【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第二章函数、导数及其应用 第5节 指数与指数函数
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性课件.ppt
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3 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象 关于直线 x=a 对称。 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则 y =f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数。 (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则函数 f(x)是周期函数, 其中一个周期为 T=2|a-b|。
那么函数 f(x)就叫做奇函数。
(3)奇函数的图象关于□3 ___原__点_____对称;偶函数的图象关于□4 ___y__轴_______对
称。
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2.奇函数、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性□5 相__同__,偶函数在关于原点对称的 区间上的单调性□6 ___相__反___。
答案:13
13
5.设函数 f(x)=x3cosx+1。若 f(a)=11,则 f(-a)=__________。 解析:令 g(x)=f(x)-1=x3cosx, ∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-g(x), ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数。又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10。 又 g(-a)=f(-a)-1, ∴f(-a)=g(-a)+1=-9。 答案:-9
(新课标)高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2-3函数的奇偶性与周期性课件文新人教A版
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[三基自测]
1.(必修1·习题1.3A组改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)
=x2+1x,则f(-1)等于(
)
A.-2
B.0
C.1
D.2
答案:A
2.(必修1·第一章复习参考题改编)函数f(x)=11- +xx是(
)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案:D
3.(必修1·第一章复习参考题改编)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函 数,那么a+b的值是( )
A.-13
B.13
1 C.2
D.-12
答案:B
4.(必修1·习题1.3A组改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2- 4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是____________. 答案:{x|-7<x<3}
第三节 函数的奇偶性与周期性
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1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含 义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的 奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含 义,会判断、应用简单函数的周期性.
函数的奇偶性与周期性是高考 重要考点,常将奇偶性、周期性与 单调性综合在一起交汇命题. 题型多以选择题、填空题形式出 现,一般为容易题,但有时难度也 会很大.
由函数周期性可得 f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 011)+f(2 012)+…+f(2 016) =1, 而f(2 017)=f(6×336+1)=f(1)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 017)=336×1+1=337.
【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第11节 课后限时自测 理
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【课堂新坐标】(安徽专用)2015届高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第11节 课后限时自测 理一、选择题1.(2014·临沂模拟)已知f (x )=ax 3+bx 2+c ,其导函数f ′(x )的图象如图2-11-2,则函数f (x )的极小值是( )图2-11-2A .a +b +cB .8a +4b +cC .3a +2bD .c【解析】 由导函数f ′(x )的图象知,当x <0时,f ′(x )<0,当0<x <2时,f ′(x )>0,所以函数f (x )的极小值为f (0)=c ,选D.【答案】 D2.(2012·辽宁高考)函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为( )A .(-1,1]B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞)【解析】 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由y ′=x -1x≤0,解得0<x ≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].【答案】 B3.已知函数f (x )=2x +1x 2+2,则下列选项正确的是( )A .函数f (x )有极小值f (-2)=-12,极大值f (1)=1B .函数f (x )有极大值f (-2)=-12,极小值f (1)=1C .函数f (x )有极小值f (-2)=-12,无极大值D .函数f (x )有极大值f (1)=1,无极小值 【解析】 由f ′(x )=⎝⎛⎭⎪⎫2x+1x 2+2′=-x +x -x 2+2=0,得x =-2或x =1,当x <-2时,f ′(x )<0,当-2<x <1时,f ′(x )>0,当x >1时,f ′(x )<0,故x =-2是函数f (x )的极小值点,且f (-2)=-12,x =1是函数f (x )的极大值点,且f (1)=1.故选A.【答案】 A4.(2013·福建高考)设函数f (x )的定义域为R ,x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点,以下结论一定正确的是( )A .∀x ∈R ,f (x )≤f (x 0)B .-x 0是f (-x )的极小值点C .-x 0是-f (x )的极小值点D .-x 0是-f (-x )的极小值点【解析】 不妨取函数为f (x )=x 3-3x ,则f ′(x )=3(x -1)(x +1),易判断x 0=-1为f (x )的极大值点,但显然f (x 0)不是最大值,故排除A.因为f (-x )=-x 3+3x ,f ′(-x )=-3(x +1)(x -1),易知,-x 0=1为f (-x )的极大值点,故排除B ;又-f (x )=-x 3+3x ,[-f (x )]′=-3(x +1)(x -1),易知,-x 0=1为-f (x )的极大值点,故排除C ;∵-f (-x )的图象与f (x )的图象关于原点对称,由函数图象的对称性可得-x 0应为函数-f (-x )的极小值点.故D 正确.【答案】 D5.(2012·重庆高考)设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图象可能是( )【解析】 ∵f (x )在x =-2处取得极小值, ∴当x <-2时,f (x )单调递减,即f ′(x )<0;当x >-2时,f (x )单调递增,即f ′(x )>0. ∴当x <-2时,y =xf ′(x )>0; 当x =-2时,y =xf ′(x )=0;当-2<x <0时,y =xf ′(x )<0;当x =0时,y =xf ′(x )=0; 当x >0时,y =xf ′(x )>0.结合选项中图象知选C. 【答案】 C 二、填空题6.(2014·皖北协作区联考)已知函数f (x )=x 3+3mx 2+nx +m 2在x =-1时有极值0,则m +n =________.【解析】 ∵f ′(x )=3x 2+6mx +n , ∴由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f -=-3+3m -2+n -+m 2=0,f -=-2+6m -+n =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m =1,n =3或⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =9,当⎩⎪⎨⎪⎧ m =1,n =3时,f ′(x )=3x 2+6x +3=3(x +1)2≥0恒成立与x =-1是极值点矛盾,当⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =9时,f ′(x )=3x 2+12x +9=3(x +1)(x +3),显然x =-1是极值点,符合题意,∴m +n =11. 【答案】 117.(2014·淮南模拟)已知y =13x 3+bx 2+(b +2)x +3在R 上不是增函数,则b 的取值范围是________.【解析】 y ′=x 2+2bx +b +2,由题意知Δ=4b 2-4(b +2)>0, 解得b >2或b <-1.【答案】 (-∞,-1)∪(2,+∞)8.已知f (x ),g (x )都是定义在R 上的函数,g (x )≠0,f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x ),且f (x )=a xg (x )(a >0,且a ≠1),fg+f -g -=52,则实数a 的值为________. 【解析】f xg x=a x且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′=fx g x -f x gx[g x2>0,因此f xg x是增函数,从而a >1, 又f g+f -g -=a +a -1=52,解得a =2.【答案】 2 三、解答题9.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 【解】 (1)f ′(x )=e x(ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4.故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x(x +1)-x 2-4x ,f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=4(x +2)⎝⎛⎭⎪⎫e x-12.令f ′(x )=0,得x =-ln 2或x =-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f ′(x )>0; 当x ∈(-2,-ln 2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增, 在(-2,-ln 2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值,极大值为f (-2)=4(1-e -2).10.(2013·皖南八校高三第三次联考)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx -2(x ∈R ,a 、b 为常数).(1)若函数f (x )的图象上点(1,-3)处的切线的斜率为-2,求实数a 和b 的值; (2)若a =-1,b =-8时,函数f (x )在区间[k,3]上的最大值为12227,求实数k 的取值范围.【解】 (1)∵f (x )=x 3+ax 2+bx -2,x ∈R , ∴f ′(x )=3x 2+2ax +b .结合题意,得⎩⎪⎨⎪⎧1+a +b -2=-3,3+2a +b =-2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =1.(2)∵a =-1,b =-8,∴f (x )=x 3-x 2-8x -2,∴由f ′(x )=0,即3x 2-2x -8=0,解得x 1=2,x 2=-43.列表分析:∴函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-43和[2,+∞);单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-43,2. ∴当x ≤-43时,f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43;当-43<x ≤2时,f (2)≤f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43; 当2<x ≤3时,f (2)<f (x )≤f (3).又f (3)=-8<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=12227,f (x )在区间[k,3]上的最大值为12227,∴k ≤-43.B 组 能力提升1.(2014·济南模拟)函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(-∞,-1)D .(-∞,+∞)【解析】 设F (x )=f (x )-(2x +4),则F (-1)=f (-1)-(-2+4)=2-2=0,F ′(x )=f ′(x )-2,对任意x ∈R ,有F ′(x )=f ′(x )-2>0,即函数F (x )在R 上单调递增,则F (x )>0的解集为(-1,+∞),即f (x )>2x +4的解集为(-1,+∞),选B.【答案】 B2.(2014·烟台模拟)若函数f (x )=x 2-12ln x +1在其定义域内的一个子区间(k -1,k+1)内不是单调函数,则实数k 的取值范围________.【解析】 函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=2x -12x=x2-12x=x +x -2x,由f ′(x )>0得x >12,由f ′(x )<0得0<x <12,要使函数在定义域内的一个子区间(k -1,k +1)内不是单调函数,则有0≤k -1<12<k +1,解得1≤k <32,即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,323.已知函数f (x )=x 2+2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2,f (2))处的切线斜率为1,求实数a 的值; (2)求函数f (x )的单调区间;(3)若函数g (x )=2x+f (x )在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】 (1)f ′(x )=2x +2a x =2x 2+2ax,由已知f ′(2)=1,解得a =-3. (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞).①当a ≥0时,f ′(x )>0,f (x )的单调递增区间为(0,+∞); ②当a <0时,f ′(x )=x +-ax --ax.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下:单调递增区间是(-a ,+∞).(3)由g (x )=2x +x 2+2a ln x 得g ′(x )=-2x 2+2x +2a x,由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数, 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立, 即-2x 2+2x +2ax≤0在[1,2]上恒成立.即a ≤1x-x 2在[1,2]上恒成立.令h (x )=1x -x 2,在[1,2]上h ′(x )=-1x2-2x =-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x <0,所以h (x )在[1,2]上为减函数,h (x )min =h (2)=-72,所以a ≤-72.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤-72.。
【高考新坐标】(教师用书)高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用
