配套K12高中数学第一章三角函数新人教版必修4

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第一章三角函数新
人教版必修4
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
目标定位 1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的概念；2.能用集合和数学符号表示终边相同的角；3.能用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的角.
自主预习
1.角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
2.
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
4.象限角的集合表示
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限角是锐角.(×)
(2)小于90°的角是锐角.(×)
(3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.(×)
(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.(×)
提示(1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如α＝－330°角不一定是锐角，故错.
(2)负角小于90°，但不是锐角，故错.
(3)α＋β＝k·180°，k∈Z，故错.
(4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.
2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )
A.60°
B.－60°
C.30°
D.－30°
解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，2
12
×360°＝60°，故时针转过的角度为－60°.
答案 B
3.下列各角中与330°角终边相同的角是( )
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
解析与330°终边相同的角可表示为α＝330°＋k·360°(k∈Z)，令k＝－2，则α＝－390°.
答案 D
4.－60°是第象限角_____.
解析－60°是顺时针旋转60°(以x轴的非负半轴的为始边)所得角，故－60°为第四象限角.
答案四
类型一象限角的判定
【例1】在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与
－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
规律方法求在0°～360°范围内与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，关键是将所给的角写成α＋k·360°(k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.
【训练1】给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；
对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；
对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；
对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.
答案 D
类型二终边相同的角
【例2】写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}.
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
规律方法解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简. 【训练2】写出终边落在x轴上的角的集合S.
解S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
类型三区域角的表示(互动探究)
【例3】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
[思路探究]
探究点一终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？
提示可分为x轴上方部分和x轴下方部分.
探究点二终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？
提示终边落在同一条直线上的角相差180°的整数倍.
探究点三边界为实线与虚线有区别吗？
提示有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}.
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.
规律方法解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.
【训练3】如图，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分，不包括边界)内，求角α的集合.
解终边落在函数y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在函数y＝－x(x≤0)的图象上的角的集合是{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}.
所以所求角的集合是{α|45°＋k·360°<α<135°＋k·360°，k∈Z}.
[课堂小结]
1.本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，定义了正角、负角、零角(按旋转方向)；
2.按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角；
3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.
1.－361°的终边落在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析∵－361°＝－360°－1°，∴－361°角终边落在第四象限.
答案 D
2.下列命题中正确的是( )
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.第一象限角必是锐角
C.不相等的角终边一定不相同
D.若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
解析90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；390°的角是第一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角不相等，但终边相同；故A、B、C均不正确.对于D，由终边相同的角的概念可知正确.
答案 D
3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____.
解析由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
4.已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解(1)用2 010°除以360°商为5，余数为210°.
∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又β＝210°是第三象限角.
∴α为第三象限角.
(2)与2 010°终边相同的角：
θ＝k·360°＋2 010°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－67
12≤k<－3
7
12
(k∈Z)，
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中得：角θ的值为－150°，210°，570°.
基础过关
1.把－1 485°化成α＋k·360°(k∈Z，0°≤α<360°)的形式是( )
A.45°－4×360°
B.－45°－4×360°
C.－45°－5×360°
D.315°－5×360°
答案 D
2.若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角. 答案 C
3.若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )
A.第一或第三象限
B.第二或第三象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
答案 A
4.已知0°<α<360°，且α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝_____.
答案60°
5.下列说法中，正确的是(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
答案②⑤
6.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－720°～720°内的角.
解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，
∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.
(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，
∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.
(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，
∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.
由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：
k＝－2，－1，0，1.代入k·360°＋147°依次得：
－573°，－213°，147°，507°.
7.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.
解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.
(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}
＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤
(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}
＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}.
8.如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值. 解由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，
又0°<θ<360°，∴θ＝120°或240°.
能力提升
9.集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}则有( )
A.M＝N
B.M N
C.M N
D.M∩N＝∅
解析∵x＝k·90°＋45°
＝2k·45°＋45°＝(2k－1)·45°＋45°，
∴x∈M⇒x∈N.又特别地如x＝180°＝3×45°＋45°∈N，
但x∈180°∉M，∴M N，故选C.
答案 C
10.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是( )
A.90°
B.180°
C.270°
D.90°，180°或270°
解析由已知：5α＝α＋k·360°(k∈Z)，
∴α＝k·90°.又∵0°<α<360°，
∴0<k<4.又∵k∈Z，∴k＝1或2或3，
∴α＝90°、180°或270°.
答案 D
11.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝_____.
解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同.
