成都市新都一中2021届高三普通班数学(理)暑期作业卷三附答案解析
新都区2021届高三毕业班摸底测试(理科答案)
选填题详解：
（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为 ，...........5分
乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为 ，............6分
从甲班抽到的学生人数 可取的值为 ，..........................7分
则 ， ， ，.......8分
所以 的分布列为：
0
1
2
则 的数学期望为： .........................10分
当 时， ； ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数．.....................4分
综上，当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数．..............5分
（2）若函数 有两个零，点 ， ，根据（1），可得 ．
不妨设 ，由 ，得 ..............6分
所以椭圆方程为
即点 的轨迹的方程为 ；.................................4分
(2)因为直线 斜率不为0，设为 ，设 ， ，
联立 整理得 ，所以 ， ， ，......6分
所以 ，...............................7分
∵ ，∴ ，.............................9分
两式相减，得 ，解得 ，
要证明 ，即证 ，.......................7分
即证 ，
设 ，则 ．...................................9分
则 ，则 ，
所以 在 上为增函数，从而 ，即 成立，
2022年暑期成都市新都一中高一升高二数学练试卷3份附答案解析
2022年成都市新都一中高一升高二暑期练数学试卷1一、单选题1．若a ，b 都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A ．a b = B ．a b a b ⋅=⋅ C ．a b ∥ D ．a b = 2．下列各式化简结果为12的是（ ） A ．212cos 75-︒B ．sin15cos15︒︒C ．sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒D ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒3．设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，π<ϕ.若5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，17π28f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） A ．2π,312ωϕ==B ．211π,312ωϕ==-C ．111π,324ωϕ==-D ．17π,324ωϕ==4．ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则该三角形最小角的余弦值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．125．如图将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论 ①AC BD ⊥ ①ACD 是等边三角形①AB 与CD 所成的角为60 ①AB 与平面BCD 所成的角为60 其中错误的结论是（ ） A ．①B ．①C ．①D ．①6．若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）A ．2πB ．2πC ．4πD ．9π7．若0,0a b >>，且24a b +=，则下列不等式中成立的是（ ） A ．2ab < B ．2244b a +≥C ．22log log 1a b +<D ．9318a b +≥8．已知数列{}n a 的前n 项和为111,2,2n n n n S a S a ++=+=，则n S =（ ）A ．()12n n +⋅B ．()112n n -+⋅ C ．12n n -⋅ D ．2n n ⋅9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，33S ，55S成等比数列，则公比为（ ） A ．2B ．2-C ．±1D ．110．已知数列{}n a 的通项公式为2cos 3π=n n a n ，Sn 为数列{}n a 的前n 项和，则2022S 的值为（ ） A ．672B ．1011C ．2022D ．6066 11．已知数列{}n a 满足21232n n a a a a =．若对任意*n N ∈，312111log 4+++<m na a a （0m >且1m ≠）恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．(]1,2 B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)2,+∞D ．[)1,12,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭12．在三角形ABC 中，已知()0AB AC BC ⋅+=，1sin 3A =，D 是BC 的中点，三角形ABC 的面积为62，则AD 的长为（ ） A ．2192B ．512C ．219D ．51二、填空题13．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若4c =，3cos cos cos 5A B C +==，则ABC 的周长为______. 14．将全体正整数排成一个如图所示的三角形数阵，按此排列规律，第7行从左向右的第2个数为________．15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 所在平面内的一点，则PA PB ⋅的最小值为___________.16．棱长为1的正四面体的中心为,O S 是该正四面体表面的点构成的集合，{|}T Q S OQ r =∈，若集合T 恰有4个元素，则r 的值为__________（注：正四面体，是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形）三、解答题17．若*a b R ∈，，1a b +=，求1122a b +++的最大值.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()*121,2n n S S n n -=+∈≥N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且11sin sin sin 22a A b c B c b C ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求角A 的大小； (2)若62a b =，求sin C ．20．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点. (1)证明：AO ⊥平面BCD ；(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积. 21．从①3sin 1cos b A a B=+；①2sin 3cos cos 3cos a B b B C c B -=；①22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________. (1)求角В的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，с=1，求a 的取值范围. 注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.22．已知数列{}n a 是n 次多项式()212n n f x a x a x a x =+++的系数，且()()112n n f +=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求12f ⎛⎫⎪⎝⎭，并说明122f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．数学参考答案1．D若a ，b 都是单位向量，则a b =，D 正确；不确定a ，b 的方向，则A 、C 错误； 设a ，b 之间的夹角为[],0,θθπ∈，cos a b a b θ⋅=⋅，θ不确定，则B 错误.故选：D. 2．C对于A ，2312cos 75cos1502-︒=-=，A 不是； 对于B ，11sin15cos15sin 3024︒︒==，B 不是；对于C ，1sin14cos16sin 76cos74sin14cos16cos14sin16sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==，C 是； 对于D ，tan 20tan 25tan 20tan 25tan 45(1tan 20tan 25)tan 20tan 251︒+︒+︒︒=︒-︒︒+︒︒=，D 不是.故选：C 3．A因为5π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以5π5ππ2sin()22π(Z)(1)882k k ωϕωϕ⋅+=⇒⋅+=+∈，因为17π28f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所17π17π3π2sin()22π(Z)(2)882m m ωϕωϕ⋅+=-⇒⋅+=+∈， (2)(1)-，得2(221)3m k ω=-+，而0>ω，所以2(221)03m k ω=-+>，因为()f x 的最小正周期大于2π，所以有2π2π1ωω>⇒<，因为,Z m k ∈，所以23ω=，即π2π(Z)12k k ϕ=+∈，而π<ϕ， 所以0k =，即π12ϕ=，故选：A 4．B由正弦定理可知::sin :sin :sin 3:4:5a b c A B C == 设3,4,5,(0)a t b t c t t ===>，已知角A 最小，由余弦定理可得：222222162594cos 22455b c a t t t A bc t t +-+-===⨯⨯.故选：B 5．D设正方形边长为2，折叠前AC 与BD 交于点O ，折叠后，如图所示： ①因为,BD OA BD OC ⊥⊥，且OA OC O ⋂=，所以BD ⊥平面AOC ， 又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥，故正确； ①由题意知：90AOC ∠=，则222AC OA OB =+=，又2CD AD ==，所以△ACD 是等边三角形，故正确；①分别取AD ，AC 的中点F ，H ，连接OF ，OH ，FH ，//,//OF AB FH CD ，则OFH ∠为AB 与CD 所成的角(或其补角)，又1111,1,1222OF AB FH CD OH AC ====== ， 所以OFH 是等边三角形，所以AB 与CD 所成的角为60 ，故正确； ①因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，且AO BD ⊥，所以AO ⊥平面BCD ，则ABO ∠是直线AB 与平面BCD 所成的角，且45ABO ∠=，故错误；故选：D6．B如图所示，其中O 是球心，O '是等边三角形BCD 的中心， 可得333O B O D BC ''===，223AO AB O B ''=-=， 设球的半径为R ，在三角形ODO '中，由222OO DO OD ''+=，即()()22233R R -+=，解得2R =，在三角形BEO '中，113BE BD ==，6EBO π'∠=，由余弦定理得31231cos16O E π'=+-⨯⨯⨯=，在三角形OO E '中，因为1OO AO AO ''=-=，故222OE OO O E ''=+=，设过E 且垂直OE 的截面圆的半径为r ，222422r R OE =-=-=，故最小的截面面积为22r ππ=.故选：B 7．D0,0a b >>，2422a b ab ∴+=≥，解得2ab ≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项A 错误； ()()22222142282a b a b a b +=+≥+=，2224b a ∴+≥，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项B 错误；由A 可得2ab ≤，222log log log 1a b ab ∴+=≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项C 错误；2239332318a b b a b a ++≥==+，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项D 正确；故选：D8．D因为112n n n a S ++=+，则112n n n n S S S ++-=+，于是得11122n nn nS S ++-=， 因此数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，首项1112S =，则()1112n n S n =+-⨯，所以2n n S n =⋅.故选：D 9．D由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1531232535()3,52a a S a a a a S a +=++===， 故由1S ，33S ，55S成等比数列，可得2531()35S S S =⋅,即2213()a a a =⋅,且1230,0,0a a a ≠≠≠，设等差数列的公差为d ，则2111()(2)a d a a d +=⋅+，解得0d =，则数列{}n a 为常数列，故1S ，33S ，55S 成等比数列，则公比为331131S a S a == ，故选:D10．B 因为2cos 3n y π=的周期为2323ππ=，由2cos 3π=n n a n ，可得 121cos132a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，2412cos 232a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，33cos 231a π==⨯， 4814cos 432a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，51015cos 532a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，6126cos 613a π==⨯， 71417cos732a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，81618cos 832a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，9189cos 913a π==⨯， ……，因为20226743=⨯，所以202211[147(16733)][258(26733)]22S =-⨯+++⋅⋅⋅⋅++⨯-⨯+++⋅⋅⋅++⨯[3693674]1++++⋅⋅⋅+⨯⨯1674(116733)1674(226733)674(33674)22222⨯++⨯⨯++⨯⨯+⨯=-⨯-⨯+1674202116742023674202522222⨯⨯⨯=-⨯-⨯+674202120232025222⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭()6742022202510112=-⨯-=，故选：B 11．A当2n ≥时，由21232n n a a a a =，得()2112312n n a a a a --=，两式相除得2221(1)222nn n n a --==，所以12111n a a a +++352111112222n -=+++⋅⋅⋅+11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-2121343n ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 因为对任意*n N ∈，312111log 4+++<m na a a （0m >且1m ≠）恒成立， 所以322log 4log 233m m ≤=，所以log 21log m m m ≥=， 当01m <<时，由log 2log m m m ≥，得2m ≥，则m ∈∅，当1m 时，由log 2log m m m ≥，得2m ≤，则12m <≤，综上，12m <≤ ，故选：A 12．A如图，设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为()0AB AC BC ⋅+=，所以()()0AC AC BC CB +⋅+=， 即()()0AC AC BC BC -⋅+=，所以220AC BC -=,所以22AC BC =，即22b a =，因为0,0a b >>，所以a b =，所以A B = 因为A B C π++=，所以2C A B A ππ=--=-，因为1sin 3A =，所以cos cos(2)cos 2C A A π=-=-22172sin 12139A ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭,因为0C π<<，所以2742sin 1cos 2199C C ⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭,因为三角形ABC 的面积为62， 所以21142sin 62229ab C a =⋅=，得227a =，因为0a >，所以33a b ==，因为D 是BC 的中点，所以13322CD a ==, 在ACD △中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅2233337(33)233229⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2194=，因为0AD >，所以2192AD =，故选：A 13．10C 是三角形内角，3cos 5C =，则4sin 5C =， 3cos()cos()cos 5A B C C π+=-=-=-22cos 12A B +=-，(0,)22A B π+∈，5cos 25A B +=，25sin 25A B +=， 3cos cos cos()cos()2cos cos 2222225A B A B A B A B A B A B A B +-+-+-+=++-==，所以35cos 210A B -=， 25356sin sin sin()sin()2sin cos 22222225105A B A B A B A B A B A B A B +-+-+-+=++-==⨯⨯=， 由sin sin sin a b cA B C==得454sin sin sin 5a b c A B C +===+，6a b +=，所以周长为10a b c ++=． 14．23由题意得，前6行共排列的数的个数为6(16)123456212++++++==， 则第6行从左向右的最后一个数为21，故第7行从左向右的第2个数为21223+= ， 15．1-设M 为AB 的中点，如图()()()()22211PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA PM ⋅=+⋅+=+⋅=≥-=---.当且仅当点P 为线段AB 的中点时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为1-. 16．612由题意可知，此时r 为该正四面体的内切球半径，如图，记点A 在底面BCD 的投影为1O ， 由正四面体的性质可知，1O 为BCD △的外心，由正弦定理得1132sin 603BO ==︒ 所以221163AO AB BO =-=因为111433BCD BCD V S AO S r =⋅=⨯⋅所以14AO r =，即16412AO r ==故答案为：612 17．设1122s a t b =+=+，，则221122a s b t =-=-，，由1a b += 222s t ∴+=221222s t s t s t ++∴≤=⇒+≤，即11222a b +++≤.18．(1)解：因为()*121,2n n S S n n -=+∈≥N ①，所以121n n S S +=+①，①-①得()112121n n n n S S S S +---=++即12n n a a +=，所以3542342a aa a a a ===⋯=，又当2n =时，2121S S =+，又11a =，所以22a =，所以212a a =， 所以*12(N )n nan a +=∈，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a ．(2)解：由（1）可得12n n n b na n -==⋅，所以012321112223242(1)()22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 则12341212223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯ 两式相减得，012311222222221(1)212n n nn n n T n n n ---=++++⋯+-⨯=-⨯=---⨯-所以(1)21nn T n =-⨯+，19．(1)由已知11sin sin sin 22a A b c B c b C ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据正弦定理，得2221122a b bc c bc =-+-，即222a b c bc =+-，则有2221cos 22b c a A bc +-==，由于0A π<<，所以3A π=．(2)方法1：由于a =，结合正弦定理得sin A B =，即sin 3B π=，则sin B由题知a b >，则A B >，所以4B π=．则()1sin sin sin 34222C A B ππ⎛⎫=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭方法2：由于a =，结合正弦定理得sin A B =，即sin 3B π=，则sin B将a =代入222a b c bc =+-，得22220c bc b --=，解得c =，根据正弦定理，得sin C B ==20．(1)因为AB AD =，O 为BD 中点，所以AO BD ⊥.因为平面ABD ⋂平面BCD BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD . (2)作EF BD ⊥于F ，作FM BC ⊥于M ，连EM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO BD ⊥，AO CD ⊥所以EF BD ⊥，EF CD ⊥，BD CD D ⋂=，因此EF ⊥平面BCD ，即EF BC ⊥ 因为FM BC ⊥，FMEF F =，所以BC ⊥平面EFM ，即BC ME ⊥则EMF ∠二面角E BC D --的平面角，4EMF π∠=.因为BO OD =，OCD 为正三角形，所以BCD △为直角三角形 因为2DE EA =，1112(1)2233FM BF ∴==+=从而23EF FM ==，1AO ∴=OA ⊥平面BCD 所以11111332BCD V AO S =⋅=⨯⨯⨯=△21．(1)若选①sin A =sin sin (1cos )B A A B =+因为0A π<<，所以sin 0A ≠1cos B B =+，所以1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为5666B πππ-<-<，所以3B π=.若选①因为2sin cos cos cos a B B C B =，由正弦定理得2sin sin cos cos cos A B B B C C B =，即sin sin 3cos (sin cos sin cos )A B B B C C B =+3cos sin()B B C =+，所以sin sin 3cos sin A B B A =， 由(0,)A π∈，得sin 0A ≠，所以sin 3cos B B =，即tan 3B =， 因为(0,)B π∈，所以3B π=.若选①由22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-，化简得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=.由正弦定理得：222a cb ac +-=，即222122a cb ac +-=，所以1cos 2B =. 因为(0,)B π∈，所以3B π=.(2)在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=，得sin sin c A a C =，由（1）知：3B π=，又с=1代入上式得：213sin sin cos 322sin sin C C C a C Cπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==1322tan C=+. 因为ABC 为锐角三角形，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 3C >，所以131,222tan 2a C ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. 22．(1)设()()12112n n n n f a a a S +=+++==，则()()11122n n n n n n na S S n -+-=-=-=，2n ≥， 当1n =时，11a =，11S =成立，所以()N n a n n +=∈．(2)由（1）知()22n f x x n x x =+++，所以23111112322222n f n ⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭， ①()234111111112312222222n n f n n +⎛⎫=+⨯+⨯++-+⨯ ⎪⎝⎭， ① 由①－①得211111122111111111122222222212nn n n n n n f n n +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-⨯=-⨯=-- ⎪⎝⎭-，所以11122222n n n f -⎛⎫=--< ⎪⎝⎭.2022年成都市新都一中高一升高二暑期练数学试卷2一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，411S S =，当0n S >时，n 的最小值为（ ） A ．14B ．15C ．16D ．172．若1sin 72πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 214πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．12-C ．12D ．133．若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b> B ．2a b ab +> C ．22lg lg a b > D ．33a b >4．下列说法正确的是（ ）A ．若0a b ⋅<，则向量a 与b 的夹角一定为钝角B ．等比数列前n 项和公式为11n n a a qS q-=- C ．sin15cos15<D ．圆（棱）台体积公式为()13V S S S S h ''=++（其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为圆（棱）台高） 5．已知数列{}n a 为等比数列，若1a ，6a 为函数()23332f x x x =-+的两个零点，则34a a +=（ ）A ．10B ．12C ．32D ．336．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（ ）①异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭；①11A M B D ⊥；①三棱锥1D AMC -的体积为定值43；① ()21A M AM +的最小值为1246+． A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①7．