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第二章函数、导数及其应用第一节 函数及其表示[考纲传真]1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.1.函数与映射的概念2.函数的三要素3.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数f :A →B ,其值域是集合B.( )(2)函数y =1与y =x 0是同一个函数.( )(3)两个函数的定义域,对应关系相同,则表示同一个函数.( ) (4)映射是特殊的函数.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(教材改编)函数G(n)=3n +1,n ∈{1,2,3}的值域是( ) A .[1,3] B .[4,10] C .{4,7,10} D .{1,2,3} [解析] G(1)=4,G(2)=7,G(3)=10,则函数G(n)的值域为{4,7,10}. [答案] C3.下列函数中,不满足...f(2x)=2f(x)的是( )A .f(x)=|x|B .f(x)=x -|x|C .f(x)=x +1D .f(x)=-x [解析] 对于A ,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于B ,f(2x)=2x -|2x|=2(x -|x|)=2f(x); 对于C ,f(2x)=2x +1≠2f(x);对于D ,f(2x)=-2x =2f(x),故只有C 不满足f(2x)=2f(x). [答案] C4.(2014·江西高考)函数f(x)=ln (x 2-x)的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1] C .(-∞,0)∪(1,+∞) D .(-∞,0]∪[1,+∞)[解析] 要使f(x)=ln (x 2-x)有意义,只需x 2-x>0,解得x>1或x<0.∴函数f(x)=ln (x 2-x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). [答案] C5.(2015·烟台质检)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥0,3x 2,x<0,且f(x 0)=3,则实数x 0的值为( )A .-1B .1C .-1或1D .-1或-13[解析] 当x 0≥0时,f(x 0)=2x 0+1=3,则x 0=1;当x 0<0时,f(x 0)=3x 20=3,则x 0=-1. 因此实数x 0的值为±1. [答案] C考向1 求函数的定义域【典例1】 (1)(2014·山东高考)函数f(x)=1(log 2x )2-1的定义域为( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12B .(2,+∞)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞)D .⎝⎛⎦⎥⎤0,12∪[2,+∞)(2)(2015·济南模拟)已知函数y =f(x)的定义域为[0,4],则函数y 1=f(2x)-ln (x -1)的定义域为( )A .[1,2]B .(1,2]C .[1,8]D .(1,8][解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x>0,(log 2x )2>1, 解得x>2或0<x<12.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4,x -1>0,即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,x >1,解得1<x ≤2. [答案] (1)C (2)B ,【规律方法】1.求函数的定义域其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,往往归结为求不等式或不等式组的解集问题.所求定义域须用集合或区间表示.2.若已知f(x)的定义域为[a ,b],则f(g(x))的定义域可由a ≤g(x)≤b 求出;若已知f(g(x))的定义域为[a ,b],则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ,b]时的值域.3.实际问题中的函数定义域,不仅要使构建函数的解析式有意义,而且要考虑实际问题的要求.【变式训练1】 (1)(2013·重庆高考)函数y =1log 2(x -2)的定义域是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(2,3)∪(3,+∞)D .(2,4)∪(4,+∞)(2)已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域为________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x -2)≠0,x -2>0,得x>2且x ≠3.(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1],∴12≤2x ≤2,即f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2.[答案] (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 考向2 求函数的解析式【典例2】 (1)已知f(1-cos x)=sin 2x ,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x +1)-f(x)=x -1,求f(x)的解析式;(3)已知f(x)+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x(x ≠0),求f(x)的解析式. [解] (1)f(1-cos x)=sin 2x =1-cos 2x , 令t =1-cos x ,则cos x =1-t ,t ∈[0,2],∴f(t)=1-(1-t)2=2t -t 2,t ∈[0,2],即f(x)=2x -x 2,x ∈[0,2].(2)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0),由f(0)=2,得c =2,f(x +1)-f(x)=a(x +1)2+b(x +1)-ax 2-bx =x -1, 即2ax +a +b =x -1,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a =1,a +b =-1,即⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-32.∴f(x)=12x 2-32x +2.(3)∵f(x)+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f(x)=1x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f (x )=1x,得f(x)=23x -x3(x ≠0).【规律方法】1.解答本题(1)时,应注意“新元”与“1-cos x ”的取值范围一致;解答本题(3)时,应注意方程右边x 的变化.2.求函数解析式的三种常用方法(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))=F(x),可用换元法.(3)解方程组法:已知关于f(x)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f(-x))的表达式,可构造出另一个方程构成方程组求出f(x).【变式训练3】 已知2f(x)-f(-x)=lg (x +1),则f(x)=________. [解析] ∵2f(x)-f(-x)=lg (x +1), ∴2f(-x)-f(x)=lg (1-x).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )-f (-x )=lg (x +1),2f (-x )-f (x )=lg (1-x )得f(x)=23lg (x +1)+13lg (1-x).[答案] 23lg (x +1)+13lg (1-x)考向3 分段函数及其应用(高频考点)【典例3】 (1)(2015·威海模拟)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x,(x <4),f (x -1)+2,(x ≥4),则f(5)=________.(2)(2014·课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x<1,x 13,x ≥1,则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________.[思路点拨] (1)当x ≥4时,使用f(x)=f(x -1)+2,直至自变量变为小于4为止,最后代入f(x)=2x,(x <4)求解.(2)根据分段函数,分段求解.[解析] (1)f(5)=f(4)+2,f(4)=f(3)+2,f(3)=23=8. 所以f(5)=f(3)+4=8+4=12.(2)当x<1时,x -1<0,e x -1<e 0=1≤2, ∴当x<1时满足f(x)≤2.当x ≥1时,x 13≤2,x ≤23=8,∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(-∞,8].[答案] (1)12 (2)(-∞,8] 【通关锦囊】1.在求分段函数值f(x 0)时,一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.当自变量的值不确定时,要分类讨论,如本题(2).2.若给出函数值求自变量值,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.【变式训练3】 (2015·淄博调研)设f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2e x -1,x<2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f(x)>2的解集为( )A .(1,2)∪(3,+∞)B .(10,+∞)C .(1,2)∪(10,+∞)D .(1,2)[解析] 当x<2时,f(x)=2e x -1>2,得x>1,∴1<x<2.当x ≥2时,f(x)=log 3(x 2-1)>2,得x 2>10,∴x>10.综上,不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(10,+∞).[答案] C熟记1种方法求形如函数y =f(g(x))的定义域的方法 (1)若y =f(x)的定义域为(a ,b),则解不等式a <g(x)<b 即可求出y =f(g(x))的定义域;(2)若y =f(g(x))的定义域为(a ,b),则求出g(x)的值域即为f(x)的定义域.做到2个防范1.解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. 2.用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 把握3个要素函数的三要素是:定义域、值域和对应法则.值域是由函数的定义域和对应法则所确定的.两个函数的定义域和对应法则完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f :A →B 的三要素是集合A 、B 和对应法则f.思想方法之2分类讨论思想在分段函数中的应用(2014·浙江高考)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.若f(f(a))=2,则a =________.[解析] 若a >0,则f(a)=-a 2<0,f(f(a))=a 4-2a 2+2=2,得a = 2.若a ≤0,则f(a)=a 2+2a +2=(a +1)2+1>0,f(f(a))=-(a 2+2a +2)2=2,此方程无解.[答案] 2 【智慧心语】易错提示:(1)没有分类讨论的意识,未对a 进行讨论,而认为a ≤0或a >0,只对一种情况求解.(2)不会判断f(a)的正负,无法求f(f(a)).防范措施:(1)求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系.(2)求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围.【类题通关】 (2015·天津模拟)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,则不等式x +x·f(x)≤2的解集是________.[解析] 当x ≥0时,不等式可化为x +x 2≤2, 解得-2≤x ≤1,又x ≥0,所以0≤x ≤1.当x <0时,不等式可化为x -x 2≤2, 解得x ∈R ,又x <0,所以x <0,综上知,不等式的解集为{x |x ≤1}. [答案] {x |x ≤1}课后限时自测[A 级 基础达标练]一、选择题1.(2013·山东高考)函数f(x)=1-2x+1x +3的定义域为( )A .(-3,0]B .(-3,1]C .(-∞,-3)∪(-3,0]D .(-∞,-3)∪(-3,1][解析] 由题意,自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x≥0,x +3>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,x >-3,∴-3<x ≤0.[答案] A2.(2014·江西高考)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R ),若f [g (1)]=1,则a =( )A .1B .2C .3D .-1[解析] ∵g (x )=ax 2-x ,∴g (1)=a -1.∵f (x )=5|x |,∴f [g (1)]=f (a -1)=5|a -1|=1, ∴|a -1|=0,∴a =1. [答案] A 3.下列图象可以表示以M ={x|0≤x ≤1}为定义域,以N ={x|0≤x ≤1}为值域的函数的是( )[解析] 对于A ,值域不合题意;对于B ,定义域不合题意;对于D ,不是函数图象. [答案] C4.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧c x ,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16[解析] 组装第A 件产品用时15分钟,所以c A=15,①所以必有4<A ,且c4=c2=30.② 联立①②解得c =60,A =16. [答案] D5.(2015·济南质检)具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f(x)=x -1x ;②f(x)=x +1x ;③f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x<1,0,x =1,-1x ,x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①[解析] ①中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x -x =-f(x),满足.②中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f(x),不满足.③中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x>1,0,x =1,-x ,0<x<1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. [答案] B二、填空题6.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4-x ) x ≤0,f (x -1)-f (x -2) x >0,则f (3)=________.[解析] f (3)=f (2)-f (1)=[f (1)-f (0)]-f (1)=-f (0)=-log 24=-2. [答案] -27.(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.[解析] 设-1≤x ≤0,则0≤x +1≤1,所以f (x +1)=(x +1)[1-(x +1)]=-x (x +1). 又f (x +1)=2f (x ),所以f (x )=f (x +1)2=-x (x +1)2.[答案] -x (x +1)28.(2015·青岛联考)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 12,x ∈[0,+∞),|sin x|,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0.若f(a)=12,则a =________.[解析] 若a ≥0,由f(a)=12,解得a =14.若a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0时,f(a)=|sin a|=12,解得a =-π6.综上可知,实数a 的值为14或-π6.[答案] 14或-π6三、解答题9.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的图211距离与乙从家到公园的距离都是2 km ,甲10时出发前往乙家.如图211所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km )与时间x(min )的关系.试写出y =f(x)的函数解析式.[解] 当0≤x ≤30时,设y =kx(k ≠0),又图象经过点(30,2).则k =115,即y =115x.当30<x <40时,y =2.当40≤x ≤60时,设y =ax +b(a ≠0),图象经过点(40,2)与(60,4),则⎩⎪⎨⎪⎧2=40a +b ,4=60a +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =110,b =-2,所以y =110x -2,综上知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧115x ,x ∈[0,30],2,x ∈(30,40),110x -2,x ∈[40,60].10.已知f(x)=x 2-1,g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x >0,2-x ,x <0.(1)求f(g(2))和g(f(2))的值; (2)求f(g(x))的解析式.