∴β＝150°＋k ·360°，k ∈Z . 答案 150°＋k ·360°，k ∈Z
12.12点过1
4
小时的时候，时钟分针与时针的夹角是.
解析 时钟上每个大刻度为30°，12点过1
4小时，分针转过－90°，时针转过
－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°. 答案 82.5°
13.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上. (1)写出角β的集合S ；
(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.
解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：
S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，
所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋
k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k
∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }.
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z . 解得－73<n <11
3，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.
所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
探 究 创 新
14.已知α是第二象限角，试确定2α，α
2的终边所在的位置.
解 因为α是第二象限角，
所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z .
所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ， 所以2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的负半轴上. 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ·180°＋45°<α
2
<k ·180°＋90°，k ∈Z ，
所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α
2<n ·360°＋90°，
即α
2
的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α
2的终边在第三象限.所
以α
2
的终边在第一或第三象限. 1.1.2 弧度制
目标定位 1.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算；2.了解扇形的弧长和面积公式，能进行简单应用.
自 主 预 习
1.度量角的单位制 (1)角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1
360.
(2)弧度制 ①弧度制的定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. ②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零. ③角的弧度数的计算
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r
. 2.角度制与弧度制的换算 (1)
(2)
3.设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半径不同的圆中，长为l 的弧所对的圆心角都相等.(×) (2)角α＝3 rad 是第一象限角.(×)
(3)弧长相等的弧所对的圆心角不一定相等.(√) (4)第一象限角可表示为(2k π，90°＋2k π)，k ∈Z .(×) 提示 (1)α＝l r
，∵r 不同，故α不同. (2)α＝3>π
2，故α为第二象限角.
(3)角有正、负，|α|＝l r
. (4)角度制与弧度制不可以混用. 2.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π
6 rad B.－π
6 rad
C.π
12 rad
D.－π
12
rad
答案 B
3.已知扇形的面积是3π
8，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A.3π16
B.3π8
C.3π4
D.3π2
解析 设扇形的弧长为l ，则3π8＝12l ×1，故l ＝34π，所以扇形的圆心角为3π
4.
答案 C
4.225°化为弧度为.
解析 225°＝225×π180＝5
4π.
答案 54
π
类型一 弧度制的概念
【例1】 下列命题中，正确的命题是_____(填序号). ①1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的1
2π；
②1 rad 的角等于1°的角； ③180°的角一定等于π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.
解析 各命题正误分析如下：
答案规律方法 正确理解弧度与角度的概念
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析 根据弧度制和角度制的规定可知A 、B 、C 均错误，D 正确. 答案 D
类型二 角度与弧度的互化
【例2】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π
5.
解 (1)20°＝20π180＝π
9.
(2)－15°＝－15180π＝－π
12.
(3)7π12＝7
12×180°＝105°.
(4)－11π5＝－115
×180°＝－396°.
规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.
【训练2】 (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－5π
12化成度.
解 (1)112°30′＝⎝
⎛⎭
⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.
(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12×180π°＝－75°.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用(互动探究)
【例3】 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ [思路探究]
探究点一 扇形的周长与扇形的弧长、半径有怎样的关系？ 提示 设扇形的弧长为l ，半径为r ，则
l ＋2r ＝30.
探究点二 扇形的面积与其弧长、半径有怎样的关系？ 提示 设扇形的面积为S ，则S ＝12
lr .
解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则有l ＋2r ＝30， 即l ＝30－2r ，
∴S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254， ∴当r ＝152 cm 时，扇形的面积最大为2254 cm 2
，
此时α＝l
r ＝30－2×
15
215
2
＝2(rad).
规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：
一是S ＝12lr ＝12|α|r 2
，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个.
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数. 【训练3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4， ∴l ＝4－2r ，根据扇形面积公式S ＝1
2
lr ，
得1＝12(4－2r )·r ，∴r ＝1，∴l ＝2，∴α＝l r ＝2
1＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
[课堂小结]
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式. 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数，度数与弧度数的换算也可借助计算器进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
1.240°化成弧度是( ) A.π
3
B.2π3
C.4π3
D.5π3
解析 240°＝240180×π＝4π
3.
答案 C
2.下列与9π
4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2k π＋45°(k ∈Z )
B.k ·360°＋9
4π(k ∈Z )
C.k ·360°－315°(k ∈Z )
D.k π＋5π
4
(k ∈Z )
解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9
4π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所
以只有答案C 正确. 答案 C
3.把－11
4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是_____.
解析 －114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π.∴θ＝－34π.