若某三角形的面积为S ，边长分别为a ，b ，c ，其内切圆的半径为r ，则2=++Sr a b c.类比这个结论可知，若某四面体的体积为V ，四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，其内切球的半径为R ，则R =（ ）A ．12342S S S S V+++B ．12343S S S S V+++C ．12342+++VS S S SD ．12243VS S S S +++8．二次不等式20ax bx c ++<的解集是()2,3，则cb的值为（ ） A ．65B ．65-C ．56D ．56-9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S S <，67S S =，78S S >，则下列结论错误的是（ ） A ．680a a +=B ．58S S =C ．数列{}n a 是递减数列D ．130S >10．ABC 中，点M 为AC 上的点，且3AM MC =，若BM BA BC λμ=+(,R)λμ∈ ，则λμ-=（ ）A ．13-B ．12-C ．13D ．1211．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，且24c b a =+=+，120C =︒，则将ABC 以AB 为旋转轴旋转一周所得到的几何体的体积为（ ） A ．225π28B ．225π14C ．75π14D ．75π2812．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（1A ∉平面BCDE ）.若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻折过程中，给出下列判断： ①当M 为线段1A C 中点时，BM 为定值； ①存在某个位置，使1DE A C ⊥；①当四棱锥1A BCDE -体积最大时，点1A 到平面BCDE 的距离为22； ①当二面角1A DE B --的大小为π3时，异面直线1A D 与BE 所成角的余弦值为35.其中判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为135°，则2a b +=__________.14．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点A 1，B 1，C 1，D 1分别为正方形ABCD 各边的中点，点A 2，B 2，C 2，D 2分别为正方形A 1，B 1，C 1，D 1各边的中点，……，记正方形AnBnCnDn 的面积为an ，若数列{an }的前m 项和Sm =6332，则m =___________. 15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为正方体棱的中点，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 的个数是___________.16．一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m. 三、解答题17．已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，设12a e te =+． (1)若12b e e =-，且a b ⊥，求t 的值； (2)求||a 的最小值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C 的中点． (1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．19．（1）设,,,a b c R ∈且0,1a b c abc ++==．证明：0ab bc ca ++<； （2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =．证明：222111a b c a b c++≤++20．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(),1m b =，()sin ,cos n c B C =，且//m n . (1)求角C ；(2)若c =______，求ABC 的周长.从①sin B =①cos A =.注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分.21．在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且()cos 2cos 0.a B b c A +-= (1)求角A 的大小；(2)设向量()20,1,cos ,2cos 2C m n B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，试求m n +的最小值．22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且()()*24n n nS n a n n ++=∈N ．(1)求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (3)证明：()()()()21*123212n n n S S S S T n n n +⋅<∈++N ．数学试卷参考答案1．C由411S S =得170a d +=，即80a =， ①10a <，①0d >， ①()22115222n d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，当0n S >时，2150n n ->，即15n >， ①n 的最小值为16，故选：C ． 2．C 令7πθα=+可得7παθ=-，故1sin 2θ=，则33sin 2sin 214147πππαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21sin 2cos 212sin 22πθθθ⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭，故选：C3．D对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，因为ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有a b +>B 错误； 对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误； 对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确.故选：D 4．D对于A ，若a 与b 的夹角为180︒，则对于非零向量a 与b ，有0a b ⋅<，所以A 错误， 对于B ，当公比1q =时，等比数列前n 项和不能利用11n n a a qS q-=-求解，而1n S na =，所以B 错误， 对于D ，因为91552ππ<<，所以15rad 为第二象限的角，所以sin15cos15>，所以C 错误， 对于D，圆台（棱台）体积公式为()13V S S h '=+（其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）高），所以D 正确，故选：D 5．B解：因为1a ，6a 为函数()23332f x x x =-+的两个零点，所以166133,32a a a a +==，所以61321a a =⎧⎨=⎩或61132a a =⎧⎨=⎩所以，当61321a a =⎧⎨=⎩时，2q，344812a a +=+=，当61132a a =⎧⎨=⎩时，12q =，348412a a +=+=，所以，3412a a +=.故选：B6．C因为11AD BC ∥，所以异面直线1A M 与1AD 所成的角即1A MB ∠（或其补角）．因为11A BC 为正三角形，所以1ππ,32A MB ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，故①错误；因为1B D ⊥平面11A BC ，所以11A M B D ⊥，故①正确；因为1BC ∥平面1ACD ，所以111114222323D AMC M ACD D ABC V V V ---===⨯⨯⨯⨯=，故①正确；如图，将11A BC 与1ABC 展开在同一平面内，()21A M AM +的最小值为21A A ，由余弦定理得21842222cos1501246A A =+-⨯⨯⨯︒=+，故①正确． 7．D设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积是以O 为顶点，以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 所以()123413V S S S S R =+++，所以12343V R S S S S =+++.故选:D. 8．B因为二次不等式，所以0a ≠，因为不等式20ax bx c ++<的解集是()2,3，所以2,3为方程20ax bx c ++=的两个根， 所以23,23b c a a +=-⨯=，即5,6b c a a =-=，所以65c b =-.故选：B9．D由67S S =，则7670S S a -==，即1760a d a +==，又86720a a a +==，故A 正确；()1553552a a S a +==，()()182********a a a a S a ++===，则3215460a a a d -=+=，故58S S =，B 正确； 由56S S <，78S S >，即6560S S a -=>，8780S S a -=<所以0d <，数列{}n a 是递减数列，故C 正确； 137130S a ==，D 错误.故选：D10．B由题意可得33()44BM BA BA AC BA BC B AM A =+=+=+-1344BA BC += , 又BM BA BC λμ=+，故13,44λμ==，故12λμ-=-，故选:B11．A由余弦定理得2222221(2)(4)cos 222(2)a b c a a a C ab a a +-++-+=-==+，解得3a =或2a =-（舍），所以25,27b a c b =+==+=， 设点C 到线段AB 的距离为h ，则h 即为点C 的旋转半径， 在ABC 中，由等面积法得11sin 22S ab C ch ==，即1135sin120722h ⨯⨯⨯︒=⨯⨯，解得15314h =.所以旋转所得的几何体的体积为221531411225πππ73328h V c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯=.故选：A. 12．B在矩形 ABCD 中, 2AB AD =, 不妨令 2AB AD == 2, 则： (1)取DC 的中点 F , 连接 ,MF FB , 易知 1MFB A DE ∠=∠ 且为定值,22292cos 2cos 4MB MF FB MF FB MFB MFB ∠∠=+-⋅⋅=-(定值) 所以MB 的长为定值, 故①正确;(2)假设存在某个位置, 使 1DE A C ⊥, 连接 CE , 取DE 的中点 H , 连接 1,A H CH , 显然 1A H DE ⊥, 而 111,A H AC A DE ⋂=∴⊥ 平面 1A HC , CH ⊂ 平面 1,A HC DE HC ∴⊥,进而有 DC CE =, 但 2,2DC CE ==, 不可能相等,所以不可能有 1DE A C ⊥, 故①错误; (3)由题意得, ADE 是等腰直角三角形, A 到DE 的距离是22, 当平面 1A DE ⊥ 平面 BCDE 时, 四棱雉 1A BC -DE 体积最大, 点 1A 到平面 BCDE 的距离为 122A H =, 故①正确; (4)易知二面角 1A DEB -- 的平面角 1A HF ∠, 当二面角 1A DE B -- 的大小为3π时，13A HF π∠=又1A H HF ==所以1A F =又易知异面直线 1A D 与 BE 所成角为 1A DF ∠, 222111111132cos 22114A D FD A F A DF A D FD ∠+-+-∴===⋅⨯⨯ 故①错误,综上可知, 正确的有2个.故选: B. 13由题意可知，2a =，1b =，a 与b 的夹角为135°，所以cos ,21cos1351a b a b a b ⎛⋅=⋅=⨯⨯︒==-⎝⎭.所以()2222442a b a a b b +=+⨯⋅+=+=14．6解：因为22ABCD S ==，1111112A B C D ABCD S S ==， 依题意可得112n n a a +=，且11a =，所以{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以11121211212n n n S ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，又6332m S =，所以16233212m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦=⎥，即11264m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以6m = 15．5分别取111111,,,,AB CC C D D A A A 的中点,,,,M N I H G ，连接1,,,,,,ME EN NI IH HG GM BC ， 11//,//GH AD EN BC ∴，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB D C ，11AB D C=，∴四边形11ABC D 是平行四边形， 11//AD BC ∴，1//EN AD ∴，又EN ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，EN //∴平面1ACD ，同理//EM 平面1ACD ， 又EM EN E =，EM ⊂平面ENIHGM ，EN ⊂平面ENIHGM ，∴平面1//ACD 平面ENIHGM ，∴平面ENIHGM 内的任意一条直线都与平面1ACD 平行，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 可以是,,,,M N I H G 的任何一个， ∴点F 的个数是5个. 16．4因为0OP =4，圆心O 到水面的距离为2，所以0P 到x 轴的距离为2，所以x 轴与0OP 所成角为6π ， 由题知水车转动的角速度为6= /6010rad s ππ因为水车的半径为4，设P 点到水面的距离为y ，根据匀速圆周运动的数学模型有：4sin()2106y t ππ=-+当t =10秒时，y =4，所以点P 离水面的高度是4m .17．(1)解：由向量1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，可得11e =，21e =．所以，12121cos602e e e e ︒⋅==． 因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即()()121211022ta b e te e e t ⋅=+⋅-=-+-=，解得1t =．所以1t =(2)解：①()222212||1a a e te t t ==+=++，①22133||244a t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，①3||2a ≥，当且仅当12t =-时等号成立，①||a 的最小值为32 18．(1)证明：因为E ，F 分别为线段111AC A C 的中点所以1//EF A A .因为11//B B A A ，所以EF 1//B B .又因为EF ⊄平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ．(2)取1BC 的中点G ，连接GE ，.GF 因为E 为1AC 的中点所以//GE AB ． 因为GE ⊄平面11ABB A ，AB平面11ABB A ，所以//GE 平面11ABB A ，同理可得，//EF 平面11ABB A ，又因为EF EG E =，EG ，EF ⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面11ABB A故在线段1BC 上存在一点G ，使平面//EFG 平面11ABB A ．19．（1）因为()22222220a b c a b c ab bc ac ++=+++++=，所以()22212ab bc ac a b c ++=-++， 因为1abc =，所以a ，b ，c 都不为0，则2220a b c ++>，所以()222102ab bc ac a b c ++=-++<. （2）因为a ，b ，c 为正数，2222222.2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥，所以222222222a b a c b c ab ac bc +++++≥++，所以222a b c ab ac bc ++++≥，因为1abc =，所以222111ab ac bc a b c abc a b c++++≥=++，当且仅当a b c ==时取等号，即222111a b c a b c++≤++ 20．(1)//m n ，sin cos c B b C =∴，由正弦定理得sin sin sin cos C B B C =， ①B 为三角形ABC 的内角，①sin 0B >，则sin cos C C =，tan 1C ∴=， 又()0,πC ∈，①π4C =. (2)若选择①：在ABC 中，由正弦定理得，sin sin sin 4c b b C B === 又由余弦定理得，22222cos 2082c a b ab C a =+-⇒=+-⋅241206a a a ⇒--=⇒=，则周长为6+. 若选择①：cos sin A A ===， 在ABC 中，由正弦定理得，6sin sin sin 4c a a C A =⇒=⇒=，πππsin sin sin sin cos cos sin sin 4444c b b bC B A A A =⇒==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴cos )b A A =+==⎭则周长为6+ 21．(1)由正弦定理得：()()sin cos sin 2sin cos 0.sin 2sin cos A B B C A A B C A +-=⇒+=, ()()π,sin sin πsin A B C A B C C +=-∴+=-=,且sin 0C ≠,因此得:1cos 2A =,由于A 为三角形的内角，故π3A =(2)由()20,1,cos ,2cos 2C m n B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得()2cos ,2cos1=cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以222cos 2=cos cos 2B m n B C因为2π2π33B C C B +=⇒=-,所以4ππcos 2cos(2)cos(2)33C B B =-=--,故2=m n ++=当π3B=时，π2π3B +=，此时πcos 23B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值1-，故此时m n +取最小值，且最小值为.22．(1)因为()24n n nS n a n ++=，即()24n n n a S n++=，当2n ≥时，()11141n n n a S n --++=-，两式相减可得()()12101n n n n a n a a n n -+++-=-，整理可得1121n n a a n n -=⋅-，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)当1n =时，1134S a +=，又11a S =，所以11a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公比为12的等比数列，所以112n n a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12n n na -=， 则()1242n n n nS n n -++⋅=，所以1242nn n S -+=-； (3)()()()312311222313231n n n n n n a a a a a S S S a S SS S T S S a S a S S ==⋅⋅⋅⋅，由()24n n nS n a n ++=可得24n n n S a n +=+≥2n n n S a n +=等号成立， 整理可得42n n na S n ≤+，并不是所有的N n *∈等号都成立， 所以()()()()211122334142434412234521212n n n n n a S a S a S a S n n n n n +⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅<⋅⋅⋅⋅==+++++， 所以()()()()21*123212n n n S S S S T n n n +⋅<∈++N .2022年成都市新都一中高一升高二暑期练数学试卷3一、单选题1．已知向量(1,)a m =，(1,1)b =-，(3,0)c =，若//()a b c +，则m =（ ） A ．1-B ．12C ．2D ．2-2．在①ABC 中，π6A ∠=，3a =，5cos 3B =，则b =（ ） A ．439B ．83C ．4D ．83273．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．94．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，M 为BC 的中点，N 为11A C 靠近1A 的三等分点，设AB a =，AC b =，1AA c =，则用a ，b ，c 表示NM 为（ ） A ．1126a b c +-B ．1126a b c -++C ．1126a b c --D ．1126a b c --+5．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若177121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A ．3B ．5C ．4D ．66．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若6378S S =，则{}n a 的公比q =（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．27．已知直线l ，m ，平面α，β，有以下四个命题，其中正确的命题是（ ） ①若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m ； ①若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥； ①若l m ⊥，m β⊂，则l β⊥； ①若l β//，l α⊥，则αβ⊥； A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①8．如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，AC BC ⊥，60B ∠=︒，3AD CD ==．现将ACD △沿AC 折起，并连接BD ，当三棱锥D ABC -的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）A ．16π3 B ．43πC ．32π3D ．24π9．已知函数()()()2sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的部分图象如图所示，点(0A ，π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A ．直线π12x =是图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin2g x x = 向左平移π3个单位而得到C ．的最小正周期为πD ．在区间ππ-,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10．若()1sin cos 02αααπ+=<<，则cos2=α（ ）A．B．CD11．已知数列{}n a 满足0n a >，+12=1+-n n n a na a n ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1+n n S a =（ ） A ．nB ．+1nC ．2nD ．()2+1n12．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++>∈N ，则下列判断一定正确的是（ ）A ．数列{}n a 是递增数列B ．数列{}n a 是递减数列C ．若数列{}n a 满足21a a >，则()*11,n n a a n n ->>∈N 成立 D ．存在常数c ，使得()*n a c n >∈N 恒成立二、填空题13．已知球O 为三棱锥D ABC -的外接球，球O 的体积为256π3，正三角形ABC的外接圆半径为三棱锥D ABC -的体积的最大值为______．14．已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则sin 2θ的值为_____.15．数列{}n a 满足2(1)21nn n a a n ++-=+，若1314100a a +=，则12a a +的值为___________.16．已知向量a b c ､､满足()11,,,02a b a b c xa yb x y y ==⋅=-=+∈≥R ､，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________. ①若1x =，则c 的最小值为①若1x =，则存在唯一的y ，使得0a c ⋅=；①若1c =，则x y +的最小值为1-； ①若1c =，则a c b c ⋅+⋅的最小值为12-.三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1,2AB BC AC AA AB ===，D 是BC 的中点，O 是1AC 与1A C 的交点．(1)证明：1//A B 平面1AC D ；(2)若2AB =，求三棱锥1B AC D -的体积．18．已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，且0OM ON ⋅=，其中M 、N 是最高点与最低点.(1)求()f x 的解析式；(2)设()()23g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 的最大值及单调递增区间.19．如图1，在平面四边形ABCD 中，22CD AD AB ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，如图2，E 是PD 的中点，平面PCD ⊥平面BCE . (1)证明：平面PBD ⊥平面BCD ； (2)求二面角D PC B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，______，n *∈N (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()()111n n n n a b a a +=-+，n T 是{}n b 的前n 项和，若对任意的n *∈N ，1n kT n>-，求实数k 的取值范围．在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． ①22n n S a =-；①122222n na a a n ++⋅⋅⋅+=；①221232n n n a a a a +⋅⋅⋅=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，2520a a +=．等比数列{}n b 的各项均不相等，且13223b b b +=，523b a a =+．(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．22．已知函数2())2sin 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且当()()12()f x f x f x ≤≤时，12min π2x x -=.(1)求f （x ）的解析式；(2)将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程()43g x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.数学试卷参考答案1．