[解] (1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当x >0时,g(x)=x -1,故f(g(x))=(x -1)2-1=x 2-2x ; 当x <0时,g(x)=2-x ,故f(g(x))=(2-x)2-1=x 2-4x +3.∴f(g(x))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x , x >0,x 2-4x +3, x <0.[B 级 能力提升练]1.设函数y =f(x)在R 上有定义.对于给定的正数M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≤M ,M ,f (x )>M ,则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”.若给定函数f (x )=2-x 2,M=1,则f M (0)的值为( )A .2B .1 C. 2 D .- 2[解析] 由2-x 2≤1,得x ≥1或x ≤-1,从而f 1(x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x 2,x ≥1或x ≤-1,1,-1<x <1,则f 1(0)=1.[答案] B2.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x +3,f(m)=6,则m =________. [解析] 法一 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x +3,∴f(x)=4x +7,∴f(m)=4m +7=6,∴m =-14.法二 由2x +3=6,得x =32,∴m =12×32-1=-14.[答案] -143.如果对任意实数x ,y ,都有f(x +y)=f(x)·f(y),且f(1)=2, (1)求f(2),f(3),f(4)的值; (2)求f (2)f (1)+f (4)f (3)+f (6)f (5)+…+f (2 010)f (2 009)+f (2 012)f (2 011)+f (2 014)f (2 013)+f (2 016)f (2 015)的值.[解] (1)因为对任意实数x ,y ,都有f(x +y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23=8,f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=24=16.(2)由(1)知f (2)f (1)=2,f (4)f (3)=2,f (6)f (5)=2,…,f (2 016)f (2 015)=2.故原式=2×1 008=2 016.第二节 函数的单调性与最值[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.增函数、减函数 单调函数的定义2.单调区间的定义若函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f(x)的单调区间.3.函数的最值1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数f(x),x ∈D ,若对任意x 1,x 2∈D ,x 1≠x 2且(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0,则函数f(x)在区间D 上是增函数.( )(2)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(3)函数y =|x|是R 上的增函数.( )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(教材改编)如果二次函数f(x)=3x 2+2(a -1)x +b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( )A .a =-2B .a =2C .a ≤-2D .a ≥2[解析] 二次函数的对称轴方程为x =-a -13,由题意知-a -13≥1,即a ≤-2.[答案] C3.(2014·北京高考)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A .y =e -xB .y =x 3C .y =ln xD .y =|x |[解析] A 项,函数定义域为R ,但在R 上为减函数,故不符合要求;B 项,函数定义域为R ,且在R 上为增函数,故符合要求;C 项,函数定义域为(0,+∞),不符合要求;D 项,函数定义域为R ,但在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,不符合要求.[答案] B4.已知函数f(x)为R 上的减函数,则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是________. [解析] ∵f (x )在R 上是减函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1). ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1⇔1x >1或1x<-1.解之得0<x <1或-1<x <0.[答案] (-1,0)∪(0,1)5.(2015·青岛模拟)对于任意实数a ,b ,定义min {a ,b}=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b.设函数f(x)=-x +3,g(x)=log 2x ,则函数h(x)=min {f(x),g(x)}的最大值是________.[解析] 依题意,h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h(x)=log 2x 是增函数;当x >2时,h(x)=3-x 是减函数.则h(x)在x =2时,取得最大值h(2)=1. [答案] 1考向1 确定函数的单调性或单调区间【典例1】 (1)函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调递减区间为________. (2)试讨论函数f(x)=axx 2-1,x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).[解析] (1)由x 2-1>0,得x >1或x <-1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).令t =x 2-1,因为y =log 2t 在t ∈(0,+∞)上为增函数,t =x 2-1在x ∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调递减区间为(-∞,-1).[答案] (-∞,-1)(2)法一 设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 21-1<0,x 22-1<0. -1<x 1x 2<1,∴x 1x 2+1>0. ∴(x 2-x 1)(x 2x 1+1)(x 21-1)(x 22-1)>0. 因此,当a >0时,f(x 1)-f(x 2)>0,∴f(x 1)>f(x 2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当a <0时,f(x 1)-f(x 2)<0,∴f(x 1)<f(x 2),此时函数在(-1,1)上为增函数. 法二 f′(x)=a (x 2-1)-2ax 2(x 2-1)2=-a (x 2+1)(x 2-1)2.当a >0时,f ′(x)<0,当a <0时,f ′(x)>0.∴当a >0时,f(x)在(-1,1)上为减函数. 当a <0时,f(x)在(-1,1)上为增函数. 【规律方法】1.(1)判断函数单调性主要有四种方法:①定义法.②图象法.③利用已知函数的单调性.④导数法.(2)证明函数的单调性主要是根据定义或利用导数,求函数的单调区间,一定要注意函数定义域的优先原则.2.复合函数y =f(g(x))的单调性应根据外层函数y =f(t)和内层函数t =g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【变式训练1】图221(1)函数y =f(x)(x ∈R )的图象如图221所示,则函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 B .[a ,1]C .(-∞,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ D .[a ,a +1](2)下列函数f (x )中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0的是”( )A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)[解析] (1)由y =log a x (0<a <1)是减函数知,要使函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)为减函数,则有0≤log a x ≤12,即a ≤x ≤1.(2)由(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)是减函数,对于A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调. 对于f (x )=1x -x ,f ′(x )=-1x2-1<0,∴f (x )=1x-x 在(0,+∞)上是减函数.[答案] (1)B (2)C考向2 求函数的最值(值域)【典例2】 (1)(2013·北京高考)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x ≥1,2x ,x<1的值域为________.(2)已知f(x)=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.①当a =12时,求函数f(x)的最小值;②若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围.[解析] (1)当x ≥1时,log 12x ≤log 121=0,∴当x ≥1时,f(x)≤0.当x<1时,0<2x <21,即0<f(x)<2.因此函数f(x)的值域为(-∞,2).[答案] (-∞,2)(2)①当a =12时,f(x)=x +12x +2,f ′(x)=1-12x 2>0,x ∈[1,+∞),即f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)min =f(1)=1+12×1+2=72. ②f(x)=x +ax+2,x ∈[1,+∞).(ⅰ)当a ≤0时,f(x)在[1,+∞)内为增函数. 最小值为f(1)=a +3.要使f(x)>0在x ∈[1,+∞)上恒成立,只需a +3>0, ∴-3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时,f(x)在[1,+∞)上为增函数, f(x)min =f(1)=a +3.∴a +3>0,a >-3.∴0<a ≤1.综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,1]. 【规律方法】1.求函数最值(值域)的常用方法(1)确定单调性的函数,利用单调性求值域或最值.(2)图象法:能作出图象的函数,观察其图象最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).2.恒成立问题的解法(1)m >f(x)恒成立⇔m >f(x)max . (2)m <f(x)恒成立⇔m <f(x)min .【变式训练2】 已知函数f(x)=a x+log a x(a>0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( )A .12 B .14C .2D .4[解析] f(x)=a x+log a x 在[1,2]上是单调函数, ∴f(1)+f(2)=log a 2+6,则a +log a 1+a 2+log a 2=log a 2+6,即(a -2)(a +3)=0. 由于a>0,∴a =2. [答案] C考向3 函数单调性的应用(高频考点)【典例3】 (1)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A .(0,1)B .⎝⎛⎭⎪⎫0,13C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,13 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,1(2)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≥0,1,x <0,则满足不等式f(1-x 2)>f(2x)的x 的取值范围是________.[思路点拨] (1)首先确定函数f(x)的单调性,然后确定“每一段”函数满足的条件及在x =1处函数值的大小.(2)画出函数f(x)的图象,确定函数的单调性,然后去掉“f”求解. [解析] (1)函数f(x)在R 上为减函数,则有⎩⎪⎨⎪⎧3a -1<0,0<a <1,(3a -1)×1+4a ≥log a 1,即⎩⎪⎨⎪⎧a <13,0<a <1,a ≥17,解得17≤a <13.(2)画出f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≥0,1,x <0,的图象,由图象可知,若f (1-x 2)>f (2x ),则⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,1-x 2>2x , 即⎩⎨⎧-1<x <1,-1-2<x <-1+2,得x ∈(-1,2-1).[答案] (1)C (2)(-1,2-1), 【规律方法】1.分段函数的单调性:(1)首先保证分段函数在每一段上单调递增(减);(2)其次保证在区间端点处的函数值“左≤右(增)”或“左≥右(减)”.2.含“f ”号不等式的解法:首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”号,转化为具体的不等式(组),此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内.【变式训练3】 (1)已知函数y =f (x )的图象关于x =1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c <b <a B .b <a <c C .b <c <aD .a <b <c(2)(2015·烟台模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +a ,x <12,log 2x ,x ≥12的最小值为-1,则实数a 的取值范围是________.[解析] (1)由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,所以f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3),即b <a <c . (2)当x ≥12时,f (x )min =log 212=-1,当x <12时,函数f (x )是减函数,从而-12+a ≥-1,即a ≥-12.[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,+∞勿忘2点注意1.单调区间是定义域的子区间,求单调区间定义域优先.2.函数的单调区间要分开写,两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“,”隔开,不能用“∪”连结,如函数y =1x单调减区间为:(-∞,0),(0,+∞).掌握3个结论1.奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.2.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.3.开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 掌握4种方法函数单调性的判断1.定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.2.利用函数的性质:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.3.导数法:利用导数研究函数的单调性. 4.图象法:利用图象研究函数的单调性.规范解答之1确定抽象函数的单调性问题(12分)(2015·名校联考)函数f(x)对任意的m ,n ∈R ,都有f (m +n )=f (m )+f (n )-1,并且x >0时,恒有f (x )>1.(1)求证:f (x )在R 上是增函数;(2)若f (3)=4,解不等式f (a 2+a -5)<2.—————————— [规范解答示例] ————————(1)设x 1<x 2,所以x 2-x 1>0. 因为当x >0时,f(x)>1, 所以f(x 2-x 1)>1.2分f(x 2)=f((x 2-x 1)+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1,4分 所以f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1>0⇒f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在R 上为增函数.6分(2)因为m ,n ∈R ,不妨设m =n =1,所以f (1+1)=f (1)+f (1)-1⇒f (2)=2f (1)-1,8分f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a2+a-5)<2=f(1),10分因为f(x)在R上为增函数,所以a2+a-5<1⇒-3<a<2,即原不等式的解集为{a|-3<a<2}.12分,——————[构建答题模板] ———————第一步证明f(x2-x1)>1.