答案 －3
4
π
4.把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π
9是第
四象限角，所以－1 480°是第四象限角
.
基 础 过 关
1.－300°化为弧度是( ) A.－4
3π
B.－5
3π
C.－54π
D.－76
π
答案 B
2.集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩
⎨⎧α|α＝2k π±π
2， }k ∈Z 的关系是( )
A.A ＝B
B.A ⊆B
C.B ⊆A
D.以上都不对
答案 A
3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2
，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4
D.2或4
解析 设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，
则由题意得2
26,
1,2,14 1.2,2
r r r r r αααα+=⎧==⎧⎧⎪
∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或 答案 C
4.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为_____.
解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则1,
π,180αβαβ+=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
解得α＝12＋π360，β＝12－π
360.
答案 12＋π360，12－π
360
5.已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______. 解析 ∵α是第二象限角， ∴π
2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2， 当k ＝－1时，－3
2π＜α＜－π，
当k ＝0时，1
2
π＜α≤2，
当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在. 答案 (－32π，－π)∪(1
2
π，2]
6.直径为1.4 m 的飞轮，每小时按顺时针方向旋转24 000转. (1)求飞轮每秒转过的弧度数； (2)求轮周上一点P 每秒经过的弧长. 解 (1)∵飞轮按顺时针方向旋转，
∴飞轮每秒转过的弧度数为－24 000×2π3 600＝－40
3π.
(2)轮周上一点P 每秒经过的弧长为
l ＝|α|r ＝40
3π×
1.42＝28
3
π(m). 7.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1，0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过 2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.
解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π
2(k ∈Z )，
则必有k ＝0，于是π2<θ<3π
4，
又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π
7
，
从而π2<n π7<3π
4，
即72<n <214
， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7
.
8.(2016·泉州高二检测)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？
解 设弧长为l ，所对圆心角为α， 则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r . ∵|α|＝l r
＝π－2＝(π－2)·⎝
⎛⎭
⎪⎫180°π≈65.41°.
∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°. 从而S 扇形＝12lr ＝12
(π－2)r 2
.
能 力 提 升
9.已知扇形面积为3π
8，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A.3π16
B.3π8
C.3π4
D.3π2
解析 S 扇＝12αr 2＝12×α×12
＝3π8，∴α＝3π4.
答案 C
10.(2016·杭州高一检测)集合⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
α
⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析 不妨令k ＝0，则π4≤α≤π
2，
令k ＝1，则54π≤α≤3
2π，故选C.
答案 C
11.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝ {x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝_____. 解析 如图所示，
∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]. 答案 [－4，－π]∪[0，π]
12.如果一扇形的弧长变为原来的3
2倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积
的.
解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝3
4S .
答案 3
4
13.在如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π
3
，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ，若CD ＝
a ，求ACB ︵
的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积.
解 设圆的半径为r ，ACB ︵
的长为l ，
则l ＝2π
3r .连接AC ，因为OA ＝OB ，OC 与弦AB 垂直，
所以∠AOC ＝π
3，
所以△AOC 为等边三角形. 因为AD ⊥OC ，所以OD ＝CD ， 所以r ＝2CD ＝2a ， 所以l ＝2π3·2a ＝4a π
3，
S 扇形OACB ＝12lr ＝4a 2
π
3
，
S △AOB ＝12AB ·OD ＝12
·23a ·a ＝3a 2，
所以S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △AOB ＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫4π3－3a 2.
探 究 创 新
14.如图所示，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π
3
，点
Q 按顺时针方向每秒钟转π6
，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 两点各自走过的弧长.
解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·
π3＋t ·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4秒，所以P 点走过的弧长为π3×4×4＝16
3
π，Q 点走过的弧长为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－π6×4×4＝83π.
1.2 任意角的三角函数 1.
2.1 任意角的三角函数(一)
目标定位 1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.能判断各象限角的正弦、余弦、正切函数值的符号；3.理解终边相同的角的同一三角函数的值相等.
自 主 预 习
1.单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x
(x ≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r
，cos α＝
x r ，tan α＝y x
. 3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
4.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .
即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数值是一个比值，只与角的终边位置有关.(√) (2)只有第一、二象限角的正弦是正的.(×) (3)若sin α·cos α>0，则α是第一象限角.(×) (4)已知P (3a ，4a )是角α终边上一点，故sin α＝4
5
.(×)
提示 (1)由三角函数定义可知，一个角的三角函数值，仅与终边位置有关. (2)sin π
2
＝1>0，故错.