B 解：因为(1,)a m =，(1,1)b =-，(3,0)c =，所以()(1,1)(3,0)2,1b c +=-+=，又//()a b c +， 所以211m =⨯，解得12m =.故选：B 2．C 由题意，因为B 为三角形内角，故22sin 1cos 3B B =-=，由正弦定理32sin63bπ=，解得4b =，故选：C 3．C 解：因为1x >，所以10x ->，所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()()4442132137111x x x x x x =++=-++≥-⋅+=---， 当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号，所以函数221x y x x +=+-的最小值为7；故选：C4．A112111()3226NM NC C C CM b c a b a b c →→→→→→→→→→→=++=-+-=+-，故选：A5．D 由题意，数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，令1m =，可得112n n n a a a a +==，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =， 又由110101117712102(12)222212k k k k k k a a a +++++++-+++==-=--，解得6k =.故选：D.6．B()34563633718S a a a S q S S +++==+=，所以318q =-，即12q =-.故选：B 7．C 直线l ，m 可能是异面直线，故①错误；若l α⊥，m α⊂，根据线面垂直的性质定理可得l m ⊥，故①正确；若l m ⊥，m β⊂，则l β⊥，l β⊂，//l β，或者l 与β相交，所以l 与β不一定垂直，故①错误；若l β//，l α⊥，则αβ⊥，故①正确．故选：C ．8．D 因为ABC 的面积不变，要使体积最大，需D 到平面ABC 的距离最大， 即当平面ACD ⊥平面ABC 时，体积最大，因为ACD △等腰直角三角形，取AC 中点E ,则DE ⊥平面ABC ，高为DE =322最大，AC =32，则Rt ABC中，60B ︒∠=，BC =6，AB =26，所以EB =422，故Rt BDE 中BD =15，所以ABD △中222AD BD AB +=，即得空间中90ADB ACB ︒∠=∠=即AB 为球的直径，故半径22424R AB ==，所以外接球的表面积24π24πS R ==.故选:D.9．B 由函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<部分图象，点(3A ，π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3sin ϕ=，由于点A 在单调递增的区间上，π3ϕ=或2π3ϕ=（舍去）， 再根据五点法作图可得 ππ+=π33ω⋅，求得2ω=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ．对于A,令π12x =，求得()2f x =，为最大值，故直线π=12x 是()f x 图象的一条对称轴，故A 正确； 对于B,把()2sin2g x x =向左平移π3个单位，可得2π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；对于C,()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π=π2，故C 正确； 对于D ，ππ-,312x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ2-,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，故D 对.故选：B10．A解：因为()1sin cos 02αααπ+=<<，所以112sin cos 4αα+=， 所以32sin cos 4αα=-，2πα⎛⎫<<π ⎪⎝⎭所以sin cos 0αα->，()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=， 所以，7sin cos αα-=7cos sin αα-=，所以，()()22717cos 2cos sin cos sin cos sin 2ααααααα=-=-+==，故选：A 11．A 因为0n a >,121n n n a n a a n +=+-，所以2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，所以11n n n n n a a a +-=-， 又122132110211()()()n n n n n n S a a a a a a a a a +-=+++=-+-++-1110n n n na a a ++==- ， 故1n n S a n +=，故选：A12．C 解：令()*0.5log n a n n =∈N ，数列{}n a 是递减数列，满足()()()2220.50.50.50.51log log 2log 2log 12n n n a a n n n n n a +++=++=+>+=，当n 无穷大时，0.5log n a n =→-∞，所以A 项错误，D 项错误﹔令()2*n a n n =∈N ，数列{}n a 是递增数列，满足()()2222212244212n n n a a n n n n n a +++=++=++>+=，所以B 项错误； 对于C 项，因为21a a >，所以210a a ->，由()*212n n n a a a n +++>∈N 得211n n n n a a a a +++->-，。
2021届四川省成都市新都一中新高三(普通班)暑期作业理科数学(2)(PDF版,含详解)
x 2 t cos
y
t
sin
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标
方程为 2cos ，直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B.
（1）求曲线 C 的参数方程；
1
1
（2）若点 P 为直线与 x 轴的交点，求 |PA|2 | PB |2 的取值范围.
13．已知
f
x
是定义在
R
上的奇函数，当
x
0
时，
f
x
log2 x
1，则
f
2 2
______．
14．已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO⊥平面 ABC，2AC 3 AB，若四面体 P﹣ABC 的体积为 3 ，则该球的体积为_____．
2 15．设 F1，F2 是双曲线 C: x2 y2 1的左、右焦点，M 是 C 上的第一象限的一点，若△MF1F2 为直角三
（1）求an 的通项公式 an ；
（2）求数列 an 的前 14 项和.
18． ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c， bcos A 2cosC 2c acos B .
（1）求 c 的值； a
（2）若 cos B 1 ， b 4 ，求△ ABC 的面积. 4
19．《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自 2017 年 10 月 1 日起施行.作为民法典的开篇
2021 届四川省成都市新都一中新高三(普通班)暑期作业
一、单选题
理科数学(2)
1．已知集合 A
xZ x2 2x 3 0
，
B
y
22 y1
1
2021年高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。
2021届四川省成都市新都一中高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2021届四川省成都市新都一中高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞【答案】D【解析】分别解出集合A 、B ，再求R A C B ⋂即可. 【详解】(){}{}{}lg 660|6A x y x x x x x ==-=->=<， {}{}{}021220x x B x x x x =>=>=>， {}0R C B x x =≤，所以{}{}{}|600R A C B x x x x x x ⋂=<⋂≤=≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，考查了用韦恩图表示集合，涉及对数函数的定义域，解指数不等式，属于基础题. 2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.C ．命题“存在R x ∈，使得210x x ++<” 的否定是：“对任意R x ∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．【解析】【详解】试题分析：A ．利用否命题的定义即可判断出；B ．利用“或”命题的定义可知：若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题；C ．利用命题的否定即可判断出；D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．解：对于A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，因此不正确； 对于B ．若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C ．“存在x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，因此不正确对于D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确． 故选D ．【考点】命题的真假判断与应用． 3．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ）A ．35 B ．35C ．5D ．5-【答案】B【解析】令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a . 【详解】令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ， 故选：B本题主要考查了求等差数列的通项，以及利用通项求等差数列中的项，属于基础题. 4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞【答案】D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.5．根据表格中的数据，可以断定方程2x e x =+的一个根所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【解析】令()2xf x e x =--，方程20x e x --=的根即函数()2xf x e x =--的零点，由()10f <，()20f >知，方程20x e x --=的一个根所在的区间为()1,2． 【详解】解：令()2xf x e x =--，由图表知，()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，即()()120f f <，根据零点存在性定理可知()f x 在()1,2上存在零点，即方程20x e x --=的一个根所在的区间为()1,2，故选：C ． 【点睛】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及零点存在性定理的应用，属于基础题． 6．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的． 7．已知单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】A【解析】由向量投影的概念可求得向量1e 在向量2e 方向上的投影. 【详解】由于单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为121cos32e π=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量投影的计算，考查平面向量投影概念的应用，考查计算能力，属于基础题. 8．根据如下样本数据，得到回归直线方程0.78.2y x =-+，则（ ）A ．5a =B ．变量x 与y 正相关C ．可以预测当11x =时，0.4y =D ．变量x 与y 之间是函数关系【答案】A【解析】对选项,A 利用回归直线过样本点的中心求出5a =，所以选项A 正确；对选项B ,可知变量x 与y 负相关，所以选项B 错误；对选项,C 当11x =时，0.5y =,所以选项C 错误；对选项D ,变量x 与y 之间是相关关系，所以选项D 错误. 【详解】对选项,A 由题意可得：357964x +++==，6321144a ay ++++==，由回归直线过样本点的中心，得110.768.24a+=-⨯+，解得5a =，所以选项A 正确； 对选项B ,由0.70b =-<，可知变量x 与y 负相关，所以选项B 错误； 对选项,C 当11x =时，0.5y =,所以选项C 错误；对选项D ,变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，所以选项D 错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质及应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．函数())f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用排除法，先判断奇偶性，再取特殊值即可得结果. 【详解】解：由题意知函数的定义域为R())2ln1f x x x x =+，则())2ln1f x x x x -=-+，有()()()22ln 10x x f x x f x ⎡⎤-=+-=⎣⎦-，得()()f x f x =-，所以函数()f x 为偶函数，排除选项A ，B ； 又())1ln 210f =<，排除选项C.故选：D. 【点睛】此题考查了函数图像的识别，注意奇偶性、特殊值的使用，属于基础题.10．已知椭圆22221(0) x ya bab+=>>左右焦点分别为1(,0)F c-，2(,0)F c，若椭圆上一点P满足2PF x⊥轴，且1PF与圆2224cx y+=相切，则该椭圆的离心率为（）A．3B．12C．22D．6【答案】A【解析】切点为M，由通径长得22bPFa=，由椭圆定义得212bPF aa=-，2cOM=，1OF c=，这样可得出2112PF PF=，即得,,a b c的等式，从而可求得离心率e．【详解】如图，设直线1PF与圆2224cx y+=相切于点M，连接OM，则2cOM=，椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，2PF x⊥轴，∴22=PbPF ya=，∴21222bPF a PF aa=-=-，1OM PF⊥，2PF x⊥轴，∴121OMF PF F∽，∴121OM OFPF PF=，即2222ac cbbaa=-，解得3cea==，故选：A.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式（齐次式）．本题结合通径长，椭圆的定义，圆的切线的性质得出所要求的等式，从而得解． 11．已知函数()2()ln ,x xf x e e x -=++则使得(2)(3)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．()()1,33,-+∞C ．()3,3-D ．()(),13,-∞-+∞【答案】D【解析】先求出()'x x x xe ef x e e ---=++2x ，再由f （x ）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|，解之即可求出使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围． 【详解】解：∵函数f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2，∴()'x xx xe ef x e e---=++2x ， 当x ＝0时，f ′（x ）＝0，f （x ）取最小值， 当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， ∴f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|， 整理，得x 2﹣2x ﹣3＞0， 解得x ＞3或x ＜﹣1，∴使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：D ． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题 13．复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【解析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】 解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+ 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题． 14．已知函数()()324,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩对任意不相等的实数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围为______.【答案】22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】首先根据题意得到()f x 在R 上为减函数，从而得到32001324log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，再解不等式组即可. 【详解】由题知：对任意不相等的实数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数，故32001324log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得：2273a ≤<.故答案为：22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题. 15．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ． 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c ﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得，∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：2214y x -=的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在圆C ：()()22321x y -+-=上运动，直线OP 与E 的右支交于M .记直线MA ，MB ，MP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k ⋅⋅的取值范围是______.【答案】33,33⎡-+⎣【解析】设()00,M x y ，根据双曲线的方程，得到A ，B ，求出124k k ⋅=，再设MP 的方程为3y k x =，根据直线3y k x =与圆()()22321x y -+-=有交点，得出圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】设()00,M x y ，因为直线OP 与E 的右支交于M ，所以220014y x -=，即220044x y -=，又双曲线E ：2214y x -=的左、右顶点分别为()1,0A -，()10B ,， 因此220000122200004411411MA MBy y y x k k k k x x x x =⋅=⋅===+----， 又点P 在圆C ：()()22321x y -+-=上运动， 所以直线OP 与圆C ：()()22321x y -+-=有交点， 所以圆心()3,2到直线OP 的距离小于等于半径1，又3OP MP k k k ==，所以直线OP 的方程为3y k x =，即30k x y -=， 所以圆心()3,2到直线OP的距离为1d =≤，即23381230k k -+≤，3k ≤≤，因此123343k k k k ⎡⋅⋅=∈-⎣.故答案为：33⎡-+⎣.【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，考查双曲线的简单性质，属于常考题型.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）69nn + 【解析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得n b 的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 【详解】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =，21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前n 项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得1,a d ，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前n 项和.18．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．【答案】（1）0.02a =（2）各抽3，2，1人．（3）35【解析】【详解】分析：（1）根据所有小长方形面积的和为1，求a 的值，（2）根据分层抽样按比例抽取人数，（3）先根据枚举法求总事件数，再求第4组至少有1人被抽中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 详解：（Ⅰ）()0.0050.010.030.035101a ++++⨯=，0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ， 5组人为1C ，共有2615C =种，符合有：()11A B ()12A B ()21A B()22A B ()31A B ()32A B()12B B ()11,B C ()21,B C 9种，∴93155P ==． 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.19．如图，正方体1111ABCD A B C D -，棱长为a ，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，且AE BF x ==.（1）当x 为何值时，三棱锥1B BEF -的体积最大？（2）求三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值；（3）求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 【答案】（1）2a x =；（2）22；（3）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】（1）直接将三棱锥1B BEF -的体积用x 表示出来，再求二次函数的最大值； （2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大，连接1,BO B O ，说明1BOB ∠即为二面角1B EF B --的平面角，再求出1BOB ∠的正切值；（3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角，再解三角形，用x 表示出1cos HA E ∠，从而求出异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 【详解】解：（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面ABCD 所以()122211()()3266624B BEF a a a a a V a x x a a x x x ax x -⎡⎤⎛⎫=⋅-⋅⋅=-=-+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2ax =时，三棱锥1B BEF -的体积最大. （2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大.所以11,BE BF B E B F ==，因此BO EF ⊥，1B O EF ⊥， 所以1B OB ∠就是二面角1B EF B --的平面角. 在Rt BEF △中11222222BO EF a ==⋅=， 在1Rt BB O 中，11tan 22BB B OB BO∠==三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值为22. （3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则在正方形ABCD 中，所以11HF A B =，11//HF A B ，所以11//A H B F ， 所以1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角. 在1Rt A AH 中，221A H a x =+ 在1Rt A AE △中，221A E a x =+在Rt HAE 中，222HE x x x +=，在1HA E 中，22221112211cos 2A H A E EH a HA E A H A E a x+-∠==⋅+，因为0x a <≤，所以22222a x a a <+≤，所以222112a x a≤<+， 所以11cos 12HA E ≤∠<，所以103HA E π<∠≤所以异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，几何法求二面角的余弦值，求异面直线所成的角，还结合考查了求函数的最值和取值范围，属于中档题.20．过(0,1)F 的直线l 与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y . （1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值. 【答案】（1）1-；（2）32.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值； （2）求出QF ，AB ，利用数量积公式证出QF AB ⊥，即MN AB ⊥，运用弦长公式表示出四边形的面积，结合不等式求出最小值． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-， 即：2111124:x l y x x =-，同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即01y =-. （2）因为12,22x x FQ +⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以()2222222121212120222x x x x x x FQ AB y y ---⋅=--=-=，所以QF AB ⊥，即MN AB ⊥，()21212||2444AB y y k x x k =++=++=+，同理24||4MN k =+， ()2222111||81182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖∣， 当且仅当1k =±时，四边形AMBN 面积的最小值为32. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题． 21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在0,内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（I ）对原函数求导，根据()f x 在(0,)+∞内的单调性得ln 24x ax+在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数ln 2()x g x x+=，求出其最大值即可求出a 的取值范围;（Ⅱ）函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，等价于'()ln 240f x x ax =+-=在()0,x ∈+∞内有两根1x ，2x ，将极值点代入作差，设120x x <<，得到0a <时原不等式成立；0a >时，将原不等式转化为12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令12x t x =，(0,1)t ∈，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+，证明()(1)0h t h >=，即原不等式成立. 