⇓第二步变形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],证明f(x2)-f(x1)>0.⇓第三步确定函数f(x)的单调性.⇓第四步求f(1)=2.⇓第五步不等式f(a2+a-5)<2转化为f(a2+a-5)<f(1).⇓第六步去掉“f”,解不等式.【智慧心语】易错提示:(1)不会根据条件f(m+n)=f(m)+f(n)-1构造f(x2)=f[(x2-x1)+x1],进而将f(x2)-f(x1)用f(x2-x1)表示而失分.(2)求不出f(1)=2,进而无法将不等式f(a2+a-5)<2转化为f(a2+a-5)<f(1).防范措施:(1)利用定义法证明抽象函数的单调性时,应根据所给等式的特点,对x1或x2进行适当变形,进而将f(x2)-f(x1)与0比较大小.(2)求含“f”的不等式问题,应先利用已知条件将不等式转化为f(x1)<f(x2)的形式,然后再根据其单调性脱掉“f”,转化为关于x1与x2的不等式问题.【类题通关】已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x >0时,f(x)>-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.[解](1)令x=y=0,得f(0)=-1.设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>-1.又f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)+1-f(x1)=f(x2-x1)+1>0,所以f(x2)>f(x1),即函数f(x)在R上是单调增函数.(2)不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4可化为f(x2+2x)+f(1-x)+1>5.即f(x2+x+1)>5,又f(3)=f(2)+f(1)+1=3f(1)+2=5,则有f(x2+x+1)>f(3),由(1)知x 2+x +1>3,解得x <-2或x >1, 所以原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.课后限时自测[A 级 基础达标练]一、选择题1.(2014·北京高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-xD .y =log 0.5(x +1) [解析] A 项,函数y =x +1在[-1,+∞)上为增函数,所以函数在(0,+∞)上为增函数,故正确;B 项,函数y =(x -1)2在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,故错误;C 项,函数y =2-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数,故错误;D 项,函数y =log 0.5(x +1)在(-1,+∞)上为减函数,故错误.[答案] A2.若函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,则y =ax 2+bx 在(0,+∞)上是( )A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增[解析] 由题意知,a<0,b<0,则-b 2a <0,从而函数y =ax 2+bx 在(0,+∞)上为减函数.[答案] B3.函数f(x)=ln (4+3x -x 2)的单调递减区间是( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,32B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞C .⎝⎛⎦⎥⎤-1,32D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,4[解析] 要使函数有意义需4+3x -x 2>0,解得-1<x <4, ∴定义域为(-1,4).令t =4+3x -x 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤-1,32上递增,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,4上递减,又y =ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0,254上递增,∴f(x)=ln (4+3x -x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,4.[答案] D4.(2015·潍坊模拟)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x >1,⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2x +2,x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2+2,解得4≤a <8.[答案] B5.若函数f(x)=log a (3-ax)(a >0,a ≠1)在区间[1,2]上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(0,1)B .(1,3)C .⎝⎛⎦⎥⎤1,32D .⎝⎛⎭⎪⎫1,32[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,3-2a >0.解得1<a <32.[答案] D二、填空题6.若函数f(x)=1a -1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,则实数a 的值为________. [解析] 因为函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上是增函数,则有⎩⎪⎨⎪⎧1a -2=12,1a -12=2,解得a =25.[答案] 257.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________. [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,2x -1<13,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12,x<23,所以12≤x<23.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,238.(2015·济南调研)若函数y =2x +kx -2与y =log 3(x -2)在区间(2,+∞)上具有相同的单调性,实数k 的取值范围是________.[解析] y =log 3(x -2)的定义域为(2,+∞),且为增函数.故若使函数y =2x +k x -2=2(x -2)+4+k x -2=2+4+kx -2在(2,+∞)上是增函数,则有4+k<0,得k<-4.[答案] (-∞,-4) 三、解答题9.已知f(x)=xx -a(x ≠a).(1)若a =-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围. [解] (1)证明:任设x 1<x 2<-2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, ∴f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)f(x)=x x -a =x -a +a x -a =1+ax -a,当a>0时,f(x)在(-∞,a),(a ,+∞)上是减函数,又f(x)在(1,+∞)内单调递减,∴0<a ≤1,故实数a 的取值范围为(0,1].10.已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-1x ,(x >0). (1)当0<a <b ,且f(a)=f(b),求证:1a +1b=2;(2)是否存在实数a ,b(1≤a ≤b),使得函数y =f(x)的定义域、值域都是[a ,b],若存在则求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.[解] (1)证明:∵f(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x -1,0<x <1,1-1x,x ≥1.故f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,当0<a <b 时,f(a)=f(b),∴a ,b 在f(x)的不同单调区间上,∴0<a <1<b.则f(a)=1a -1,f(b)=1-1b ,因此1a -1=1-1b ,故1a +1b=2.(2)假设存在这样的实数a ,b ,使得函数y =f(x)的定义域、值域都是[a ,b]. ∵1≤a ≤b ,且f(x)=1-1x 在[1,+∞)上是增函数.则⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=a ,f (b )=b ,即⎩⎪⎨⎪⎧1-1a =a ,1-1b =b ,此时实数a ,b 是方程x 2-x +1=0的两根,但方程x 2-x +1=0无实根,因此不存在满足条件的实数a ,b.[B 级 能力提升练]1.(2015·青岛质量检测)在实数集R 中定义一种运算“*”,对任意a ,b ∈R ,a *b 为唯一确定的实数,且具有性质:(1)对任意a ∈R ,a *0=a ;(2)对任意a ,b ∈R ,a *b =ab +(a *0)+(b *0).关于函数f (x )=(e x)*1e x 的性质,有如下说法:①函数f (x )的最小值为3;②函数f (x )为偶函数;③函数f (x )的单调递增区间为(-∞,0].其中所有正确说法的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3[解析] 由题意可得f (x )=(e x )*1e x =e x ·1e x +(e x *0)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0=1+e x+1e x ,因为e x >0,所以1+e x+1ex ≥1+2e x ·1e x =3,故①正确;f (-x )=1+1ex +e x=f (x ),故②正确;f ′(x )=e x-1e≥0得x ∈[0,+∞),故③错.从而正确说法的个数为2. [答案] C2.(2014·临沂模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f (ax +1)≤f (x -2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2都成立,则实数a 的取值范围是________. [解析] 由题意知ax +1≤x -2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上恒成立.即(a -1)x +3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上恒成立. 则有⎩⎪⎨⎪⎧12(a -1)+3≤0,2(a -1)+3≤0,解得a ≤-5.[答案] (-∞,-5]3.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1.如果对于0<x <y ,都有f(x)>f(y).(1)求f(1);(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.[解] (1)令x =y =1得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2. f(1)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×14=f(4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=0. 所以f(4)=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=-2.由0<x <y 时,都有f(x)>f(y)知函数f(x)是减函数. 不等式f(-x)+f(3-x)≥-2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧-x >0,3-x >0,f[x (x -3)]≥f (4),即⎩⎪⎨⎪⎧x <0,x <3,x (x -3)≤4. 解得-1≤x <0,故原不等式的解集为[-1,0).第三节 函数的奇偶性与周期性[考纲传真]1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.1.奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x. (1)f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x). (2)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x). 2.奇函数、偶函数的性质3.周期性(1)周期函数:T 为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T ≠0;②f(x +T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T 是函数y =f(x)的一个周期,则nT(n ∈Z ,且n ≠0)也是f (x )的周期,即f (x +nT )=f (x ).1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) (2)函数f(x)=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( )(3)若函数y =f(x +a)是偶函数,则函数y =f(x)关于直线x =a 对称.( ) (4)若函数y =f(x +b)是奇函数,则函数y =f(x)关于点(b ,0)中心对称.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(教材改编)已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a]上的偶函数,那么a +b 的值是( )A .-13B .13C .12D .-12[解析] 依题意b =0,且2a =-(a -1), ∴b =0,a =13,则a +b =13.[答案] B3.(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是( ) A .f(x)=x -1 B .f(x)=x 2+x C .f(x)=2x -2-x D .f(x)=2x +2-x [解析] 对于A 、B 选项,显然f(x)为非奇非偶函数.对于选项C ,f(-x)=2-x -2x =-(2x -2-x)=-f(x),故该函数为奇函数;对于选项D ,因为f(-x)=2-x +2x =2x +2-x=f(x),故该函数为偶函数. [答案] D4.(2015·济宁质检)对于函数y =f(x),x ∈R ,“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 若y =f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ), ∴|f (-x )|=|-f (x )|=|f (x )|,y =|f (x )|为偶函数, 从而y =|f (x )|的图象关于y 轴对称.反过来,若y =|f (x )|的图象关于y 轴对称,则不能得出y =f (x )一定是奇函数,比如y =|x 2|,显然,其图象关于y 轴对称,但是y =x 2是偶函数.故“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的必要不充分条件.[答案] B5.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=________.[解析] f(8)=f(-2)=-f(2)=-2, f(14)=f(-1)=-f(1)=-1, 则f(8)-f(14)=-2-(-1)=-1. [答案] -1考向1 函数奇偶性的判断【典例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3-x 2+x 2-3;(2)f(x)=lg (1-x 2)|x -2|-2;(3)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x -x 2+xx<0,x>0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2≥0,x 2-3≥0,得x 2=3,所以x =±3,即函数f(x)的定义域为{-3,3},从而f(x)=3-x 2+x 2-3=0.因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|≠2,得定义域为(-1,0)∪(0,1).∴x -2<0,∴|x -2|-2=-x , ∴f(x)=lg (1-x 2)-x.又∵f(-x)=lg [1-(-x )2]x=-lg (1-x 2)-x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x <0时,-x >0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x 2-x =-f(x);当x >0时,-x <0,则f(-x)=(-x)2-x=x 2-x =-f(x).综上可知:对于定义域内的任意x ,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数. 【规律方法】判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:(2)图象法:【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x +1)1-x1+x; (2)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2,x >0,0,x =0,-x 2-2,x <0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 1+x ≥0,1+x ≠0,得-1<x ≤1.