(3)α是第三象限角时，sin α·cos α>0，故错. (4)当α<0时，sin α＝－4
5
.
2.若角α的终边上有一点是A (2，0)，则tan α的值是( ) A.－2
B.2
C.1
D.0
解析 因为角α的终边上有一点是A (2，0)，所以α的终边落在x 轴的非负半轴上，从而tan α＝0. 答案 D
3.sin 13π6的值是( )
A.－12
B.12
C.－
32
D.
32
解析 sin 13π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝sin π6＝12. 答案 B
4.已知①sin 1，②cos 2，③tan 3，其中函数值为负的是_____(填序号). 解析 ∵1是第一象限角，∴sin 1>0；∵2是第二象限角， ∴cos 2<0；∵3是第二象限角，∴tan 3<0.
答案②③
类型一三角函数定义的应用(互动探究)
【例1】已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝
10
10
x，求sin θ，tan θ.
[思路探究]
探究点一利用三角函数定义结合已知条件能求出x吗？
提示由余弦定义可知cos θ＝
x
x2＋3
，故可建立关于x的方程.
探究点二角的终边所在象限唯一确定吗？如何求其余两个函数值. 提示不确定，求其余两个函数值应分类讨论.
解由题意知r＝|OP|＝x2＋9，
由三角函数定义得cos θ＝x
r
＝
x
x2＋9
.
又∵cos θ＝
10
10
x，∴
x
x2＋9
＝
10
10
x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝
3
12＋32
＝
310
10
，tan θ＝
3
1
＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝
3
（－1）2＋32
＝
310
10
，tan θ＝
3
－1
＝－3.
规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin α
cos α
tan α＝
b
a
.
【训练1】已知角θ的终边上有一点P(－3，m)，且sin θ＝
2
4
m，求cos θ与tan θ的
值.
解由已知有
2
4
m＝
m
3＋m2
，
得m＝0，或m＝±5，
(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；
(2)当m ＝5时，cos θ＝－
64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－
64，tna θ＝15
3
. 类型二 三角函数值符号的判断 【例2】 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角). 解 (1)∵π2<3<π<4<3π
2<5<2π，
∴3，4，5分别为第二、三、四象限角， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
(2)∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0， ∴sin(cos θ)<0.
规律方法 三角函数值的符号仅仅由角的终边所在位置确定，口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，应透彻理解，熟练应用.
【训练2】 若sin αtan α<0，且cos α
tan α<0，则角α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析 由sin αtan α<0可知α应在二、三象限，由cos α
tan α<0可知α应在三、四象限，故
α应在第三象限. 答案 C
类型三 诱导公式一的应用 【例3】 计算下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
15π4； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4
＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝3
2
.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋ tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
规律方法 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π
的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
【训练3】 (1)sin(－1 380°)的值为( ) A.－12
B.12
C.－
32
D.
32
(2)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－23π3＋tan 17π4＝_____. 解析 (1)原式＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝
3
2
. (2)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24π3＋π3＋tan ⎝
⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝32.
答案 (1)D (2)32
[课堂小结]
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.诱导公式一可以把大角或负角的三角函数求值化为(0，2π)之间的角的求值，另外要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45
B.35
C.－35
D.－45
解析 因为角α的终边经过点(－4，3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，
所以cos α＝x r ＝－4
5
.
答案 D
2.如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.1
2
B.－12
C.－
32
D.
32
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3， ∴r ＝2，∴cos α＝1
2.
答案 A
3.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝______.
解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋
32＝32
. 答案
32
4. 已知角α的终边过点P (m ，－3m )(m ≠0)，求α的正弦、余弦、正切值.
解 由题意知x ＝m ，y ＝－3m ，r ＝m 2
＋（－3m ）2
＝10|m |，当m >0时，r ＝10m ，由三角函数的定义得cos α＝
m
10m
＝
1010，sin α＝－3m 10m
＝－31010，tan α＝－3m
m ＝－3.当m <0时，r ＝－10m ，由三角函数的定义得cos α＝m －10m ＝－1010，sin α＝－3m －10m
＝310
10，
tan α＝－3m
m
＝－3.
基 础 过 关
1.sin 1 860°等于( ) A.12
B.－12
C.
32
D.－
32
解析 sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°)＝sin 60°＝32
. 答案 C
2.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α
|cos α|的值是( )
A.1
B.0
C.2
D.－2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴
|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α
－cos α
＝2.