【详解】（I ）由题可知()ln 24f x x ax +'=-，0x >，f x 在0,内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤'在0,内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在0,内恒成立， 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x --'=， ∴当10ex <<时，0g x，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数，当1x e>时，0g x ，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，∴()max g x =1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即4a e ≥，4e a ≥，∴e,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在0,内有两根1x ，2x ，1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧∴⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-，不妨设120x x <<， 当0a <时，1212x x a+>恒成立， 当0a >时，要证明1212x x a +>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--， 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 令12x t x =，(0,1)t ∈， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+， 22(1')()0(1)t h t t t --∴=<+， ()h t ∴在(0,1)t ∈上单调递减，()(1)0h t h ∴>=， 2(1)ln 1t t t -∴>+， 即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立， 1212x x a∴+>. 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为2213y x +=，曲线C 2参数方程为2cos (1sin x y ααα=-+⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,4R πθρ=∈．（1）求C 1的参数方程和l 的直角坐标方程； （2）已知P 是C 2上参数2πα=对应的点，Q 为C 1上的点，求PQ 中点M 到直线l 的距离取得最大值时，点Q 的直角坐标.【答案】（1）cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；0x y -=；（2）13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）由椭圆的参数方程的形式得到曲线C 1的参数方程，又由直线l 的极坐标方程可知直线l 过原点，斜率为1，则可求出l 的直角坐标方程．（2）由题意写出P ，Q 的坐标，可得M 的坐标，利用点到直线距离求解Q 坐标即可． 【详解】（1）1C的参数方程为cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；l 的直角坐标方程为0x y -=.（2）由题设(2,0)P -，由（1）可设(cos )Q ββ，于是11cos 2M ββ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭. M 到直线l距离d ==， 当23πβ=时，d，此时点Q 的直角坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查运用参数解决问题的能力，是基础题．。
2021届四川省成都市新都一中新高三(普通班)暑期作业(5)含详解
2021届四川省成都市新都一中新高三（普通班）暑期作业理科数学（5）一、单选题1．已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（ ）.A ．22i z =B ．iiz +是纯虚数 C ．2z =D ．()i i z +是实数2．已知1,0(),00,0x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则(((2)))f f f -等于（ ）A ．πB ．0C ．2D ．π＋13．已知集合1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，则A B =（ ） A ．(]0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．已知1cos 4α=，则sin(2)2πα-=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-5．已知命题p ，x R ∃∈，20x ->，命题q ，0x ∀≥，x x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ∨⌝是假命题6．设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影为（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．3 7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( ) A ．201921- B ．201922- C ．202022-D ．202021-8．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(),i i x y （1,2,,8i =），其回归直线方程是1ˆ8ˆybx =+，且1238x x x x ++++=()123826y y y y ++++=，则实数ˆb的值是（ ） A ．116 B ．14 C ．13D ．129．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） A ．287π B ．287πC ．2821π D ．2821π 10．记不等式组4027030x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域为D ，不等式221x y +≤表示的平面区域为E ，在区域D 内任取一点P ，则点P 在区域E 外的概率为（ ） A ．48π B ．148π-C ．96πD ．196π-11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1(1)2nn n nS a =-+，则135S S S ++=（ ）A ．0B ．1764 C ．564 D ．2164 12．已知抛物线C ：()220y px p =>，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B两点，O 是坐标原点，记AOB ∆的面积为S ，且满足3232AB FB S ==，则p =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2二、填空题13．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________.14．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交C的一条渐近线于点P （P 在第一象限内），若线段1PF 的中点Q 在C 的另一条渐近线上，则C 的离心率e =______.15．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长27AB =，侧棱长122AA =，它的外接球的球心为O ，点M 是AB 的中点，点P 是球O 上任意一点，下列四个结论： ①线段PM 的长度最大值是9；②存在过点M 的平面，截球O 的截面面积是7π；③过点M 的平面截球O 所得截面面积最小时，B 1C 1平行该截面； ④过点M 的平面截球O 所得截面面积最大时，B 1C 垂直该截面 .其中正确的结论序号是_____.（写出所有正确的结论序号）. 16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________． 三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．18．某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果，选50名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标x 和y 的数据，并统计得到如下的2×2列联表（不完整）：其中在生理指标 1.7x >的人中，设A 组为生理指标60y ≤的人，B 组为生理指标60y >的人，他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，25 （1）根据以上数据，将列联表填写完整；（2）判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x 和y 有关系；（3）从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.附：22()()()()(n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++.19．如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；（Ⅱ）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1(1,0)F -，()21,0F ，且离心率12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,t 作椭圆C 的一条切线l 交圆22:4O x y +=于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值.21．已知函数()ln af x x x=-，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e <-时，()f x 在[1,]e 上的最小值为1+e ，求a 的值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2221243sin cos ρθθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB ．2021届四川省成都市新都一中新高三（普通班）暑期作业理科数学（5）详解1．B由题意，1i z =-，则()2221i 1i 2i 2i z =-=+-=-，即A 错误；i 1i i 1i i i i z +-+===-，即ii z +是纯虚数，B 正确；z ==C 错误；()()i i i 1i i i z +=-+=，即()i i z +不是实数，即D 错误.故选：B.2．D因为20-<，所以(2)0f -=， 所以((2))(0)f f f π-==，因为0π>，所以(((2)))()1f f f f ππ-==+，故选：D 3．C 由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，故选C. 4．D由题得sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=22172=2cos 12148cos αα⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选D 5．C命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真 所以()p q ∧⌝是真命题， 故选：C. 6．Ba 在e 上的投影为21cos ,cos32a a e π<>==-，故选：B. 7．C模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值， 由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ．8．C因为12386x x x x ++++=，12383y y y y ++++=所以33,48x y ==，所以样本中心点的坐标为33(,)48， 代入回归直线方程得848ˆ331b =⨯+，解得ˆ13b =，故选C. 9．C将三视图还原为原图如图，可得几何体是底面为边长为2的等边三角形，高为2的三棱锥.等比三角形的外接圆半径为123π33sin 3==，所以其外接球的22223713R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，213R =.则342821327V R ππ==球，故选：C.10．B画出区域D 和圆，如图示：；3(7,3)40y B x y =-⎧⇒--⎨-+=⎩；3(5,3)270y C x y =-⎧⇒-⎨+-=⎩； 40(1,5)270x y A x y -+=⎧⇒⎨+-=⎩； 区域D 的面积是：1[5(7)][5(3)]482⨯--⨯--=，圆的部分面积是：21ππ⨯=，∴点P 落在圆外的概率是：4814848ππ-=-， 故选：B ． 11．D数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1(1)2nn n nS a =-+, 当n 为偶数时，112n n n n S S S -=-+，即有112n nS -=所以13511121+4166464S S S ++=+=，故选:D. 12．D设FB a =， ()()1122,,,A x y B x y ，则211122AOB S p y y ∆=⨯⨯-，根据抛物线的定义可知21y y -==.依题意3AB FB S ==，则113222a p =⨯⨯，∴2p =，故选：D. 13．2函数()()222323y x x x x =---+零点的个数，即方程()()2223230x x x x ---+=实数根的个数. 由()()2223230x x x x ---+=，即2230x x --=或2230x x -+= 由()()223310x x x x --=-+=得3x =或1x =-.由()22231+20x x x -+=-=无实数根.所以函数()()222323y x x x x =---+的零点有2个. 故答案为：2 14．2由图可知，OQ 是线段1F P 的垂直平分线，又OP 是12Rt F PF ∆斜边的中线，∴OP c =，且1260FOQ POQ POF ∠=∠=∠=︒，∴tan 60ba=︒=，所以2e =. 故答案为：215．②解：①如图，球O 为正四棱柱体对角线的中点，设球的半径为R ，则28R ==，4R =，由于OMAB ⊥,所以3OM ===,所以PM 长的最大值为7，所以①错误；②当过点M 的平面与OM ，其面积7π，所以②正确；③由②点M 的平面截球O 所得截面面积最小时，截面与OM 垂直，与BC 相交，所以截面与B 1C 1不平行，所以③错误；④过点M 的平面截球O 所得截面面积最大时，过点M 和球O ，也过点B ，1C ，而四边形11BCC B 为矩形，且1BC BB ≠，所以1BC 与1B C 不垂直，所以B 1C 不可能垂直该截面，所以④错误， 故答案为：②16．4 ∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-.又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示，∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为4.17．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =； 当2n =时，则332413a b b =+=，即3338a =，可得38a =.322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=； （2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nn b n n =+-⨯=，2n n nb ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n nnS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n n n S +∴=-. 18．（1）填表如下：（2）由表可知，222()50(247127) 1.188 3.841()()()()19311436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为患者的两项生理指标x 和y 有关系；（3）设集合{10,11,12,13,14,15,16}M =，{12,13,14,15,16,17,25}N =. 设甲的康复时间为ξ，乙的康复时间为η，则选取病人的康复时间的基本事件空间为{(,)|,}M N ξηξη∈∈， 共7749⨯=个基本事件，其中符合题意的基本事件为(13,12)，(14,12)，(14,13)，(15,12)，(15,13)，(15,14)， (16,12)，(16,13)，(16,14)，(16,15)，共10个.从而10()49P ξη>=. 19．（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD⊥BC， ∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=平面平面，AE POB ∴⊥平面，,PB POB AE PB ⊂∴⊥平面；（II ）解：在平面POB 内作PQ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE⊥平面POB ，∴AE⊥PQ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE ,AE ∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=， 又因为OP=OB ，∴OP⊥OB， ∴O、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ， 以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,),(,0,0),(0,,0),(,0,),(,,0)2222222P E C PE EC ∴=-=, 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1113002,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩ 设3x =，则y=-1,z=1，∴1(3,-1,1)n =，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =，设二面角A-EP-C 为α，1212||5|cos |=5||||5n n n n α⋅==. 易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =α－. 20．（1）由题可知，12c e a ==，1c =，∴2a =，再由222a b c =+可得，23b =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）由已知可知，切线l 的斜率存在，否则不能形成OMN ．设切线l 的方程为y kx t =+，联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得 ()2234k x ++284120ktx t +-=，则()()()22284344120kt k t ∆=-+-=， 化简得2234t k =+，即2234t k -=． 点O 到直线l 的距离21t d k =+，所以22224241t MN d k =-=-+，即MN =OMN的面积为12S MN d =⋅== 因为2223034t k t -=≥⇒≥，而函数221y t t =+在[)3,+∞上单调递增，所以221103t t +≥，则S ≤=OMN21．（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，221()a x a f x x x x+'=+=， ①当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上为增函数；②当0a <时，由()0f x '=得x a =-；由()0f x '>得x a >-；由()0f x '<得x a <-；()f x ∴在(0，]a -上为减函数，在(,)a -+∞上为增函数.综上，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()f x 在(0，]a -上是减函数，在(,)a -+∞上是增函数.（2）由（1）知，当a e <-时，()f x 在[1，]e 上单调递减，()min f x f ∴=（e ）11a e e=-=+，解得2a e =-，2a e ∴=-. 22．（Ⅰ）由直线l的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数，可得直线l 的方程为1y x =+，由曲线C 的极坐标方程2221243sin cos ρθθ=+，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，曲线C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）将12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），代入2243x y +=1，得27180t --=， 设AB 所对应的参数分别为12,t t，则12121877t t t t +=⋅=-，则12247AB t t =-==．高中数学各知识点公式定理记忆口诀大全《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。
四川省成都市新都区2021届高三数学诊断测试试题 理(含解析)
四川省成都市新都区2021届高三数学诊断测试试题 理（含解析）注意事项：1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确选项．） 1.已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A. (1](2,)-∞⋃+∞，B. (0)(12)-∞⋃，，C. [1)2，D. (12]， 【答案】A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B ）∩（A∪B）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U （A∩B）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x ＞2}， 即（﹣∞，1]U （2，+∞） 故选：A2.设121iz i i-=++，则z z +=—（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】B【解析】 【分析】对复数z 进行运算得zi ，从而求得||1z z i +=+.【详解】因21(1)22221(1)(1)2i i i z i i i i i i i ---=+=+=+=++-，所以||1z =，所以||1z z i +=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则72S =（ ） A. 2 B. 7C. 14D. 28【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，将等式5632a a a +=+化成42a =，再由等差数列的前n 项和公式得742S 2728a =⋅=.【详解】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=， 所以742S 2728a =⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查基本运算求解能力.4.已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A. 79-B. 29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin 2α的值.【详解】因为sin cos αα+=，所以2227(sin cos )12sin cos 99sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，则符合上述条件的函数是（ ） A. ()21f x x x =++B. x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()ln 1f x x =+D. ()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可【详解】由题可知，()f x 为定义域在()0,+∞的减函数，且函数具有偶函数特征； 对A ，当()0,x ∈+∞，()21f x x x =++，()f x 的对称轴为12x =-，在()0,+∞为增函数，与题不符，排除；对B ，x 1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x ∈+∞，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数， 又()-xx11()22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 符合； 对C ，()ln 1f x x =+，函数显然不具备偶函数特征，排除； 对D ，函数为周期函数，在()0,x ∈+∞不是减函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函数，若3ln422,log 3,a b c e -===，则下面结论正确的是（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f c f a f b << C. ()()()f c f b f a << D. ()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由题判断函数对称轴为3x =，结合()f x 在()0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解【详解】由(3)(3)f x f x -=+得3x =，又()f x 在()0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：()()3ln 4220,1,log 31,2,4a b c e -=∈=∈==，在图上的对应关系如图所示：，显然()()()f c f b f a << 故选：C【点睛】本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题 7.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 8.函数3cos xy x e =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】考查该函数的奇偶性，在0x =处的取值以及该函数在()0,∞+上的单调性可辨别出图象。
四川省成都市新都一中2021届高三周末练习理科数学(3)
C．
0,
1 4
D．
1 4
,
e
二、填空题
13．二项式
x
1 x
9
的展开式中
x3
的系数是_______.