∵f(x)的定义域为(-1,1]不关于原点对称.∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为R ,关于原点对称,当x >0时,f (-x )=-(-x )2-2=-(x 2+2)=-f (x );当x <0时,f (-x )=(-x )2+2=-(-x 2-2)=-f (x ); 当x =0时,f (0)=0,也满足f (-x )=-f (x ). 故该函数为奇函数.考向2 函数奇偶性的应用(高频考点)命题视角 函数奇偶性的应用是高考命题的热点,其主要命题角度:①求函数值;②求解析式(解析式中参数的值);③解不等式.【典例2】 (1)(2014·湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .3(2)(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.[思路点拨] (1)先求f (x )+g (x ),再求f (1)+g (1).(2)先求函数f (x )在R 上的解析式,再求f (x )>x 的解集.[解析] (1)∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,∴f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+1. ∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数, ∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ).∴f (x )+g (x )=-x 3+x 2+1. ∴f (1)+g (1)=-1+1+1=1.(2)设x <0,则-x >0,于是f (-x )=(-x )2-4(-x )=x 2+4x ,由于f (x )是R 上的奇函数,所以-f (x )=x 2+4x ,即f (x )=-x 2-4x ,且f (0)=0,于是f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0.当x >0时,由x 2-4x >x 得x >5;当x <0时,由-x 2-4x >x 得-5<x <0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).[答案] (1)C (2)(-5,0)∪(5,+∞) 【通关锦囊】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式(或解析式中参数的值)将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),或得到关于待定参数的恒等式.进而确定解析式或参数的值.(3)解不等式根据函数的奇偶性,画出函数的大致图象,然后根据图象列不等式(组)求解.在解形如f (x +1)>0的不等式时,可先求f (x )>0的解集D ,再利用x +1∈D ,求x 的范围.【变式训练2】 (1)设函数f (x )=x (e x +a e -x)(x ∈R )是偶函数,则实数a =________.(2)(2015·淄博模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上递增,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=0,则满足f (log 18x )>0的x 的取值范围是( )A .(0,+∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 [解析] (1)法一:∵函数f (x )=x (e x+a e -x),x ∈R 是偶函数,设g (x )=e x +a e -x,x ∈R ,由题意g (x )应为奇函数, 又∵x ∈R ,∴g (0)=0, 则1+a =0,所以a =-1.法二:f (-x )=-x (e -x +a e x)=f (x ).有-(e -x +a e x )=e x +a e -x ,即(1+a )(e x +e -x)=0. ∵e x +e -x≠0,∴1+a =0,即a =-1.(2)由题意知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=0,且函数f (x )在(-∞,0]上递减,则f (log 18x )>0⇔log 18x >13或log 18x <-13.解得0<x <12或x >2.[答案] (1)-1 (2)B考向3 函数的周期性及其应用【典例3】 (1)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=x -[x]在R 上为( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .周期函数(2)(2015·潍坊质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数,g (x )是R 上的奇函数,且g (x )=f (x -1),若f (2)=2,则f (2 018)的值为________.[解析] (1)f (x )=x -[x ]=⎩⎪⎨⎪⎧…x +2,-2≤x <-1,x +1,-1≤x <0,x ,0≤x <1,x -1,1≤x <2,x -2,2≤x <3,…其图象如图所示由图象知,函数f (x )在R 上为周期函数.(2)∵g (-x )=f (-x -1),∴-g (x )=f (x +1). 又g (x )=f (x -1),∴f (x +1)=-f (x -1),∴f (x +2)=-f (x ),f (x +4)=-f (x +2)=f (x ), 则f (x )是以4为周期的周期函数, 所以f (2 018)=f (2)=2. [答案] (1)D (2)2 【规律方法】1.判断函数周期性的两个主要方法是:(1)定义法.(2)图象法. 2.判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有:(1)f (x +a )=-f (x )(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期. (2)f (x +a )=1f (x )(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期. (3)f (x +a )=-1f (x )(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期. 【变式训练3】 已知函数f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,若对于x >0,都有f (x +2)=-1f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=log 2(x +1),试求f (-2 013)+f (2 015)的值.[解] 当x >0时,f (x +2)=-1f (x ),∴f (x +4)=f (x ),即4是f (x )(x >0)的一个周期. ∴f (-2 013)=f (2 013)=f (1)=log 22=1,f (2 015)=f (3)=-1f (1)=-1, ∴f (-2 013)+f (2 015)=0.考向4 函数性质的综合应用【典例4】 (2015·济南模拟)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2 013)+f(2 014)的值为( )A .-2B .-1C .0D .1(2)已知定义在R 上的偶函数满足:f (x +4)=f (x )+f (2),且当x ∈[0,2]时,y =f (x )单调递减,给出以下四个命题:①f (2)=0;②x =-4为函数y =f (x )图象的一条对称轴;③函数y =f (x )在[8,10]上单调递增;④若方程f (x )=m 在[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-8.以上命题中所有正确命题的序号为________. [解析] (1)∵函数f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ),又函数的图象关于x =1对称,则f (2+x )=f (-x )=-f (x ),∴f (4+x )=f [(2+x )+2]=-f (x +2)=f (x ). ∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x =1对称, ∴f (0)=f (2),∴f (2 013)+f (2 014)=f (1)+f (2)=f (1)+f (0) =21-1+20-1=1. (2)令x =-2,得f (2)=f (-2)+f (2),又函数f (x )是偶函数,故f (2)=0,故①正确;根据f (2)=0可得f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )的周期是4,由于偶函数的图象关于y 轴对称,故x =-4也是函数y =f (x )的图象的一条对称轴,故②正确;根据函数的周期性可知,函数f (x )在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数f (x )的图象关于直线x =-4对称,故如果方程f (x )=m 在区间[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 22=-4,即x 1+x 2=-8,故④正确.故正确命题的序号为①②④.[答案] (1)D (2)①②④ 【规律方法】 1.解题(1)的关键是根据函数f (x )的奇偶性及关于x =1对称,得到函数的周期;题(2)由两个对称性可推出周期函数,反之,若具有周期性和一个对称性,一定还具有另一个对称性,从而探究出另一个对称性是解答此题的一个难点.2.函数的奇偶性、周期性与对称性一般是知二求一,在解题过程中,若出现两个性质,要有意识去寻求第三个性质.【变式训练4】 (2015·青岛调研)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x,则下列命题:①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f (x )的最大值为1,最小值为0;④当x ∈(3,4)时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -3.。
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 导数的应用(二)课件.ppt
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8
2.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x
+4 的解集为( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)
解析:令函数 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x)=f′(x)-2>0,因此,g(x)在 R 上是 增函数,又 g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0。所以,原不等式可化为 g(x)>g(-1), 由 g(x)的单调性,可得 x>-1。
5
1 个构造——构造函数解决问题 把所求问题通过构造函数,转化为可用导数解决的问题,这是用导数解决问题时 常用的方法。
2 个转化——不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要 注意分类讨论和数形结合思想的应用。 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。
答案:(-∞,0)
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5.设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为__________。
解析:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立。 当 x>0,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x32-x13。 设 g(x)=x32-x13,则 g′(x)=31-x4 2x, 所以 g(x)在区间0,12上单调递增,在区间12,1上单调递减, 因此 g(x)max=g12=4,从而 a≥4。 当 x<0,即 x∈[-1,0]时,同理,a≤x32-x13。 g(x)在区间[-1,0)上单调递增, 所以 g(x)min=g(-1)=4, 从而 a≤4,综上,可知 a=4。 答案:4
【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8节 课后限时自测 理
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【课堂新坐标】(安徽专用)2015届高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8节 课后限时自测 理一、选择题1.(2013·黄山高三七校联考)下列函数中,在区间(-1,1)上存在零点且单调递增的是( )A .y =log 12xB .y =2x-1 C .y =x 2-12D .y =-x 3【解析】 对于A 选项,函数在区间(-1,1)上不恒有意义且没有零点,对于C 选项,函数在区间(-1,1)上不是单调递增函数,对于D 选项,函数在区间(-1,1)上是单调递减的.故选B.【答案】 B2.(2011·陕西高考)函数f (x )=x -cos x 在[0,+∞)内( ) A .没有零点B .有且仅有一个零点C .有且仅有两个零点D .有无穷多个零点【解析】 令f (x )=x -cos x =0,则x =cos x ,设函数y =x 和y =cos x ,在同一坐标系下做出它们在[0,+∞)的图象,显然两函数的图象的交点有且只有一个,所以函数f (x )=x -cos x 在[0,+∞)内有且仅有一个零点.【答案】 B3.若函数f (x )的零点与g (x )=4x+2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x )可以是( )A .f (x )=4x -1B .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e x-1D .f (x )=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12【解析】 g (0)=-1<0,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1>0,则函数g (x )的零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12, 易知函数f (x )=4x -1的零点x =14与函数g (x )的零点之差的绝对值不超过0.25,故选A.【答案】 A4.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则函数f (x )=sgn(ln x )-ln x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4【解析】 sgn(ln x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >1,0,x =1,-1,0<x <1,故函数f (x )=sgn(ln x )-ln x 的零点有3个,分别为e,1,1e .【答案】 C5.(2014·大连模拟)设方程log 4x -⎝ ⎛⎭⎪⎫14x=0,log 14x -⎝ ⎛⎭⎪⎫14x =0的根分别为x 1,x 2,则( )A .0<x 1x 2<1B .x 1x 2=1C .1<x 1x 2<2D .x 1x 2≥2【解析】 在同一坐标系内画出函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14x,y =log 4x ,y =log 14x 的图象,如图所示,则x 1>1>x 2>0,由log 4x 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 1,log 14x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2得log 4x 1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2<0,∴0<x 1x 2<1,故选A. 【答案】 A 二、填空题6.若函数f (x )=(m -1)x 2+2(m +1)x -1有且仅有一个零点,则实数m 的取值集合是________.【解析】 当m =1时,f (x )=4x -1,此时函数f (x )只有一个零点,当m ≠1时,要使函数f (x )有且只有一个零点,需有Δ=4(m +1)2+4(m -1)=0, 解得m =0或m =-3,因此m 的取值集合为{-3,0,1}. 【答案】 {-3,0,1}7.(2014·镇江模拟)方程x lg(x +2)=1有________个不同的实数根.【解析】 由x lg(x +2)=1得,lg(x +2)=1x,在同一坐标系中,画出函数y =lg(x +2)与y =1x的图象,如图所示:由图象知,方程有两个不同的实根. 【答案】 28.(2014·吉林实验中学模拟)已知函数f (x )=ax 2+4x +1在区间(-∞,1)有零点,则实数a 的取值范围为________.【解析】 当a =0时,f (x )=4x +1,函数f (x )的零点为x =-14,符合题意,当a >0时,只需Δ=16-4a ≥0,即0<a ≤4,即可. 