人教新课标版数学高二数学选修2-1练习2-3-1双曲线及其标准方程

技能演练
基 础 强 化
1．双曲线x 29－y 2
m ＝1的焦距是10，则实数m 的值为
( )
A ．－16
B ．4
C ．16
D ．81
解析 2c ＝10，∴c ＝5，∴9＋m ＝25，∴m ＝16. 答案 C
2．已知双曲线x 29－y 2
16＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离
为3，则P 到另一个焦点的距离为( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．9
解析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝6，观察选项知D 正确． 答案 D
3．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”
的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析 当k >3时，k －3>0，k ＋3>0，∴方程x 2k －3－y 2
k ＋3＝1表示
双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)>0，∴k >3，或
k<－3.故k>3是方程
x2
k－3
－y2
k＋3
＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案 A
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是() A．16 B．18
C．21 D．26
解析如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)
|BF2|－|BF1|＝8，(2)
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)
∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.
故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.
答案 D
5．双曲线x2
10－
y2
2＝1的焦距为()
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3
解析 由双曲线x 210－y 2
2＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，
∴2c ＝4 3. 答案 D
6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，c a ＝5
3
，则双曲线的方程为( )
A.x 236－y 2
64＝1 B.x 264－y 2
36＝1 C.x 236－y 2
64
＝－1 D.x 264－y 2
36
＝－1 解析 令x ＝0，y ＝10，∴双曲线的焦点坐标F 1(0，－10)，F 2(0,10)，∴c ＝10，又c a ＝5
3，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64，故双曲线方
程为y 236－x 2
64
＝1，故选D.
答案 D
7．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是__________．
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝9，
b ＝3，
c 2
＝a 2
＋b 2
，
得a ＝4，b ＝3，又焦点在y 轴上，∴
所求双曲线方程为y 216－x 2
9
＝1.
答案 y 216－x 2
9
＝1
8．双曲线x 2m 2－4－y 2
m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围
是__________．
解析
依题意得⎩⎨
⎧
m ＋1<0，
m 2－4<0，
⇒⎩⎨
⎧
m <－1，－2<m <2，
⇒－2<m <－1. 答案 (－2，－1)
能 力 提 升
9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．
解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|PA |＝4.
∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，
∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支，
∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.
∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 2
5
＝1(x ≥2)．
10．求与双曲线x 24－y 2
2＝1有相同的焦点，且过点P (2,1)的双曲
线的方程．
解 方法1：设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知，
c 2＝4＋2＝6，又点P (2,1)在双曲线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝6，4a 2－1b 2＝1，
解得⎩⎨
⎧
a 2＝3，
b 2＝3.
故所求的双曲线方程为x 23－y 2
3
＝1.
方法2：∵所求的双曲线与x 24－y 2
2＝1有相同的焦点，
∴可设双曲线方程为x 24－λ－y 2
2＋λ＝1(－2＜λ＜4)．
∵双曲线过点P (2,1)， ∴44－λ－12＋λ
＝1， 解得λ＝1，或λ＝－4(舍去)． 故所求的双曲线方程为x 23－y 2
3
＝1.
品 味 高 考
11．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A ．(2
2
，0)
B ．(5
2
，0)
C ．(6
2
，0)
D ．(3，0)
解析 双曲线x 2－2y 2＝1化为标准形式，
得x 2－y
212
＝1，
∴a 2＝1，b 2＝1
2.
∴c 2＝a 2＋b 2＝3
2
.
∴c ＝62.故右焦点坐标为(6
2，0)．
答案 C
12．(2010·全国Ⅰ)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 点在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则P 到x 轴的距离为( )
A.32
B.62
C. 3
D. 6
解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设m >n ，P (x ，y )，|PF 1|－|PF 2|＝m －n ＝2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得
(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos60°， ∴8＝(m －n )2＋mn . ∴mn ＝4.
由△F 1PF 2的面积相等，得 12×22×|y |＝1
2
mn sin60°，
即2|y|＝1
2×4×
3 2.
∴|y|＝6
2.
即P到x轴的距离为6
2. 答案 B。