14．某程序框图如图所示，若 a 3，则该程序运行后，输出的 x 值为______．
15．已知平面向量
a
与b
的夹角为
3
，
a
(
3, 1) ， | b |= 1 ，则| 2a b |
________.
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为爱好该运动与性别有关系？
附： K 2
nad bc2
，其中 n a b c d .
a bc d a cb d
P K 2 k0
0.10
0.01
0.001
k0
2.706
6.635
10.828
试卷第 3 页，总 4 页
C． z 的虚部为 2
D． z 的共轭复数为1 2i
3．已知 a 0 且 a 1，函数 f x 3loxg1ax1, xa, x0 0 ，若 f a 3，则 f a （ ）
A．2
B． 2 3
C． 2 3
D． 8 9
4．设向量
a
(sin
2 , cos
)
，
b
(cos ,1)
，则“
a
/
/b
4
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2021 届四川省成都市新都一中高三周末练习 理科数学（3）详解
1．A
因为 A {x | x(x 2) 0} {x | 2 x 0}，又 B {1,0,1,2}，
四川省成都市新都一中2021届高三周测理科数学试题(3)
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20．在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= x2 与直线 y kx a,a 0 交与 M,N 两点，
4
（Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
21．已知函数 f x 1 x2 2x a ln x ， a 1 .
0
，
若 anan1 0 ，必有 n 50 ；故选： A ．
9．C
a 2 0
由于 f x 在 R 上递增，所以 a 1
，解得 2 a 3.故选：C.
a 211 loga 1
10．C
因为函数 f x 2|x| x2 ，其定义域为 R，且 f x 2|x| x2 f x ，
, 若 f (x) 在 (, ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (1, 2)
B． (2,3)
C． (2,3]
D． (2, )
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10．已知函数
f
x 2|x|
x2 ，设 m
f
log
2
1 3
，
n
f
70.1
， p f log2 25 ，则 m，n，p 的大
人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为
A．14
B．16
C．20
D．48
8．等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S100 0 ， S101 0 ，则满足 anan1 0 的 n （ ）
A．50
B．51
C．100
D．101
(a 2)x 1, (x 1)
9．已知函数 f (x) loga x, (x 1)
四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学(理)试题
四川省成都市新都一中2021届高三9月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若全集U =R ，集合(){}lg 6A x y x ==-，{}21xB x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题.C ．命题“存在R x ∈，使得210x x ++<” 的否定是：“对任意R x ∈，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．3．数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ） A ．35 B ．35C ．5D ．5-4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞5．根据表格中的数据，可以断定方程2x e x =+的一个根所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥7．已知单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为（ ）A ．12-B ．12C ．D ．28．根据如下样本数据，得到回归直线方程0.78.2y x =-+，则（ ）A ．5a =B ．变量x 与y 正相关C ．可以预测当11x =时，0.4y =D ．变量x 与y 之间是函数关系9．函数())f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12C ．2D ．311．已知函数()2()ln ,xxf x e e x -=++则使得(2)(3)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．()()1,33,-+∞C ．()3,3-D ．()(),13,-∞-+∞12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、填空题 13．复数52i -的共轭复数是___________. 14．已知函数()()324,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩对任意不相等的实数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围为______.15．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线E ：2214y x -=的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在圆C ：()()22321x y -+-=上运动，直线OP 与E 的右支交于M .记直线MA ，MB ，MP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k ⋅⋅的取值范围是______.三、解答题17．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．19．如图，正方体1111ABCD A B C D -，棱长为a ，E ，F 分别为AB 、BC 上的点，且AE BF x ==.（1）当x 为何值时，三棱锥1B BEF -的体积最大？（2）求三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值； （3）求异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围.20．过(0,1)F 的直线l 与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设1l 与2l 交于点()00,Q x y . （1）求0y ；（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值. 21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在0,内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为2213y x +=，曲线C 2参数方程为2cos (1sin x y ααα=-+⎧⎨=-+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,4R πθρ=∈．（1）求C 1的参数方程和l 的直角坐标方程； （2）已知P 是C 2上参数2πα=对应的点，Q 为C 1上的点，求PQ 中点M 到直线l 的距离取得最大值时，点Q 的直角坐标.参考答案1．D 【分析】分别解出集合A 、B ，再求R A C B ⋂即可. 【详解】(){}{}{}lg 660|6A x y x x x x x ==-=->=<， {}{}{}021220x x B x x x x =>=>=>， {}0R C B x x =≤，所以{}{}{}|600R A C B x x x x x x ⋂=<⋂≤=≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，考查了用韦恩图表示集合，涉及对数函数的定义域，解指数不等式，属于基础题. 2．D 【详解】试题分析：A ．利用否命题的定义即可判断出；B ．利用“或”命题的定义可知：若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题；C ．利用命题的否定即可判断出；D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．解：对于A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，因此不正确； 对于B ．若p ∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C ．“存在x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，因此不正确对于D ．由于命题“若x=y ，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确． 故选D ．考点：命题的真假判断与应用．3．B 【分析】令1n =、3n = 可得等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出5a . 【详解】令1n =得1211a =+， 令3n =得3231a =+， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的公差为1d =，所以5322232511a a =+=+=++，解得535a ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项，以及利用通项求等差数列中的项，属于基础题. 4．D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”. 5．C 【分析】令()2x f x e x =--，方程20x e x --=的根即函数()2xf x e x =--的零点，由()10f <，()20f >知，方程20x e x --=的一个根所在的区间为()1,2．【详解】解：令()2xf x e x =--，由图表知，()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，即()()120f f <，根据零点存在性定理可知()f x 在()1,2上存在零点，即方程20x e x --=的一个根所在的区间为()1,2， 故选：C ． 【点睛】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及零点存在性定理的应用，属于基础题． 6．C 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的． 7．A 【分析】由向量投影的概念可求得向量1e 在向量2e 方向上的投影. 【详解】由于单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为121cos32e π=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量投影的计算，考查平面向量投影概念的应用，考查计算能力，属于基础题. 8．A 【分析】对选项,A 利用回归直线过样本点的中心求出5a =，所以选项A 正确；对选项B ,可知变量x 与y 负相关，所以选项B 错误；对选项,C 当11x =时，0.5y =,所以选项C 错误；对选项D ,变量x 与y 之间是相关关系，所以选项D 错误.【详解】对选项,A 由题意可得：357964x +++==，6321144a ay ++++==，由回归直线过样本点的中心，得110.768.24a+=-⨯+，解得5a =，所以选项A 正确； 对选项B ,由0.70b =-<，可知变量x 与y 负相关，所以选项B 错误； 对选项,C 当11x =时，0.5y =,所以选项C 错误；对选项D ,变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系，所以选项D 错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查回归直线方程的性质及应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．D 【分析】利用排除法，先判断奇偶性，再取特殊值即可得结果. 【详解】解：由题意知函数的定义域为R())lnf x x x =，则())lnf x x x -=-，有()()()22ln 10x x f x x f x ⎡⎤-=+-=⎣⎦-，得()()f x f x =-，所以函数()f x 为偶函数，排除选项A ，B ；又())1ln 10f =<，排除选项C.故选：D.【点睛】此题考查了函数图像的识别，注意奇偶性、特殊值的使用，属于基础题. 10．A 【分析】切点为M ，由通径长得22b PF a =，由椭圆定义得212b PF a a=-，2c OM =，1OF c =，这样可得出2112PF PF =，即得,,a b c 的等式，从而可求得离心率e ． 【详解】如图，设直线1PF 与圆2224c x y +=相切于点M ，连接OM ，则2c OM =， 椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，2PF x ⊥轴，∴22=P b PF y a =，∴21222b PF a PF a a =-=-，1OM PF ⊥，2PF x ⊥轴，∴121OMF PF F ∽，∴121OM OF PF PF =，即2222ac cb b a a=-，解得c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式（齐次式）．本题结合通径长，椭圆的定义，圆的切线的性质得出所要求的等式，从而得解． 11．D 【分析】先求出()'x x x xe ef x e e ---=++2x ，再由f （x ）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，故f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|，解之即可求出使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围． 【详解】解：∵函数f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2，∴()'x xx xe ef x e e---=++2x ， 当x ＝0时，f ′（x ）＝0，f （x ）取最小值， 当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， ∴f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|， 整理，得x 2﹣2x ﹣3＞0， 解得x ＞3或x ＜﹣1，∴使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． 故选：D ． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 12．C 【分析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02x g x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 13．2i -+ 【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】 解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+ 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题． 14．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 在R 上为减函数，从而得到32001324log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，再解不等式组即可. 【详解】由题知：对任意不相等的实数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数，故32001324log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得：2273a ≤<.故答案为：22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题. 15．【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c ﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得， ∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16．33⎡-+⎣【分析】设()00,M x y ，根据双曲线的方程，得到A ，B ，求出124k k ⋅=，再设MP 的方程为3y k x =，根据直线3y k x =与圆()()22321x y -+-=有交点，得出圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】设()00,M x y ，因为直线OP 与E 的右支交于M ，所以220014y x -=，即220044x y -=，又双曲线E ：2214y x -=的左、右顶点分别为()1,0A -，()10B ,， 因此220000122200004411411MA MBy y y x k k k k x x x x =⋅=⋅===+----， 又点P 在圆C ：()()22321x y -+-=上运动， 所以直线OP 与圆C ：()()22321x y -+-=有交点， 所以圆心()3,2到直线OP 的距离小于等于半径1，又3OP MP k k k ==，所以直线OP 的方程为3y k x =，即30k x y -=， 所以圆心()3,2到直线OP的距离为1d =≤，即23381230k k -+≤，3k ≤，因此123343k k k k ⎡⋅⋅=∈+⎣.故答案为：33⎡-+⎣.【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，考查双曲线的简单性质，属于常考题型. 17．（1）21n a n =+；（2）69nn + 【分析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得n b 的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 【详解】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =，21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前n 项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得1,a d ，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前n 项和.18．（1）0.02a =（2）各抽3，2，1人．（3）35【详解】分析：（1）根据所有小长方形面积的和为1，求a 的值，（2）根据分层抽样按比例抽取人数，（3）先根据枚举法求总事件数，再求第4组至少有1人被抽中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 详解：（Ⅰ）()0.0050.010.030.035101a ++++⨯=，0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ， 5组人为1C ，共有2615C =种，符合有：()11A B ()12A B ()21A B()22A B ()31A B ()32A B()12B B ()11,B C ()21,B C 9种，∴93155P ==． 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 19．（1）2a x =；（2）（3）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）直接将三棱锥1B BEF -的体积用x 表示出来，再求二次函数的最大值；（2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大，连接1,BO B O ，说明1BOB ∠即为二面角1B EF B --的平面角，再求出1BOB ∠的正切值； （3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角，再解三角形，用x 表示出1cos HA E ∠，从而求出异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围. 【详解】解：（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面ABCD 所以()122211()()3266624B BEFa a a a a V a x x a a x x x ax x -⎡⎤⎛⎫=⋅-⋅⋅=-=-+=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2ax =时，三棱锥1B BEF -的体积最大. （2）取EF 中点O ，由（1）知，E ，F 为,AB BC 中点时，三棱锥1B BEF -的体积最大.所以11,BE BF B E B F ==，因此BO EF ⊥，1B O EF ⊥， 所以1B OB ∠就是二面角1B EF B --的平面角.在Rt BEF △中112222BO EF a ==⋅=，在1Rt BB O 中，11tan BB B OB BO∠==三棱椎1B BEF -的体积最大时，二面角1B EF B --的正切值为. （3）在AD 上取点H 使AH BF AE ==，则在正方形ABCD 中，所以11HF A B =，11//HF A B ，所以11//A H B F ， 所以1HA E ∠（或补角）是异面直线1A E 与1B F 所成的角.在1Rt A AH 中，1A H =在1Rt A AE △中，1A E =在Rt HAE 中，HE =，在1HA E 中，22221112211cos 2A H A E EH a HA E A H A E a x +-∠==⋅+，因为0x a <≤，所以22222a x a a <+≤，所以222112a x a≤<+， 所以11cos 12HA E ≤∠<，所以103HA E π<∠≤所以异面直线1A E 与1B F 所成的角的取值范围为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，几何法求二面角的余弦值，求异面直线所成的角，还结合考查了求函数的最值和取值范围，属于中档题. 20．（1）1-；（2）32. 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；（2）求出QF ，AB ，利用数量积公式证出QF AB ⊥，即MN AB ⊥，运用弦长公式表示出四边形的面积，结合不等式求出最小值． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l y kx =+，所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩由2142x y y x '=⇒=，所以()111112:l y y x x x -=-， 即：2111124:x l y x x =-，同理22221:24x l y x x =-，联立得1201202214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即01y =-.（2）因为12,22x x FQ +⎛⎫=-⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以()2222222121212120222x x x x x x FQ AB y y ---⋅=--=-=，所以QF AB ⊥，即MN AB ⊥，()21212||2444AB y y k x x k =++=++=+，同理24||4MN k=+， ()2222111||81182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖∣， 当且仅当1k =±时，四边形AMBN 面积的最小值为32. 【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题． 21．（Ⅰ）e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（I ）对原函数求导，根据()f x 在(0,)+∞内的单调性得ln 24x a x+在()0,x ∈+∞上恒成立，构造函数ln 2()x g x x+=，求出其最大值即可求出a 的取值范围; （Ⅱ）函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，等价于'()ln 240f x x ax =+-=在()0,x ∈+∞内有两根1x ，2x ，将极值点代入作差，设120x x <<，得到0a <时原不等式成立；0a >时，将原不等式转化为12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令12x t x =，(0,1)t ∈，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+，证明()(1)0h t h >=，即原不等式成立. 【详解】（I ）由题可知()ln 24f x x ax +'=-，0x >，f x 在0,内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤'在0,内恒成立， 即ln 24x a x x≥+在0,内恒成立， 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln x g x x --'=， ∴当10ex <<时，0g x ，即()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内为增函数， 当1x e >时，0g x ，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数， ∴()max g x =1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即4a e ≥，4e a ≥， ∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在0,内有两根1x ，2x ， 1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧∴⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-， 不妨设120x x <<，当0a <时，1212x x a+>恒成立， 当0a >时，要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--， 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 令12x t x =，(0,1)t ∈， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，22(1')()0(1)t h t t t --∴=<+， ()h t ∴在(0,1)t ∈上单调递减，()(1)0h t h ∴>=，2(1)ln 1t t t -∴>+， 即12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立， 1212x x a∴+>. 【点睛】 本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.22．（1）cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）；0x y -=； （2）13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由椭圆的参数方程的形式得到曲线C 1的参数方程，又由直线l 的极坐标方程可知直线l 过原点，斜率为1，则可求出l 的直角坐标方程．（2）由题意写出P ，Q 的坐标，可得M 的坐标，利用点到直线距离求解Q 坐标即可．【详解】（1）1C的参数方程为cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩（β为参数）； l 的直角坐标方程为0x y -=.（2）由题设(2,0)P -，由（1）可设(cos )Q ββ，于是11cos 2M ββ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭.M到直线l距离d==，当23πβ=时，d，此时点Q的直角坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查运用参数解决问题的能力，是基础题．。
四川省2021届高三数学(理)下学期第三次模拟考试试题(含答案)
高考模拟考试 数 学（理工类）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|20}{103}A x x x B =+-<=-，，，，则A B =(A) {1,0}- (B) {0,3} (C) {1,3}-(D) {}1,0,3-2．已知i 是虚数单位，复数12i z =+，则i z 的实部与虚部之和是(A) 2＋i(B) 3(C) 1(D)－13．下列命题中，真命题是(A) x ∃∈R ，22x x -≤ (B) x ∀∈R ，222x x >-(C) 函数1()f x x=为定义域上的减函数 (D) “被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个被2整除的整数不是偶数” 4．已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，则122+=||e e(A) 2(B) 5(C)(D) 55．右图是计算1111248512++++的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的是 (A) 12?n ≥ (B) 11n ？≥ (C) 10n ？≥ (D) 9n ？≥6．已知函数2()sin 2cos 12xf x x =+-，()22sin cosg x x x =，下列结论正确的是 (A) 函数()f x 与()g x 的最大值不同(B) 函数()f x 与()g x 在35()44ππ，上都为增函数 (C) 函数()f x 与()g x 的图象的对称轴相同(D) 将函数()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再通过平移能得到()g x 的图象7． 将A ，B ，C 共3本不同的书放到6个书柜里面，若每个书柜最多放2本，则不同的放法种数是(A) 210 (B) 120 (C) 90(D) 808．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是(A) 若α∥β，m ∥α，n ∥β，则m ∥n(B) 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥n(C) 若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β (D) 若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β9． 等腰直角三角形ABC 中，A ＝90°，A ，B 在双曲线E 的同一支上，且线段AB 通过双曲线的一个焦点，C 为双曲线E 的另一个焦点，则该双曲线的离心率为(A) 422- (B ) 522-(C) 422+ (D) 522+10．已知函数2342016()12342016x x x x f x x =+-+-+-，()ln ||||2g x x x =+-，设函数()(1)(1)F x f x g x =-+，且函数()F x 的零点都在区间[]()a b a b a b <∈∈Z Z ，，，内，则b a -的最小值为(A) 6 (B) 7 (C) 9(D) 10第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
2021年高三上学期暑假联考数学(理)试题 含答案
N Y 输入x②输出y 结束开始 ①2021年高三上学期暑假联考数学（理）试题 含答案一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1. 若集合，，则集合不可能是（ ） A ． B ． C ． D ．2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D.3.已知且，则“”是 “>1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为：不超过按元/收费，超过的部分按元/收费.相应收费系统的流程图如右图所 示，则①处应填（ ）5.在△ABC 中，，，则△ABC 的面积为（ ）A.3 B.4 C.6 D.6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．7.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D.8. 设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”．现给出下列函数：①；②；③；④；⑤是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有．其中是“倍约束函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题） 9.不等式的解集是 ．10．若52345012345(12),x a a x a x a x a x a x +=+++++则a 3= .11.若等比数列的各项均为正数,且,则 .12.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为 .13.设、满足约束条件，若目标函数的最大值为4，则的最小值为 .（二）选做题：(考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14.（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图，已知点在圆直径的延长线上，过作圆的切线,切点为若, 则圆的面积为 .三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本题满分12分）设, ,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的最大值及取最大值时的集合； （Ⅲ）求满足且的角的值．17. （本题满分12分）某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （Ⅰ）问四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列，数学期望和方差．18．(本题满分14分)如图，在四棱锥中，//，，，平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．19．（本题满分1４分）若数列的前项和为，对任意正整数都有记．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，数列的前项和为，证明:对于任意的,都有．20．（本题满分14分）如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的最小值，并求此时圆的方程；（Ⅲ）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．21.（本题满分14分）设函数，；，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求函数的最大值；（Ⅲ）求证：理科数学参考答案（Ⅱ）当，即时，有最大值，此时，所求x 的集合为． ………9分 （Ⅲ）由得 得…10分又由得 ， 故，解得． ……12分 17. 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，名学生中，来自两所中学的学生人数分别为．依题意得，的可能取值为， …………5分 ，，．… 8分∴的分布列为：… 10分22263616723(0)(1)(2)5205252050D ξ=-⋅+-⋅+-⋅=…… 12分 18．（Ⅰ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，. …………2分 所以 ，，， 所以(4)22222000BD AC ⋅=-⨯+⨯+⨯=，.所以 ，. 4分 因为 ，平面，平面，所以 平面. …………………6分 （Ⅱ）解：设（其中），，线与平面所成角为.所以. 所以. 即 . ……………9分由（Ⅰ）知平面的一个法向量为. 因为 ， ……………12分 得 .解得 .所以. …………14分法2：(Ⅰ) 依题意：∽,所以，又因为，所以，所以 …..2分又因为平面，，所以 …..4分 因为 ，平面，平面，所以 平面. ………6分（Ⅱ）解：设（），，直线与平面所成角为.记交于，连结.过作平行于，交于. 连结、. 由（Ⅰ）知，平面，平面，即为与平面所成角. ①. ……8分设（），则.在中，，，. 易证∽，，即， ， ②. 在中，，，， .在中，，，.根据余弦定理有：PCPQ CQ PC PQ PC PB BC PC PB ⋅-+=⋅-+22222222， …………12分OCBAz yxPD C B A即kCQ k 24722)72()24(72242)32()72()24(222222⨯⨯-+=⨯⨯-+，解得 ③.将②，③代入①，解得. ………14分 19解：（Ⅰ）由，得，解得． …………1分 ，得，解得． …………3分（Ⅱ）由 ……①， 当时，有 ……②， …………4分①－②得：， …………５分 数列是首项，公比的等比数列 …………６分 ， …………７分 ． …………８分 （Ⅲ）证明:由（2）有. …………10分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 12分 …………13分 . …………14分20.解：（Ⅰ）依题意，得，，；故椭圆的方程为 ． ……………3分 （Ⅱ）点与点关于轴对称，设，， 不妨设．由于点在椭圆上，所以． （*） ……………4分 由已知，则，，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴ ．………6分由于，故当时，取得最小值为． 由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到． 故圆的方程为：． …………………8分 （Ⅲ） 设，则直线的方程为：， 令，得， 同理：， …………10分故 （**） ………………11分 又点与点在椭圆上，故，，……………12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以为定值． …………14分 21.解：（Ⅰ）的定义域为，， …1分 令，ⅰ）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为； ……2分 ⅱ）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为； ……3分在区间上，恒成立，故的增区间为. ……4分（Ⅱ）ⅰ）时，，所以；……5分ⅱ）时，易知，于是：，，由（Ⅰ）可知，下证，即证明不等式在上恒成立.（法一）由上可知：不等式在上恒成立，若，则，故，即当时，，从而，故当时，恒成立，即. ……7分（法二）令，，则，列表如下：表：递减极小值递增由表2故恒成立，即. ……7分由于，且，故函数区间内必存在零点. ……8分又当时，，指数函数为增函数为增函数，同理当时，，指数函数为减函数也为增函数，于是，当时，必为增函数，从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，易知当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，又易知，故；27206 6A46 橆26228 6674 晴37029 90A5 邥36582 8EE6 軦38199 9537 锷 37922 9422 鐢#32395 7E8B 纋39623 9AC7 髇27930 6D1A 洚o24527 5FCF 忏。
2021年高三暑期学情摸底考试数学试题 Word版含答案
2021年高三暑期学情摸底考试数学试题 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．纸相应位置上．．．．．．． 1.设全集，集合.若，则集合 . 答案：.2.已知复数（为虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 .答案：3.3.抛物线的焦点到准线的距离为 . 答案：.4.命题“ ∀ x ∈R ，| x | ＋x 2≥ 0 ”的否定．．是 . 答案：否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”.5.设a ＝log ，b ＝，c ＝0.83.1，则从小到大排列为 . 答案：c ＜a ＜b .6.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 . 答案：18.7.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 . 答案：.8.已知圆：，直线：（），设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .答案：4.9.若将函数f （x ）＝sin 2 x ＋cos 2 x 的图像向右平移个单位，所得图像关于y 轴对称，则的最小正值是 . 答案：φmin ＝3π8.10.有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9.现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 . 答案：.11.若函数f （x ）＝| x ＋1 |＋| 2 x ＋a | 的最小值为3，则实数a 的值为 . 答案：－4或8.12.设a ＞0，b ＞0，4 a ＋b ＝a b ，则在以（a ，b ）为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 . 答案：（x －3）2＋（y －6）2＝81.解析：∵4b ＋1a ＝1，∴（a ＋b ）·⎝⎛⎭⎫4b ＋1a ＝5＋4a b ＋b a ≥5＋24＝9.当且仅当b ＝2a 时，等号成立.即b ＝6，a ＝3，∴圆的标准方程为（x －3）2＋（y －6）2＝81.13.如图，偶函数的图象形如字母M ，奇函数的图象形如字母N ，若方程：，，，的实数根的个数分别为a 、b 、c 、d ，则= .答案：30.14.已知 [x ）表示大于的最小整数，例如[3）＝4，[－1.3）＝－1.下列命题：①函数的值域是（0，1]；②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若（1，xx ），则方程有个根.其中，正确命题的序号是 . 答案：①.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定位置．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值； （2）求在区间 [，]上的最大值和最小值.12 -1 -2xyO1-1O1 -1-2216.（本小题满分14分）如图，四棱锥PABCD 中，为菱形ABCD 对角线的交点，M 为棱PD 的中点，MA ＝MC .（1）求证：PB 平面AMC ；（2）求证：平面PBD 平面AMC .证明：（1）连结，因为为菱形ABCD 对角线的交点，所以为BD 的中点，又M 为棱PD 的中点，所以， …… 2分 又平面AMC ，平面AMC ，所以PB 平面AMC ； …… 6分 （2）在菱形ABCD 中，ACBD ，且为AC 的中点，又MAMC ，故A ， …… 8分 而OMBD ，OM ，BD 平面PBD ，所以AC 平面PBD ， …… 11分 又AC 平面AMC ，所以平面PBD 平面AMC . …… 14分17.（本小题满分14分）（如图）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是、、. （1）若、、依次成等差数列，且公差为2.求的值； （2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值.APD COM （第16题）解析：（1）、、成等差，且公差为2，、. 又，，， ，恒等变形得 ，解得或.又，. （2）在中，， ，，. 的周长 ， 又，,当即时，取得最大值. 18.（本小题满分16分）数列{}满足＝1，n ＝（n ＋1）＋n （n ＋1），n ∈N *. （1）证明：数列{}是等差数列； （2）设＝·，求数列{}的前n 项和.解：（1）证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得a n n ＝1＋（n －1）·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋（n －1）×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋（n －1）3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19.（本小题满分16分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F （1，0），A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△APB 面积的最大值为. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线AP 与直线交于点D ，证明：以BD 为直径的圆与直线PF 相切.解析：（1）由题意可设椭圆的方程为.由题意知2221221, .a b c a b c ⎧⋅⋅=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得.故椭圆的方程为.……………………6分（2）由题意，设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为.由得. 设点的坐标为，则.所以，.……10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为. 直线轴，此时以为直径的圆与直线相切.…11分 当时，则直线的斜率.所以直线的方程为.……13分 点到直线的距离.…………15分又因为 ，所以.故以为直径的圆与直线相切.综上得，以为直径的圆与直线相切. ………………………16分 20.（本小题满分16分）已知函数,其中e 是自然对数的底数. （1）证明:是R 上的偶函数； （2）若关于的不等式≤在（0，）上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知正数满足：存在[1，），使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论. 解析：（1）函数的定义域为，关于原点对称；又因为，所以函数是上的偶函数； （2）≤，即；令；因为，当且仅当时，等号成立； 故，令，下只要求.；则当时，；则当时，；因此可知当时， ；则. 综上可知，实数的取值范围为.（3）难题分解1：如何根据条件求出参数的取值范围？分解路径1：直接求函数的最值（笔者称其为“单刀直入”法） 解：令，只要在上，即可. . 且当时，；当时，，，则. 故在区间上，，即函数为的增函数，则，解得. 分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则（想想这是为什么？留给大家思考.） 此时，则，构造函数，即求此函数在 上的最小值.2030200300)3()33)(()3)(()(000x x x e e x x e e x g o x x x x +-+-+-+--='-- 因为，33,0,03,0200300000<+->+>+->---x e e x x e e x x x x ，，则0)33)(()3)((200300000>+-+-+----x e e x x e e x x x x . 则在上恒成立，故，故.难题分解2：如何根据求得的参数的取值范围比较与的大小？ 分解路径1：（取对数）与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，即比较与的大小. 构造函数， 则，再设，，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减. 当时，；当时，；当时，. 分解路径2：（变同底，构造函数比大小）要比较与的大小，由于，那么，故只要比较与的大小.令，那么，当时，；当时，；所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数. 又，，则，；那么当时，，，；当时，，，.综上所述，当时，当时，；当时，.24045 5DED 巭30212 7604 瘄32806 8026 耦I\jf30573 776D 睭34761 87C9 蟉,36994 9082 邂m31998 7CFE 糾。
四川省成都市新都一中2021-2022学年高一下学期期中联考模拟数学试卷(三)
四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟03数学试卷一、单选题(共60分)1．tan 75︒=（）A ．23-B ．23+C ．32-D ．33-2．《九章算术》“竹九节”问题中指出，若有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上5节的容积为4升，下4节的容积为5升，问第五节的容积是多少升？（）A ．0.8B ．0.9C ．1D ．1.13．等比数列{}n a 的前n 项和12n n S a b -=⋅+，则ab=（）A ．-2B ．32-C ．2D ．324．在长方形ABCD 中，AB 6=，2AD =，点M 满足AM MC = ，点N 满足2NC DN = ，则MN AC ⋅=（）A ．1B ．0.5C ．3D ．1.55．若21sin2212sin αα+=-，则tan α=（）A ．13B ．1-C ．13或1-D ．13-6．sin1013tan10︒-︒＝（）A ．14B ．12C ．32D ．17．在ABC 中，已知sin sin cos A B C =，则（）A ．90A =︒B ．90B =︒C ．AC BC =D ．AB AC=8．等差数列{}n a 中，12022a =，其前n 项和为n S ，若202120222022202120212022S S -=⨯，则2022S 的值等于多少？（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20239．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，AB =2AD =4CD =4，点E 为AD 的中点，设BE xBA yBC =+，则4x y +=（）A ．3B ．98C ．2D ．3210．已知向量122a ⎛=- ⎝⎭，1,22b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（）A ．()a b b +⊥B ．()a b a+⊥r r rC ．()()a b a b +⊥- D ．()()//a b a b +-11．若sin 25α=，()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．7π4B ．π4C ．4π3D ．5π312．△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ．若222b a c ac b =+-=，则2a c +的最大值为（）A．B．C．5+D．5-二、填空题(共20分)13．已知正三角形ABC 的边长为2，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅uu u r uu r的最大值为___________.14．在数列{}n a 中，11a =，()112nn n a a ++-=，N n *∈，则3a =______(2分)；{}n a 的前2022项和为______（3分）．15．在锐角ABC 中，,,A B C 分别为ABC 三边为,,a b c ，222sin sin sin sin sin A B C A C -+=⋅，且b =，则a c +的取值范围是_____.16．已知平面向量a ，b ，c 满足，b c⊥，2b c == ，若8a b a c ⋅=⋅= ，则a =r ______．三、解答题(共70分)17．已知a ，b ，c是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = .(1)若()31,3c k k =+- ，且c a ∥，求k 的值；(2)若()()1,0m b m =< ，且2a b +与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ.18．等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若1S ，2S ，4S 成等比数列，且663(2)S a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且，求数列1{}nb 的前n 项和n T .19．已知函数()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为2.(1)求a 的值及()f x 图像的对称中心；(2)画出()f x 在[]0,π上的图象；(3)当[]0,x π∈时，求不等式()1f x <-的解集.20．已知函数()2f x x x =-，当[](),1x n n n N +∈+∈时，记函数()f x 的值域中，整数的个数为n a .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S λ<恒成立，求整数λ的最小值.21．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足()2224(2)tan cS a c a c b C =-+-.(1)求B ;(2)求222cos cos cos A B C ++的取值范围.22．（1）已知函数()2sin cos 1222x x x f x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）已知G 是ABC 的重心，BD DC = ，过点G 作直线l 交AB 、AC 边分别于点E 、点F ，设2AE xAB =，AF y AC= ，求112x y+的值．四川省成都市新都一中高2021级第二期期中联考模拟03数学参考答案1．B解：()1tan 45tan 303tan 75tan 453021tan 45tan 303+︒+︒︒=︒+︒===-︒︒，故选：B 2．C设自上而下各节的容积分别为129,,,a a a L ，公差为d ，则12345678945a a a a a a a a a ++++=⎧⎨+++=⎩，化简得1151044265a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10.60.1a d =⎧⎨=⎩，故5141a a d =+=.故选：C.3．A12n n S a b -=⋅+，当1n =时，1a a b =+，当2n =时，122a a a b +=+，故2a a =，当3n =时，1234a a a a b ++=+，从而32a a =，由于{}n a 是等比数列，故()22a a a b =+，解得：2ab=-.故选：A 4．A如图，以A 为原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),2),(0,2)A B C D ，由AM MC =知M ，由2NC DN =知(,2)3N，则(2)6MN AC =-=，故1216MN AC ⋅=+⨯= .故选：A.5．A 解：因为21sin 2212sin αα+=-，所以21sin 212sin αα+-2222sin 2sin cos cos cos sin αααααα++=-()()()2sin cos cos sin cos sin αααααα+=+-sin cos tan 1cos sin 1tan αααααα++==--，即tan 121tan αα+=-，解得1tan 3α=.故选：A.6．A解：==⎝⎭()sin 204sin 3010︒︒-︒=14=．故选：A 7．B因为[]sin sin ()sin()sin cos cos sin sin cos A B C B C B C B C B C =-+=+=+=π,所以cos sin 0B C =,又0180C ︒<<︒，故sin 0C ≠，所以cos 0B =,由0180B ︒<<︒可得90B =︒,故选：B 8．C解:因为等差数列{}n a 中，设公差为d ，则112n S n a d n -=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是等差数列，由202120222022202120212022S S -=⨯得，20222021120222021S S -=-，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差是1-，所以()()1=+1120231n S S n n n --=-，所以20222023202212022S =-=，所以20222022S =，故选：C.9．A在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB =4CD ，则14CD BA =，由给定图形知：BE BA AE=+ ，14BE BC CD DE BC BA DE =++=++ ，而点E 为AD 的中点，即0AE DE += ，两式相加得：152()()44BE BA AE BC BA DE BA BC =++++=+ ，即5182BE BA BC =+，因,BA BC 不共线，又BE xBA yBC =+ ，因此，51,82x y ==，则43x y +=，所以43x y +=.故选：A10．对于A，a b +=⎝⎭，()11102222a b b -+=-⨯≠ ，A 错误；对于B ，()102a b a +=-≠ ，B 错误；对于C ，()()22222211022a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+-=-=-+-+-=⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，C 正确；对于D，a b ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，a b +=⎝⎭，2=-，2=≠a b+不平行于a b-，D错误；故选：C.11．A因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为sin25α=，所以π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos2=α-因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为()sinβα-=所以()cos=βα-==所以()()()()cos cos2=cos cos2sin sin2βαβααβααβαα+=-+---2=2⎛⎛⨯--⎝⎭⎝⎭.因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π,2π4βα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以7π4αβ+=.故选：A12．A由余弦定理2221cos22a c bBac+-==，又0Bπ<<，故3Bπ=，由正弦定理知：2sin sin sinb a cB A C===，则2sin,2sina A c C==，所以24sin2sina c A C+=+，而23A Cπ=-，则224sin()2sin4sin)3a c C C C C Cπϕ+=-+=+=+且tanϕ=，又23Cπ<<，当2Cπϕ+=时2a c+的最大值为故选：A13．2以BC 为x 轴，BC 边上的高为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()()1,0,1,0,0,3B C A -，()(),011P x x -≤≤(),3AP x =-uu u r ，()1,0BP x =+uu r则()2211124AP BP x x x x x ⎛⎫⋅=+=+=+- ⎪⎝⎭uu u r uu r ，当1x =时，AP BP ⋅uu u r uu r 有最大值2故答案为：214．1-，2024由()112nn n a a ++-=，得()121nn n a a +=--，又11a =，所以()21213a a =--=，()232211a a =--=-，()343211a a =--=，()454211a a =--=，()565213a a =--=，可知数列{}n a 为周期数列，周期为4，故202212342021202212505()50542024S a a a a a a a a =+++++=⨯++=.故答案为：1-；2024.15．(3,23⎤⎦由222sin sin sin sin sin A B C A C -+=⋅；得：222a b c ac -+=，则2221cos 22a cb B ac +-==，而(0,)B π∈，故3B π=，故32sin sin sin 3a c A C π===，则22sin 2sin 2sin 2sin()23sin()36a c A C A A A ππ+=+=+-=+，因为在锐角ABC 中，232C A ππ=-<，故(,)62A ππ∈，故2(,)633A πππ+∈,故3sin()(,1]62A π+∈，所以23sin()(3,23]6a c A π+=+∈，故答案为：(3,23⎤⎦16．4284cos 02a b a b aa ab ⋅===>⋅ ，，84cos 02a c a c a c a a ⋅===>⋅，则a b c = ，，且a b，、a c ，均为锐角即向量a 平分向量b 与c的夹角，又b c ⊥，即向量b 与c 的夹角为90 ，则45a b a c == ，，故cos 458a b a b ⋅==，解得a = ．故答案为：17．(1)//,32(31),1c a k k k ∴-=+=-(2)2(1,2)(2,2)(3,22)a b m m +=+=+ ，2(1,2)(2,2)(1,22)a b m m -=-=--2a b + 与2a b- 垂直，3(1)(22)(22)0m m ∴⨯-++-=，214m =由0m <得12m =-111202a b ⎛⎫∴⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，ab∴⊥ 故a 与b的夹角为90︒18．(1)解：设{}n a 的公差为d ，由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：124a d =⎧⎨=⎩，42n a n ∴=-；(2)解：由（1）知42n a n =-，184n n b b n -∴-=-，1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- （迭代法，这是叠加法的另一种表现形式）(84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=()2442n n =-≥，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- ，111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111()22121n b n n ∴=--+，1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ 11(122121n n n =-=++.19．(1)依题意，()214cos cos cos 2cos 22f x x x x a x x x a ⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎝⎭1cos22sin216x x a x aπ⎛⎫=+++=+++⎪⎝⎭，因()max2f x=，则10a+=，解得1a=-，由2,Z6x k kππ+=∈解得,Z212kx kππ=-∈，所以1a=-，()f x图象的对称中心为(,0)(Z)212k kππ-∈.(2)由（1）知()2sin(2)6f x xπ=+，列表，描点作图如图：x06π512π23π1112ππ26xπ+6π2ππ32π2π136π()2sin(2)6f x xπ=+1202-01(3)由()1f x<-得：1sin(2)62xπ+<-，因0xπ≤≤，即132666xπππ≤+≤，则有7112666xπππ<+<，解得526xππ<<，所以不等式()1f x<-的解集为5{|}26x xππ<<.20．(1)由题意知：函数()2f x x x=-的对称轴为12x=，()f x∴在[](),1x n n n N+∈+∈上递增，()f x∴的值域为22,n n n n⎡⎤-+⎣⎦，()()22121na n n n n n∴=+--+=+.(2)由（1）得：2122nn na n+=，()()123111111357212122222n n nS n n-∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，()()23411111113572121222222n n nS n n+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，()1123111111113212222222n n nS n+-∴=⨯-+⋅++++⋅⋅⋅+()()11111111315115252221211222222212nn n n nnn n-++-+⎛⎫-⎪+⎝⎭=-+⋅+=-+⋅-=--，2552n nnS+∴=-；又2502nn+>，5nS∴<，∴整数λ的最小值为5.21．(1)由题意1sin4sin(2)2cos2cosCc ab C a c ac BC⋅=-，()sin 0,cos 2cos C b C a c B ≠=-，所以cos cos 2cos b C c B a B +=，由正弦定理，得2sin cos 2sin cos 2sin cos R B C R C B R A B +=，即2sin()2sin cos R B C R A B +=，即sin()sin cos B C A B +=，即sin sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以()1cos ,0,2B B π=∈所以3B π=.(2)原式11111cos 2cos 222422A C =++++，51[cos 2cos(22())]42A AB π=++-+，512=cos 2cos 2423A A π⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，511cos 22422A A ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，515sin 2426A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 02A π<<且232A ππ-<，(,6)2A ππ∴∈，所以57112,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以51sin 21,62A π⎛⎫⎡⎫+∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭故222cos cos cos A B C ++的取值范围是3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．（1）()2sin cos 1222x x x f x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1coscos 1222x x x -⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos cos 1222x x x -=+1cos12x -=cos 322x x -=+2sin 3622x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=+3sin 62x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以6x π+2,63ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，351sin 622x π⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭，所以3sin 62x π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）因为G 是重心，所以23AG AD =uuu r uuu r 211()322AB AC =+ 1133AB AC =+ 又因为,,E G F 三点共线，所以(1)AG t AE t AF =+- 2(1)t x AB t y AC=⋅⋅+-⋅⋅ 联立1231(1)3tx t y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得16113t x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以11163x y+=，两边乘以3得，1132x y+=。
四川省成都市2021届高三毕业班第三次诊断检测数学(理)试题
B．这12天中空气质量最好的是4月9日
C．这12天的AQI指数值的中位数是90
D．从4日到9日,空气质量越来越好
5．已知双曲线 ，直线 ．若直线 平行于双曲线 的一条渐近线且经过 的一个顶点，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )
A．1B．2C． D．4
6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的 分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）
由题意可知,一个顶点为 , ,所以 . 焦点 到渐近线 的距离 .所以选B.
【点睛】
如果熟练的同学可以知道,焦点 到渐近线的距离为 的距离, 为定值.
6．D
【解析】
由框图功能可知,它的作用是统计出分数大于或等于110分的人数n.所以 .选D.
7．D
【解析】
如下图,我们可知 概率为两个面积比 .选D.
（1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，设曲线 经过伸缩变换 ： 得到曲线 ，若 为曲线 上任意一点，求点 到直线 的最小距离.
22．选修4-5：不等式选讲
已知 ．
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若函数 的值域为 ，且 ，求 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
选B.
2．A
【解析】
,所以 ,选A.
3．B
【解析】
由题意可得,数列 的通项公式为 ,又 ,所以 ,选B.
4．C
【解析】
由图可知, 不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对,不选. 最小的一天为10日,所以B对,不选.中位为是 ,C错.从图中可以4日到9日 越来越小,D对.所以选C.
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成都市新都一中2021届高三普通班数学（理）暑期作业卷三一、单选题 1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，2{|30}B x x x =->，则集合AB 的子集个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．82．设x ∈R 则“29x >”是“381x>”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3．函数y =1x−ln (x+1)的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知3,ln 3ln a b ππ==，c ＝e （e 为自然对数的底数），则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c5．在ABC 中，三个角满足2A B C =+，且最长边与最短边分别是方程2327320x x -+=的两根，则BC 边长为（ ） A ．6B ．7C ．9D ．126．在边长为3的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，2AM MB =，则DM DB ⋅=（ ） A ．172B ．-1C ．152 D ．927．各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）．A ．14-B ．5-C ．4-D ．1-8．若实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ． 69．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 A ．1B ．2C ．3D ．410．2020年6月23日，我国第55颗北斗导航卫星发射成功.为提升卫星健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行卫星监测技能竞赛，成绩分为“优秀”、“良好”、“待提高”三个等级.现有甲、乙、丙、丁四人参赛，已知这四人获得“优秀”的概率分别为12、14、23、23，且四人是否获得“优秀”相互独立，则至少有1人获得“优秀”的概率为（ ） A ．2324B ．118C ．79D ．2911．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A ．在α内存在直线与直线l 异面 B ．在α内存在直线与直线l 相交 C ．在α内存在直线与直线l 平行 D ．存在过直线l 的平面与α平行12．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，PAB △为阿基米德三角形.抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P .给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP △为直角三角形且90APB ︒∠=；（2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭； （3）PAB △的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB △的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）.A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4） 二、填空题13．已知复数12z i =-+，22z a i =+（i 为虚数单位，a R ∈）．若12z z 为实数，则a 的值为_____．14．已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，23AC =，2BC =，cos 3sin ACB ACB ∠=∠，4=AD ，则球O 的表面积为___________.15．焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PA PF的最大值为______． 16．已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x的取值范围为_________.三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝2，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）记1211n n n b S a -=+求数列{b n }的前n 项和T n ．18．为了做好中央提出的“六稳”工作，落实“六保”任务，努力实现全年经济社会发展目标，某省采取了“云”上谈生意助力经济加速发展的稳外贸措施，通过电商平台，为外贸企业“在线洽谈、直播营销”提供服务和支持.已知该省某电商平台为某外贸工厂的产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如表数据：单价x （元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y （万件）908483807568（1）根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程；（2）现已知该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，请预测把单价定为多少时，此外贸工厂可获得的利润最大？参考公式：回归方程y bx a =+, 1122211()()()()n niiiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-19．如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 是边AD 上的一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中点，现将ABE △沿着BE 折起构成四棱锥A BCDE -，M 是四棱锥A BCDE -棱AD 的中点.（1）证明：//HM 平面ABC ；（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，求二面角C AB E --的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值； （2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21．已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx >恒成立，求实数m 的取值范围．22．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为2 4cos 4sin 12ρρθρθ+-=，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点. （1）求点Q 的轨迹(曲线C )的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点(1,2)M -恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程.详解1．C 【解析】 【分析】先求集合的交集，再根据集合子集与元素的个数公式计算即可. 【详解】 因为{}0,1,2,3,4A =，{}|03B x x =<<，所以{1,2}AB =，故其子集的个数是224=.故选：C . 【点睛】本题考查集合交集运算，集合子集个数的计算，是基础题. 2．B 【解析】 【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小关系得到答案. 【详解】29x >，则()()33,,x ∞-∞∈-+；381x>，则()4,x ∈+∞，故“29x >”是“381x >”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 3．A 【解析】 【分析】计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断x,ln (x +1)大小关系，可得结果. 【详解】由题可知：函数定义为x ∈(−1,0)∪(0,+∞)y ′=0−(1−1x +1)[x −ln (x +1)]2=−x (x +1)[x −ln (x +1)]2 当x ∈(−1,0)时，y ′>0 当x ∈(0,+∞)时，y ′<0所以可知：原函数在(−1,0)递增，在(0,+∞)递减 令g (x )=x −ln (x +1)，则g ′(x )=1−1x+1=xx+1当x ∈(−1,0)时，g ′(x )<0 当x ∈(0,+∞)时，g ′(x )>0则g (x )在(−1,0)递减，且g (x )>g (0)=0 g (x )在(0,+∞)递增，g (x )>g (0)=0所以函数y =1x−ln (x+1)在定义域中，函数值均大于0 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题. 4．D 【解析】 【分析】 构造函数()(0)ln xf x x x=>，利用导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】 设()(0)ln xf x x x=>， 则2ln 1()(ln )x f x x -'=令()0f x '=解得x e =当0x e <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增， 又因为3e π<<， 所以3ln ln 3ln e e e ππ=<<，即b ＞a ＞c 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，由单调性判断函数值的大小，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】首先根据题的条件，确定出最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒，利用韦达定理得到9b c +=，323bc =，利用余弦定理求得BC 边长. 【详解】因为2A B C =+，可知最长边和最短边必定为b ，c ，且60A ∠=︒， 于是，9b c +=，323bc =， 根据余弦定理：()22222cos603813249a b c bc b c bc ︒=+-=+-=-=， 解得7a =， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有韦达定理，余弦定理，属于基础题目. 6．C 【解析】 【分析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项. 【详解】2()()()3DM DB AM AD AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭22222525π153333cos 333332AB AD AB AD =+-⋅=⨯+-⨯⨯=. 故选:C . 【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出. 【详解】 因为55S =-， 所以154552a d ⨯+=-， 即121a d +=-，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，所以2436()a a a =，即2(1)1(13)d d -+=-⨯-+，解得1d=-或0d =（数列各项不相等，舍去），所以734145a a d =+=--=-，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题. 8．C 【分析】先做出不等式约束的平面区域，再根据线性规划求解即可. 【详解】解：实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域如图，令2z x y =+，根据图象，当目标函数经过可行域的C 点时，取得最大值， 由1=01=0x x y -⎧⎨-+⎩解得()1,2C 所以()max 21225x y +=+⨯=故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 9．B分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10．A【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得，四人中至少有1人获得“优秀”的概率为211223 111124324 P⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 11．A【解析】【分析】利用M、N是不在α内的任意两点，可得直线l与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M、N是不在α内的任意两点，则直线l与平面α平行或相交，若l与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l相交，所以B错误：若直线l与平面α相交，则不存在过直线l的平面与α平行，所以D错误：若直线l与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l平行，所以C错误；不论直线l与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l异面，所以A正确.故选：A.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.12．D【解析】【分析】设211,2xA xp⎛⎫⎪⎝⎭，222,2xB xp⎛⎫⎪⎝⎭，12x x<，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得221PA PBpk kp-⋅==-，正确；写出切线方程，联立求出P 点坐标，得（2）错误；用,A B 两点坐标表示出AB k ，写出直线AB 方程，并化简可得（3）正确； 设N 为抛物线弦AB 的中点，立即得（4）正确；【详解】由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，由22x py =，得22x y p =，则x y p '=，所以1PA x k p =，2PB x k p =，若弦AB 过焦点，∴212x x p =-，∴221PA PB p k k p-⋅==-，∴PA PB ⊥，故（1）正确；以点A 为切点的切线方程为2111()2x x y x x p p-=-，以点B 为切点的切线方程为2222()2x x y x x p p -=-，联立消去y 得122x x x +=，将122x x x +=代入2111()2x x y x x p p -=-，得122x x y p =，所以1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故（2）错误；设N 为抛物线弦AB 的中点，N 的横坐标为122N x x x +=，因此则直线PN 平行于y 轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线AB 的斜率为222121122121222x x y y x x p p k x x x x p--+===--，故直线AB 的方程为21121()22x x x y x x p p+-=-，化简得1212()20x x x py x x +--=，故（3）正确，故选：D.． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题． 13．4 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出实数a 的值. 【详解】()()()()1222224z z i a i a a i =-++=--+-为实数，则40a -=，解得4a =.故答案为：4. 【点睛】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题． 14．32π 【解析】首先绘出三棱锥D ABC -的图像，然后根据cos 3sin ACB ACB ∠=∠得出π6ACB ∠=，根据余弦定理求出2AB =以及120ABC ∠=︒，再然后设ABC 外接圆的半径为r 以及球O 的半径为R ，根据正弦定理得出2r ，最后在O OA '△中得出2222h R +=，在OMD 中得出222(4)2h R -+=，联立后求出28R =，即可得出结果. 【详解】如图，绘出三棱锥D ABC -的图像：因为cos 3sin ACB ACB ∠=∠，得3tan 3ACB ∠=， 因为0ACB π<∠<，所以π6ACB ∠=， 因为23AC =，2BC =，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，代入得23124223242AB =+-⨯⨯⨯=，解得2AB =， 所以ABC 为等腰三角形，且120ABC ∠=︒，设ABC 外接圆的半径为r ，球O 的半径为R ，由正弦定理得232sin120r =︒，解得2r，设ABC 的外心为O '，OO h '=，过O 作OM AD ⊥，则在O OA '△中，2222h R +=，在OMD 中，222(4)2h R -+=，联立()222222242h R h R⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得28R =，球O 的表面积为2432S R ππ==， 故答案为32π. 【点睛】本题考查球的表面积的求法，主要考查球与三棱锥相接的相关性质，考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题. 15．2【分析】根据抛物线定义转化为||||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最大时，即直线与抛物线相切时，||||PA MP 取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解. 【详解】根据题意，过P 做PM 与准线垂直，垂足为M ，如图：设MPA PAF θ∠=∠=则||||1||||cos PA PA PF MP θ== 若||||PA PF 取得最大值，必有cos θ取得最小值，则θ取得最大值， 此时AP 与抛物线相切,设直线AP 的方程为(1)y k x =+联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得：22(1)4k x x +=即224210x x k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭由224240k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭， 解得：1k =或1k =-（舍去），由tan 1kθ==，0θπ≤<知，4πθ=，所以||||PAPF的最大值为1222=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题. 16．[2,1]e+【解析】【分析】因为1()f xa x'=+，可得1(0)1fa'==，即1a=，所以()ln(1)f x x=+，()f x是(1,)-+∞上的增函数，结合已知，即可求得答案. 【详解】1()f xa x'=+，1(0)1fa'∴==，1a，∴()ln(1)f x x=+，()f x是(1,)-+∞上的增函数，又()00f=，(1)ln(11)1f e e-=-+=，∴021x e≤-≤-，21x e∴≤≤+.即[2,1]e+故答案为：[2,1]e+【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．（Ⅰ）2na n=，(1)nS n n=+；（Ⅱ）11212nn--+【解析】【分析】（Ⅰ）由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式和求和公式；（Ⅱ）运用数列的分组求和以及数列的裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】解：（Ⅰ）1a，2a，4a成等比数列，∴2214a a a=，12a =，2(2)2(23)d d ∴+=+，解得2d =或0d =（舍去）， 2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，(22)(1)2n n n S n n +==+． （Ⅱ）由（Ⅰ）得1111(1)1n S n n n n ==-++，112111222n n n a --==， 11112n n b n n =-++， ∴11(1)1111122(1)()()1223112n n T n n -=-+-+⋯+-++- 11111121212n n n n =-+-=--++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（1）20250y x =-+；（2）预测把单价定为8.25元时，此外贸工厂可获得的最大利润为361.25万元. 【解析】 【分析】（1）根据题目中的所给的公式进行求解即可；（2）根据题意写出利润关于单价的函数关系式，结合配方法、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】 （1）88.28.48.68.898.56x+++++==，908483807568806y +++++==，616222222218908.2848.4838.6808.875968=4066,=8+8.2+8.4+8.6+8.8+9=434.2i ii ii x yx===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑6162221406668.5801420434.268.50.7()i ii ii x y nx yb xn x ==--⨯⨯-====--⨯-∑∑，80(20)8.5250a y bx =-=--⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为：20250y x =-+；（2）此外贸工厂可获得的利润为L 万元，所以有2(4)(20250)20(8.25)361.25L x x x =--+=--+，因此预测把单价定为8.25元时，此外贸工厂可获得的最大利润为361.25万元. 【点睛】本题考查了求线性回归方程，考查了数学建模能力，考查了二次函数的最值问题，考查了数学运算能力. 19．（1）证明见解析；（2）33. 【解析】 【分析】（1）取AC 中点F ，在线段BC 上取一点P ，满足2PC BP =，连MF ，FP ，HP ，根据已知条件可得，四边形HMFP 为平行四边形，得到HM PF //，即可证明结论；或取CD 中点N ，连,MN HN ，可证平面//MHN 平面ABC ，即可证明结论；（2）要使四棱锥A BCDE -体积最大时，只需点A 到平面BCDE 距离最大，得到平面ABE ⊥平面BCDE ，结合翻折前图形关系，得到AH ⊥平面BCDE ，建立空间直角坐标系，确定,,,A B C E 坐标，进而求出平面ABC 、平面ABE 的法向量坐标，再由空间向量二角角公式，即可求解. 【详解】解：（1）方法一：如上图，取AC 中点为F ，在线段BC 上取一点P ， 满足2PC BP =，连接MF ，FP ，HP ， 由M ､F 分别是AD ､AC 中点，则1,//2MFDC MF DC =， 由1,//2HP DC HP DC =，则//,HP MF HP MF =， 则四边形HMFP 为平行四边形，则HM PF //， 由HM⊄平面,ABC PF ⊂平面ABC ，所以//HM 平面ABC ； 方法二：如上图，取DC 中点为N ，连接MN ，HN ， 由M ，N 分别是AD ，CD 中点，则//MN AC ，MN ⊄平面,ABC AC ⊂平面ABC ， //MN 平面ABC ，由H ，N 分别是BE ，CD 的中点，则//HN BC ， 同理可证//HN 平面ABC ，,,MN HN N MN HN =⊂平面MHN ，所以平面//MHN 平面,ABC HM ⊂平面MHN ，所以//HM 平面ABC ；（2）当四棱锥A BCDE -体积最大时，平面ABE ⊥平面BCDE ， 由,AEAB H =是BE 中点，所以AH BE ⊥平面ABE 平面,BCDEBE AH =⊂平面ABE ，所以AH⊥平面BCDE ，建立如下图坐标系H xyz -，则()()()()1,1,0,1,2,0),1,1,0,0,0,2B C E A --，所以()0,3,0BC=，()2,2,0BE =-，()1,1,2BA =-，设平面ABE 的法向量()111,,m x y z =,由0,0m BE m BA ⋅=⋅=，得1111120x y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令11y =，得()1,1,0m =，设平面ABC 的法向量()222,,n x y z =，由0,0n BC n BA ⋅=⋅=得2222020y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令21z =，得()2,0,1n =， 所以23cos 33,2n m n m m n⋅<>===⨯， 由图易知二面角C AB E --为锐角， 所以二面角C AB E --的余弦值为33. 【点睛】本题考查线面平行的证明，通常用平行投影或中心投影，在面中找到一条与已知直线平行的直线；或构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.考查空间中角的计算，可以用空间向量法把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以直接用几何法，做出平面角，转化为解三角形.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=. 【解析】 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值； （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y-+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --， 则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--，得PA PB k k ⋅14=-，即直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及结构特征，考查了学生观察、分析能力，运算能力，属于中档题. 21．（1）分类讨论，详见解析；（2）(],3-∞-．【解析】 【分析】（1）求出导函数()222()0x ax f x x x-+'=>，令()222p x x ax =-+，利用判别式讨论a的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解.（2）根据题意可得12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根，由（1）知4a >，利用韦达定理得121=x x ，且1201x x <<<，然后分离参数只需()12f x m x >恒成立，2231111111121()222ln 22ln 1f x x x x x x x x x x --+==--+，从而令3()22ln h t t t t t =--+，利用导数求出()h t 的最小值即可求解.【详解】（1）因为2()2ln f x x ax x =-+，所以()222()0x ax f x x x-+'=>．令()222p x x ax =-+，216a ∆=-，当0∆≤即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥， 所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+．当>0∆即4a 或4a >时，22121616,44a a a a x x --+-==．若4a，则120x x ＜＜，所以()0p x >，即()0f x '>，所以函数()f x 单调递增区间为()0,∞+．若4a >，则210x x >>，由()0f x '>，即()0p x ＞得10,x x <<或2x x >； 由()0f x '<，即()0p x ＜得12x x x <<． 所以函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞；单调递减区间为()12,x x ．综上，当4a ≤时，函数()f x 单调递增区间为()0,∞+；当4a >时，函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞，单调递减区间为()12,x x ．（2）由（1）得()222()0x ax f x x x-+'=>，若()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根，由（1）知4a >．则12122,12ax x x x +=>=，故1201x x <<<， 要使()12f x mx >恒成立，只需()12f x m x >恒成立．因为222311111111111221()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+，令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t '=-+，当01t <<时，()0h t '＜，()h t 为减函数，所以()(1)3h t h >=-．由题意，要使()12f x mx >恒成立，只需满足3m ≤-．所以实数m 的取值范围(],3-∞-．【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．．22．（1）22223x y x y ++-=；（2）30x y -+=或10x y +-=. 【分析】（1）设点Q ，P 的极坐标分别为( ,)ρθ，00( ,)ρθ，由题意可得22cos 2sin 3ρρθρθ+-=，由极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得解；（2）直线参数方程代入曲线C 的方程得22(cos )(1sin )5t t αα++=，化简后利用韦达定理结合题意即可得解. 【详解】（1）设点Q ，P 的极坐标分别为( ,)ρθ，00( ,)ρθ，则2000004cos 4sin 12ρρθρθ+-=且02ρρ=，0θθ=，所以2(2)4(2)cos 4(2)sin 12ρρθρθ+⋅-⋅=， 所以点Q 轨迹的极坐标方程为22cos 2sin 3ρρθρθ+-=，故Q 轨迹的直角坐标方程为22223x y x y ++-=；（2）由（1）得曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)5x y ++-=， 将直线参数方程代入曲线C 的方程得22(cos )(1sin )5t t αα++=， 即22sin 40t t α+-=，>0∆，由点(1,2)M -恰好为线段AB 的三等分点，不妨设方程两根为,2t t -，所以22sin 24t t t t α-+=-⎧⎨-⋅=-⎩，即22sin 2t t α=-⎧⎨=⎩，所以2211sin cos 22αα=⇒=，又sin α与cos α在一、三象限同号，二、四象限异号， 所以直线的斜率tan 1kα==±，又直线过(1,2)M -，故直线的普通方程为30x y -+=或10x y +-=. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.。