当a <0时,函数f (x )在(-∞,1)上一定有零点. 综上知,a ≤4. 【答案】 (-∞,4] 三、解答题9.若函数f (x )=ax 2-x -1有且仅有一个零点,求实数a 的值.【解】 (1)当a =0时,函数f (x )=-x -1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点.(2)当a ≠0时,函数f (x )=ax 2-x -1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax 2-x -1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a =0,解得a =-14.综上,当a =0或a =-14时,函数仅有一个零点.10.已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1,若a 为整数,且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,求a 的值.【解】 ∵f (x )=ax 2-(a +2)x +1, ∴Δ=(a +2)2-4a =a 2+4>0.∴函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1必有两个不同的零点. 又函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点, ∴f (-2)f (-1)<0, 即(6a +5)(2a +3)<0.解之,得-32<a <-56.又a ∈Z ,∴a =-1.B 组 能力提升1.(2014·郑州模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2,x >m ,x 2+4x +2,x ≤m的图象与直线y =x 恰有三个公共点,则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .[-1,2)C .[-1,2]D .[2,+∞)【解析】 由题意知,直线y =x 与f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )有两个交点,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x 2+4x +2解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1,因此m ≥-1.直线y =x 与f (x )=2(x >m )有一个交点,即(2,2), 此时m <2,综上知-1≤m <2,故选B. 【答案】 B2.(2014·浙江协作体模拟)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x +1,log 2x ,x ≤0,x >0,则函数y =f [f (x )]+1的所有零点所构成的集合为________.【解析】 由题意知f [f (x )]=-1,由f (x )=-1得x =-2或x =12,则函数y =f [f (x )]+1的零点就是使f (x )=-2或f (x )=12的x 值,解f (x )=-2得x =-3或x =14,解f (x )=12得x =-12或x =2,从而函数y =f [f (x )]+1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-3,-12,14,2. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-3,-12,14,23.设函数f (x )=x 2+2bx +c (c <b <1)的一个零点是1,且函数g (x )=f (x )+1也有零点. (1)证明:-3<c ≤-1,且b ≥0;(2)若m 是函数g (x )的一个零点,试判断f (m -4)的正负并加以证明. 【解】 (1)证明:由f (1)=0,得b =-c +12.又c <b <1,故c <-c +12<1,∴-3<c <-13.方程f (x )+1=0有实根,即方程x 2+2bx +c +1=0有实根, 故Δ=4b 2-4(c +1)≥0,即c 2-2c -3≥0. ∴c ≥3,或c ≤-1.又-3<c <-13,所以-3<c ≤-1. 又b =-c +12,∴b ≥0.(2)∵f (x )=x 2+2bx +c =(x -c )(x -1),且m 是函数g (x )=f (x )+1的一个零点, ∴f (m )=-1<0,故c <m <1. ∴c -4<m -4<-3<c .∴f (m -4)=(m -4-c )(m -4-1)>0, 所以f (m -4)的符号为正.。
新高考数学一轮复习课件:第二章 函数、导数及其应用 第6节
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1 (a>0,m,n∈N*,且 am
n>1).
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂__没__有__意__义.
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第二章 函数、导数及其应用
(2)有理数指数幂的性质: ①aras=__a_r_+_s___(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=___a_rs____(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=__a_r_b_r ___(a>0,b>0,r∈Q).
第二章 函数、导数及其应用
[训练1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确
的是( D ) A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0
D.0<a<1,b<0
解析 由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所 以0<a<1,函数f(x)=ax-b的图象是在y=ax的基础上向左平移得到的,所以b<0.
(2019·黑龙江七台河月考)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c.因
为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.
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第二章 函数、导数及其应用
考向 2:简单的指数方程或不等式问题
(1)(2019·福建福州模拟)已知实数 1
【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第5节 课后限时自测 理
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【课堂新坐标】(安徽专用)2015届高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第5节 课后限时自测 理一、选择题 1.化简-x3x的结果是( )A .--x B.x C .-xD.-x【解析】 由题意知x <0,-x 3=-x ·x 2=|x |-x =-x -x , 所以-x3x=--x .【答案】 A2.(2013·亳州高三摸底考试)设a =20.3,b =0.32,c =log 20.3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <c <a【解析】 由于a =20.3>1,b =0.32∈(0,1),c =l og 20.3<0,所以a >b >c . 【答案】 B3.(2014·烟台模拟)函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫122x -x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞B.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12D .(0,2]【解析】 ∵2x -x 2=-(x -1)2+1≤1,又y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t在R 上为减函数,∴y =⎝ ⎛⎭⎪⎫122x -x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121=12,即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞. 【答案】 A4.函数y =xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )【解析】 y =xa x |x |=⎩⎪⎨⎪⎧a x ,-a x,x >0,x <0,故选D.【答案】 D5.在下列四图中,二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x的图象只可为( )【解析】 由ax 2+bx =0得x =0,或x =-b a,故排除D. 由题意知b a >0,则-b a<0,故排除B.对于A ,-1<-b a <0,从而0<b a<1,函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 的图象符合条件,故选A.【答案】 A 二、填空题6.已知函数f (x )=4+ax -1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是________.【解析】 由f (1)=4+a 0=5知,点P 的坐标为(1,5). 【答案】 (1,5)7.(2013·安庆一模)若a +a -1=3,则a 12-a -12的值为________.【解析】 因为a +1a =(a 12-a -12)2+2=3,所以a 12-a -12=±1.【答案】 ±18.函数f (x )=a x -1a x +1(a >0,且a ≠1)是________函数(填“奇”,“偶”),其值域为________.【解析】 函数f (x )的定义域为R ,且f (-x )=a -x -1a -x +1=-a x -1a x +1=-f (x ),因此函数f (x )是奇函数,又f (x )=a x -1a x +1=1-2a x +1,且a x+1>1,从而-2<-2a x +1<0,-1<1-2a x +1<1,即函数的值域为(-1,1). 【答案】 奇 (-1,1) 三、解答题9.已知2x 2-x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -1,求函数y =2x -2-x的值域.【解】 由2x 2-x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -1=2-2x +2,得x 2-x ≤-2x +2,即x 2+x -2≤0解得-2≤x ≤1.令t =2x,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2,则y =t -1t ,易知y =t -1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2上是增函数,所以,函数y =t -1t 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-154,32,即函数y =2x -2-x的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-154,32.10.已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1)求f (x );(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ·a =6,b ·a 3=24,又∵a >0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =3,∴f (x )=3×2x.(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x -m ≥0,得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.又g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数,则g (x )min =g (1)=12+13=56,∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤-∞,56.B 组 能力提升1.(2014·阜阳模拟)若函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1e x -1cos x 是奇函数,则常数a 的值等于( )A .-1B .1C .-12D.12【解析】 设g (x )=a +1e x-1,t (x )=cos x , ∵t (x )=cos x 为偶函数,而f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1e x -1cos x 为奇函数,∴g (x )=a +1e x -1为奇函数.又∵g (-x )=a +1e -1=a +ex1-e,∴a +e x1-e x =-(a +1e x-1)对定义域内的一切实数都成立,解得:a =12. 【答案】 D2.已知0≤x ≤2,则y =4x -12-3·2x+5的最大值为________.【解析】 令t =2x,∵0≤x ≤2,∴1≤t ≤4, 又y =22x -1-3·2x +5,∴y =12t 2-3t +5=12(t -3)2+12,∵1≤t ≤4,∴t =1时,y max =52.【答案】 523.已知定义域为R 的函数f (x )=-2x+b2x +1+a 是奇函数.(1)求a ,b 的值;(2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0,求k 的取值范围. 【解】 (1)∵f (x )是奇函数,∴f (0)=0,即-1+b2+a =0,解得b =1.从而f (x )=-2x+12x +1+a.又由f (-1)=-f (1),知-12+11+a =--2+14+a ,解得a =2.经检验b =1,a =2适合题意, ∴a =2,b =1.(2)由(1)知f (x )=-2x+12x +1+2=-12+12x +1.由上式易知f (x )在(-∞,+∞)上为减函数.又因为f (x )为奇函数, 从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0⇔f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (-2t 2+k ). ∵f (x )为减函数,∴t 2-2t >-2t 2+k ,即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0. 从而判别式Δ=4+12k <0, 解得k <-13,即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13.。
高考新坐标(教师用书)高考数学总复习 第二章 函数、导
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第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考纲传真]1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.1.函数与映射的概念2.函数的三要素3.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( )(2)函数y=1与y=x0是同一个函数.( )(3)两个函数的定义域,对应关系相同,则表示同一个函数.( )(4)映射是特殊的函数.( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2.(教材改编)函数G(n)=3n+1,n∈{1,2,3}的值域是( )A.[1,3] B.[4,10]C.{4,7,10} D.{1,2,3}[解析] G(1)=4,G(2)=7,G(3)=10,则函数G(n)的值域为{4,7,10}. [答案] C3.下列函数中,不满足...f(2x)=2f(x)的是( )A .f(x)=|x|B .f(x)=x -|x|C .f(x)=x +1D .f(x)=-x [解析] 对于A ,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于B ,f(2x)=2x -|2x|=2(x -|x|)=2f(x); 对于C ,f(2x)=2x +1≠2f(x);对于D ,f(2x)=-2x =2f(x),故只有C 不满足f(2x)=2f(x). [答案] C4.(2014·江西高考)函数f(x)=ln (x 2-x)的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1] C .(-∞,0)∪(1,+∞) D .(-∞,0]∪[1,+∞)[解析] 要使f(x)=ln (x 2-x)有意义,只需x 2-x>0,解得x>1或x<0.∴函数f(x)=ln (x 2-x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). [答案] C5.(2015·烟台质检)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥0,3x 2,x<0,且f(x 0)=3,则实数x 0的值为( )A .-1B .1C .-1或1D .-1或-13[解析] 当x 0≥0时,f(x 0)=2x 0+1=3,则x 0=1;当x 0<0时,f(x 0)=3x 20=3,则x 0=-1. 因此实数x 0的值为±1. [答案] C【典例1】 (1)(2014·山东高考)函数f(x)=1(log 2x )2-1的定义域为( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B .(2,+∞) C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞)D .⎝⎛⎦⎥⎤0,12∪[2,+∞)(2)(2015·济南模拟)已知函数y =f(x)的定义域为[0,4],则函数y 1=f(2x)-ln (x -1)的定义域为( )A .[1,2]B .(1,2]C .[1,8]D .(1,8][解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x>0,(log 2x )2>1, 解得x>2或0<x<12.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4,x -1>0,即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,x >1,解得1<x ≤2.[答案] (1)C (2)B ,【规律方法】1.求函数的定义域其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,往往归结为求不等式或不等式组的解集问题.所求定义域须用集合或区间表示.2.若已知f(x)的定义域为[a ,b],则f(g(x))的定义域可由a ≤g(x)≤b 求出;若已知f(g(x))的定义域为[a ,b],则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ,b]时的值域.3.实际问题中的函数定义域,不仅要使构建函数的解析式有意义,而且要考虑实际问题的要求.【变式训练1】 (1)(2013·重庆高考)函数y =1log 2(x -2)的定义域是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(2,3)∪(3,+∞)D .(2,4)∪(4,+∞)(2)已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域为________.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x -2)≠0,x -2>0,得x>2且x ≠3.(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1],∴12≤2x ≤2,即f(x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2. [答案] (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2【典例2】 (1)已知f(1-cos x)=sin 2x ,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x +1)-f(x)=x -1,求f(x)的解析式;(3)已知f(x)+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x(x ≠0),求f(x)的解析式. [解] (1)f(1-cos x)=sin 2x =1-cos 2x , 令t =1-cos x ,则cos x =1-t ,t ∈[0,2],∴f(t)=1-(1-t)2=2t -t 2,t ∈[0,2],即f(x)=2x -x 2,x ∈[0,2].(2)设f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0),由f(0)=2,得c =2,f(x +1)-f(x)=a(x +1)2+b(x +1)-ax 2-bx =x -1, 即2ax +a +b =x -1,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a =1,a +b =-1,即⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-32.∴f(x)=12x 2-32x +2.(3)∵f(x)+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f(x)=1x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f (x )=1x,得f(x)=23x -x3(x ≠0).【规律方法】1.解答本题(1)时,应注意“新元”与“1-cos x ”的取值范围一致;解答本题(3)时,应注意方程右边x 的变化.2.求函数解析式的三种常用方法(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数f(g(x))=F(x),可用换元法.(3)解方程组法:已知关于f(x)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x (或f(-x))的表达式,可构造出另一个方程构成方程组求出f(x).【变式训练3】 已知2f(x)-f(-x)=lg (x +1),则f(x)=________. [解析] ∵2f(x)-f(-x)=lg (x +1), ∴2f(-x)-f(x)=lg (1-x).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )-f (-x )=lg (x +1),2f (-x )-f (x )=lg (1-x )得f(x)=23lg (x +1)+13lg (1-x).[答案] 23lg (x +1)+13lg (1-x)考向3 分段函数及其应用(高频考点)【典例3】 (1)(2015·威海模拟)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x,(x <4),f (x -1)+2,(x ≥4),则f(5)=________.(2)(2014·课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x<1,x 13,x ≥1,则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________.[思路点拨] (1)当x ≥4时,使用f(x)=f(x -1)+2,直至自变量变为小于4为止,最后代入f(x)=2x,(x <4)求解.(2)根据分段函数,分段求解.[解析] (1)f(5)=f(4)+2,f(4)=f(3)+2,f(3)=23=8. 所以f(5)=f(3)+4=8+4=12.(2)当x<1时,x -1<0,e x -1<e 0=1≤2, ∴当x<1时满足f(x)≤2.当x ≥1时,x 13≤2,x ≤23=8,∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(-∞,8].[答案] (1)12 (2)(-∞,8] 【通关锦囊】1.在求分段函数值f(x 0)时,一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.当自变量的值不确定时,要分类讨论,如本题(2).2.若给出函数值求自变量值,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.【变式训练3】 (2015·淄博调研)设f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2e x -1,x<2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f(x)>2的解集为( )A .(1,2)∪(3,+∞)B .(10,+∞)C .(1,2)∪(10,+∞)D .(1,2)[解析] 当x<2时,f(x)=2e x -1>2,得x>1,∴1<x<2.当x ≥2时,f(x)=log 3(x 2-1)>2,得x 2>10,∴x>10.综上,不等式f(x)>2的解集为(1,2)∪(10,+∞). [答案] C熟记1种方法求形如函数y=f(g(x))的定义域的方法(1)若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域;(2)若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(x)的定义域.做到2个防范1.解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.2.用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.把握3个要素函数的三要素是:定义域、值域和对应法则.值域是由函数的定义域和对应法则所确定的.两个函数的定义域和对应法则完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f:A→B的三要素是集合A、B和对应法则f.思想方法之2分类讨论思想在分段函数中的应用(2014·浙江高考)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.若f(f(a))=2,则a =________. [解析] 若a >0,则f(a)=-a 2<0,f(f(a))=a 4-2a 2+2=2,得a = 2.若a ≤0,则f(a)=a 2+2a +2=(a +1)2+1>0,f(f(a))=-(a 2+2a +2)2=2,此方程无解.[答案] 2 【智慧心语】易错提示:(1)没有分类讨论的意识,未对a 进行讨论,而认为a ≤0或a >0,只对一种情况求解.(2)不会判断f(a)的正负,无法求f(f(a)).防范措施:(1)求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系.(2)求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围.【类题通关】 (2015·天津模拟)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,则不等式x +x·f(x)≤2的解集是________.[解析] 当x ≥0时,不等式可化为x +x 2≤2, 解得-2≤x ≤1,又x ≥0,所以0≤x ≤1.当x <0时,不等式可化为x -x 2≤2, 解得x ∈R ,又x <0,所以x <0,综上知,不等式的解集为{x |x ≤1}. [答案] {x |x ≤1}课后限时自测[A 级 基础达标练]一、选择题1.(2013·山东高考)函数f(x)=1-2x+1x +3的定义域为( )A .(-3,0]B .(-3,1]C .(-∞,-3)∪(-3,0]D .(-∞,-3)∪(-3,1][解析] 由题意,自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1-2x≥0,x +3>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,x >-3,∴-3<x ≤0.[答案] A2.(2014·江西高考)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R ),若f [g (1)]=1,则a =( )A .1B .2C .3D .-1[解析] ∵g (x )=ax 2-x ,∴g (1)=a -1.∵f (x )=5|x |,∴f [g (1)]=f (a -1)=5|a -1|=1, ∴|a -1|=0,∴a =1. [答案] A 3.下列图象可以表示以M ={x|0≤x ≤1}为定义域,以N ={x|0≤x ≤1}为值域的函数的是( )[解析] 对于A ,值域不合题意;对于B ,定义域不合题意;对于D ,不是函数图象. [答案] C4.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧cx ,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16[解析] 组装第A 件产品用时15分钟,所以c A=15,①所以必有4<A ,且c4=c2=30.② 联立①②解得c =60,A =16. [答案] D5.(2015·济南质检)具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①f(x)=x -1x ;②f(x)=x +1x ;③f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x<1,0,x =1,-1x ,x>1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①[解析] ①中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x-x =-f(x),满足.②中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f(x),不满足.③中,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x>1,0,x =1,-x ,0<x<1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. [答案] B 二、填空题6.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4-x ) x ≤0,f (x -1)-f (x -2) x >0,则f (3)=________.[解析] f (3)=f (2)-f (1)=[f (1)-f (0)]-f (1)=-f (0)=-log 24=-2. [答案] -27.(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.[解析] 设-1≤x ≤0,则0≤x +1≤1,所以f (x +1)=(x +1)[1-(x +1)]=-x (x +1). 又f (x +1)=2f (x ),所以f (x )=f (x +1)2=-x (x +1)2.[答案] -x (x +1)28.(2015·青岛联考)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 12,x ∈[0,+∞),|sin x|,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0.若f(a)=12,则a =________.[解析] 若a ≥0,由f(a)=12,解得a =14.若a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0时,f(a)=|sin a|=12,解得a =-π6.综上可知,实数a 的值为14或-π6.[答案] 14或-π6三、解答题9.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的图211距离与乙从家到公园的距离都是2 km ,甲10时出发前往乙家.如图211所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km )与时间x(min )的关系.试写出y =f(x)的函数解析式.[解] 当0≤x ≤30时,设y =kx(k ≠0),又图象经过点(30,2).则k =115,即y =115x.当30<x <40时,y =2.当40≤x ≤60时,设y =ax +b(a ≠0),图象经过点(40,2)与(60,4),则⎩⎪⎨⎪⎧2=40a +b ,4=60a +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =110,b =-2,所以y =110x -2,综上知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧115x ,x ∈[0,30],2,x ∈(30,40),110x -2,x ∈[40,60].10.已知f(x)=x 2-1,g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x >0,2-x ,x <0.(1)求f(g(2))和g(f(2))的值; (2)求f(g(x))的解析式.[解] (1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,∴f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当x >0时,g(x)=x -1,故f(g(x))=(x -1)2-1=x 2-2x ; 当x <0时,g(x)=2-x ,故f(g(x))=(2-x)2-1=x 2-4x +3.∴f(g(x))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x , x >0,x 2-4x +3, x <0.[B 级 能力提升练]1.设函数y =f(x)在R 上有定义.对于给定的正数M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≤M ,M ,f (x )>M ,则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”.若给定函数f (x )=2-x 2,M=1,则f M (0)的值为( )A .2B .1 C. 2 D .- 2[解析] 由2-x 2≤1,得x ≥1或x ≤-1,从而f 1(x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x 2,x ≥1或x ≤-1,1,-1<x <1,则f 1(0)=1.[答案] B2.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x +3,f(m)=6,则m =________. [解析] 法一 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x +3,∴f(x)=4x +7,∴f(m)=4m +7=6,∴m =-14.法二 由2x +3=6,得x =32,∴m =12×32-1=-14.[答案] -143.如果对任意实数x ,y ,都有f(x +y)=f(x)·f(y),且f(1)=2, (1)求f(2),f(3),f(4)的值; (2)求f (2)f (1)+f (4)f (3)+f (6)f (5)+…+f (2 010)f (2 009)+f (2 012)f (2 011)+f (2 014)f (2 013)+f (2 016)f (2 015)的值.