答案 C
3.角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－3
5，则b 的值为( )
A.3
B.－3
C.±3
D.5
解析 r ＝b 2
＋16，cos α＝－b r
＝
－b
b 2＋16
＝－35.∴b ＝3.
答案 A
4.已知⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12sin 2θ
<1，则角θ的终边在第象限_____.
解析 ∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin 2θ
<1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫120，∴sin 2θ>0，∴2k π<2θ<2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π<θ<k π＋π
2，k ∈Z ，∴角θ的终边在第一或三象限.
答案 一或第三 5.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角，其中正确命题的序号是.
解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与
5π
6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 ③ 6.化简下列各式：
(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π
4；
(2)a 2
sin 810°－b 2
cos 900°＋2ab tan 1 125°.
解 (1)原式＝sin 32π＋cos π
2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a 2
sin 90°－b 2
cos 180°＋2ab tan (3×360°＋45°) ＝a 2
＋b 2
＋2ab tan 45°＝a 2
＋b 2
＋2ab ＝(a ＋b )2
.
7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，求cos 2
θ－sin 2
θ的值.
解 在角θ终边上任选一点，依据三角函数的定义求出cos θ，sin θ即可求解. 由已知可在角θ的终边上取点P (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，∴r ＝x 2
0＋y 2
0＝5|x 0|，从而cos 2
θ－sin 2
θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0r 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 0r 2
＝－35.
8.已知角α的终边上有一点P (－3，a ＋1)，a ∈R . (1)若α＝120°，求实数a 的值.
(2)若cos α<0且tan α>0，求实数a 的取值范围. 解 (1)依题意得，tan α＝
a ＋1
－3
＝tan 120°＝－3，所以a ＝2.
(2)由cos α<0且tan α>0得，α为第三象限角，故a ＋1<0，所以a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1).
能 力 提 升
9.已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是____第象限角( ) A.一
B.二
C.三
D.四
解析 ∵tan x >0，∴x 是第一或第三象限角. 又∵sin x ＋cos x >0，∴x 是第一象限角. 答案 A
10.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π
6
B.2π3
C.13π6
D.11π6
解析 ∵sin 23π＝32，cos 23π＝－1
2.
∴角α的终边在第四象限，且tan α＝－3
3
. ∴角α的最小正角为2π－π6＝11π
6
. 答案 D
11.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为. 解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α的终边位于第二象限或y 轴正半轴上， ∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]
12.若点(α，9)在函数y ＝3x
的图象上，则tan απ6
的值为.
解析 将点(α，9)代入y ＝3x 中，得9＝3α
，解得α＝2，所以tan 2π6＝tan π3＝ 3.
答案
3
13.求函数f (x )＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x
|tan x |的值域.
解 f (x )有意义且x 终边不在坐标轴上. ∴当x 是第一象限角时，f (x )＝1＋1＋1＝3. 当x 是第二象限角时，f (x )＝1－1－1＝－1. 当x 是第三象限角时，f (x )＝－1－1＋1＝－1. 当x 是第四象限角时，f (x )＝－1＋1－1＝－1. ∴f (x )的值域为{－1，3}.
探 究 创 新
14.已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg cos α有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.
解 (1)由1|sin α|＝－1
sin α可知sin α<0，
∴α是第三或四象限或终边在y 轴的负半轴上的角. 由lg cos α有意义可知cos α>0，
∴α是第一或四象限或终边在x 轴的正半轴上的角. 综上可知角α是第四象限的角.
(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352
＋m 2
＝1，解得m ＝±45.
又α是第四象限角，故m <0，
从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－4
51＝－4
5
.
1.2.1 任意角的三角函数(二)
目标定位 1.认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线；2.利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角函数问题.
自 主 预 习
1.三角函数的定义域
正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π
2，k ∈Z }.
2.三角函数线
如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段
MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan
α＝AT .
即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于正弦线平行于y 轴，余弦线在x 轴上、它们没法比较大小.(×) (2)π
2
角的余弦线不存在.(×)
(3)根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知|sin α|≤1，|cos α|≤1.(√) (4)π
2角的正切线不存在.(√)
提示 (1)可以比较大小.
(2)π
2角的余弦线变成了一个点而已.
(3)对.
(4)π
2
角的终边与x ＝1平行，故其正切线不存在.
2.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4
B.3π4
C.7π4
D.
3π4或7π4
解析 ∵正、余弦符号相异，故α在第二、四象限，又正、余弦线的长度相等，故α＝3
4π
或α＝7
4π.
答案 D
3.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )。