2(0，c).双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2a （a<c ）.求双曲线的方程。

）让学生思考回答。

3．焦点在y 轴上, 双曲线的标准方程：),0,0(,122222
22b a c b a b
x a y +=>>=+ 问题5:如何判断椭圆、双曲线的焦点在哪一条轴上？
4．判断焦点位置：椭圆看分母大小，双曲线系数正负。

例3 已知两点F 1(-4，0)和F 2(4，0)，曲线上的点到两个焦点的距离之差d 的绝对值等于6，求曲线方程．
解：依题意，设 所求的双曲线方程为 122
22=-b
y a x （(a>0,b>0),则 ∵2a=6，c=4， ∴a=3，c=4
∴b 2=c 2-a 2=16-9=7．
所以，所求的双曲线方程为 17
92
2=-y x 三、导练；
导练1：写出以下双曲线的焦点坐标：
（1） 19
1622=-y x F （±5，0） （2）19162
2-=-y x （0，±5） （3）1441692
2=-y x F （±5，0） (4)1422
2=-y x F （±6，0） 导练2： 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
两焦点坐标为（0，—5），（0，5），且a=4;
导练3：方程11
22
2=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的范围。

四、小结(师生共同参与完成)
1．知识方面：比较双曲线与椭圆之间的区别与联系；
2．在教学中体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．
五、作业：课本第56页习题二：2，5，6
备课思路
1．关于教学重点：为实现教学目标，把充分展现双曲线的定义及其标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程作为本节课的重点．2．关于教学方法：按照“三导式”教学的要求“导学、导疑、导练”，在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用三导式的教学方法．
3．关于教学过程：(1)利用学生已清楚的知识，转换条件提出问题，通过多媒体展示实验，为探索双曲线的定义奠定基础，最后推出双曲线的定义．
(2)在双曲线的标准方程的推导过程中，揭示科学实验的规律，巧妙地把学生从旧知识引向新知识，使知识过渡那么自然，学生学起来不感到困难．培养学生逻辑思维和推理的能力、科学思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神．
(3)例题比较简单，由学生自行解答，在解题过程中培养学生合理地思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的学习习惯．同时随时注意纠正学生在学习过程中的偏差．
(4)以学生为主，教师协助的方式进行本节课的教学小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力，注意把学生本节课所学到的新知识纳入学生已有知识体系中，使学生学习解析几何内容形成一个知识结构，对学生掌握解析几何的学习是大有益处的．。