[解] (1)因为对任意实数x ,y ,都有f(x +y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23=8,f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=24=16.(2)由(1)知f (2)f (1)=2,f (4)f (3)=2,f (6)f (5)=2,…,f (2 016)f (2 015)=2.故原式=2×1 008=2 016.第二节 函数的单调性与最值[考纲传真]1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.增函数、减函数 单调函数的定义2.单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.3.函数的最值1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于函数f(x),x ∈D ,若对任意x 1,x 2∈D ,x 1≠x 2且(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0,则函数f(x)在区间D 上是增函数.( )(2)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(3)函数y =|x|是R 上的增函数.( )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(教材改编)如果二次函数f(x)=3x 2+2(a -1)x +b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( )A .a =-2B .a =2C .a ≤-2D .a ≥2[解析] 二次函数的对称轴方程为x =-a -13,由题意知-a -13≥1,即a ≤-2.[答案] C3.(2014·北京高考)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A .y =e -xB .y =x 3C .y =ln xD .y =|x |[解析] A 项,函数定义域为R ,但在R 上为减函数,故不符合要求;B 项,函数定义域为R ,且在R 上为增函数,故符合要求;C 项,函数定义域为(0,+∞),不符合要求;D 项,函数定义域为R ,但在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,不符合要求.[答案] B4.已知函数f(x)为R 上的减函数,则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是________. [解析] ∵f (x )在R 上是减函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1). ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x>1⇔1x >1或1x<-1.解之得0<x <1或-1<x <0. [答案] (-1,0)∪(0,1)5.(2015·青岛模拟)对于任意实数a ,b ,定义min {a ,b}=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b.设函数f(x)=-x +3,g(x)=log 2x ,则函数h(x)=min {f(x),g(x)}的最大值是________.[解析] 依题意,h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h(x)=log 2x 是增函数;当x >2时,h(x)=3-x 是减函数.则h(x)在x =2时,取得最大值h(2)=1. [答案] 1考向1 确定函数的单调性或单调区间【典例1】 (1)函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调递减区间为________. (2)试讨论函数f(x)=axx 2-1,x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).[解析] (1)由x 2-1>0,得x >1或x <-1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).令t =x 2-1,因为y =log 2t 在t ∈(0,+∞)上为增函数,t =x 2-1在x ∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调递减区间为(-∞,-1).[答案] (-∞,-1)(2)法一 设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1).∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 21-1<0,x 22-1<0. -1<x 1x 2<1,∴x 1x 2+1>0. ∴(x 2-x 1)(x 2x 1+1)(x 21-1)(x 22-1)>0. 因此,当a >0时,f(x 1)-f(x 2)>0,∴f(x 1)>f(x 2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当a <0时,f(x 1)-f(x 2)<0,∴f(x 1)<f(x 2),此时函数在(-1,1)上为增函数. 法二 f′(x)=a (x 2-1)-2ax 2(x 2-1)2=-a (x 2+1)(x 2-1)2.当a >0时,f ′(x)<0,当a <0时,f ′(x)>0.∴当a >0时,f(x)在(-1,1)上为减函数. 当a <0时,f(x)在(-1,1)上为增函数. 【规律方法】1.(1)判断函数单调性主要有四种方法:①定义法.②图象法.③利用已知函数的单调性.④导数法.(2)证明函数的单调性主要是根据定义或利用导数,求函数的单调区间,一定要注意函数定义域的优先原则.2.复合函数y =f(g(x))的单调性应根据外层函数y =f(t)和内层函数t =g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【变式训练1】图221(1)函数y =f(x)(x ∈R )的图象如图221所示,则函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12 B .[a ,1]C .(-∞,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ D .[a ,a +1](2)下列函数f (x )中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0的是”( )A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)[解析] (1)由y =log a x (0<a <1)是减函数知,要使函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)为减函数,则有0≤log a x ≤12,即a ≤x ≤1.(2)由(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)是减函数,对于A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调. 对于f (x )=1x -x ,f ′(x )=-1x2-1<0,∴f (x )=1x-x 在(0,+∞)上是减函数.[答案] (1)B (2)C考向2 求函数的最值(值域)【典例2】 (1)(2013·北京高考)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ,x ≥1,2x ,x<1的值域为________.(2)已知f(x)=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞),且a ≤1.①当a =12时,求函数f(x)的最小值;②若对任意x ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围.[解析] (1)当x ≥1时,log 12x ≤log 121=0,∴当x ≥1时,f(x)≤0.当x<1时,0<2x <21,即0<f(x)<2.因此函数f(x)的值域为(-∞,2).[答案] (-∞,2)(2)①当a =12时,f(x)=x +12x +2,f ′(x)=1-12x 2>0,x ∈[1,+∞),即f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)min =f(1)=1+12×1+2=72. ②f(x)=x +ax+2,x ∈[1,+∞).(ⅰ)当a ≤0时,f(x)在[1,+∞)内为增函数. 最小值为f(1)=a +3.要使f(x)>0在x ∈[1,+∞)上恒成立,只需a +3>0, ∴-3<a ≤0.(ⅱ)当0<a ≤1时,f(x)在[1,+∞)上为增函数, f(x)min =f(1)=a +3.∴a +3>0,a >-3.∴0<a ≤1.综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,1]. 【规律方法】1.求函数最值(值域)的常用方法(1)确定单调性的函数,利用单调性求值域或最值.(2)图象法:能作出图象的函数,观察其图象最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).2.恒成立问题的解法(1)m >f(x)恒成立⇔m >f(x)max . (2)m <f(x)恒成立⇔m <f(x)min .【变式训练2】 已知函数f(x)=a x+log a x(a>0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( )A .12B .14C .2D .4[解析] f(x)=a x+log a x 在[1,2]上是单调函数, ∴f(1)+f(2)=log a 2+6,则a +log a 1+a 2+log a 2=log a 2+6,即(a -2)(a +3)=0. 由于a>0,∴a =2. [答案] C考向3 函数单调性的应用(高频考点)【典例3】 (1)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(3a -1)x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A .(0,1)B .⎝⎛⎭⎪⎫0,13C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,13 D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,1(2)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≥0,1,x <0,则满足不等式f(1-x 2)>f(2x)的x 的取值范围是________.[思路点拨] (1)首先确定函数f(x)的单调性,然后确定“每一段”函数满足的条件及在x =1处函数值的大小.(2)画出函数f(x)的图象,确定函数的单调性,然后去掉“f”求解. [解析] (1)函数f(x)在R 上为减函数,则有⎩⎪⎨⎪⎧3a -1<0,0<a <1,(3a -1)×1+4a ≥log a 1,即⎩⎪⎨⎪⎧a <13,0<a <1,a ≥17,解得17≤a <13.(2)画出f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≥0,1,x <0,的图象,由图象可知,若f (1-x 2)>f (2x ),则⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,1-x 2>2x , 即⎩⎨⎧-1<x <1,-1-2<x <-1+2,得x ∈(-1,2-1).[答案] (1)C (2)(-1,2-1), 【规律方法】1.分段函数的单调性:(1)首先保证分段函数在每一段上单调递增(减);(2)其次保证在区间端点处的函数值“左≤右(增)”或“左≥右(减)”.2.含“f ”号不等式的解法:首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”号,转化为具体的不等式(组),此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内.【变式训练3】 (1)已知函数y =f (x )的图象关于x =1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c <b <a B .b <a <c C .b <c <aD .a <b <c(2)(2015·烟台模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +a ,x <12,log 2x ,x ≥12的最小值为-1,则实数a 的取值范围是________.[解析] (1)由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,所以f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3),即b <a <c . (2)当x ≥12时,f (x )min =log 212=-1,当x <12时,函数f (x )是减函数,从而-12+a ≥-1,即a ≥-12.[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,+∞勿忘2点注意1.单调区间是定义域的子区间,求单调区间定义域优先.2.函数的单调区间要分开写,两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“,”隔开,不能用“∪”连结,如函数y =1x单调减区间为:(-∞,0),(0,+∞).掌握3个结论1.奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.2.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.3.开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.掌握4种方法函数单调性的判断1.定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.2.利用函数的性质:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.3.导数法:利用导数研究函数的单调性.4.图象法:利用图象研究函数的单调性.规范解答之1确定抽象函数的单调性问题(12分)(2015·名校联考)函数f(x)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.——————————[规范解答示例] ————————(1)设x1<x2,所以x2-x1>0.因为当x>0时,f(x)>1,所以f(x2-x1)>1.2分f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,4分所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上为增函数.6分(2)因为m,n∈R,不妨设m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1,8分f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a2+a-5)<2=f(1),10分因为f(x)在R上为增函数,所以a2+a-5<1⇒-3<a<2,即原不等式的解集为{a|-3<a<2}.12分,——————[构建答题模板] ———————第一步证明f(x2-x1)>1.⇓第二步变形f(x2)=f[(x2-x1)+x1],证明f(x2)-f(x1)>0.⇓第三步确定函数f(x)的单调性.⇓第四步求f(1)=2.⇓ 第五步不等式f (a 2+a -5)<2转化为f (a 2+a -5)<f (1).⇓ 第六步去掉“f ”,解不等式.【智慧心语】易错提示:(1)不会根据条件f (m +n )=f (m )+f (n )-1构造f (x 2)=f [(x 2-x 1)+x 1],进而将f (x 2)-f (x 1)用f (x 2-x 1)表示而失分.(2)求不出f (1)=2,进而无法将不等式f (a 2+a -5)<2转化为f (a 2+a -5)<f (1). 防范措施:(1)利用定义法证明抽象函数的单调性时,应根据所给等式的特点,对x 1或x 2进行适当变形,进而将f (x 2)-f (x 1)与0比较大小.(2)求含“f ”的不等式问题,应先利用已知条件将不等式转化为f (x 1)<f (x 2)的形式,然后再根据其单调性脱掉“f ”,转化为关于x 1与x 2的不等式问题.【类题通关】 已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1,②当x >0时,f (x )>-1.(1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数;(2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. [解] (1)令x =y =0,得f (0)=-1.设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,f (x 2-x 1)>-1.又f (x 2)-f (x 1)=f [(x 2-x 1)+x 1]-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)+1-f (x 1)=f (x 2-x 1)+1>0,所以f (x 2)>f (x 1),即函数f (x )在R 上是单调增函数.(2)不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4可化为f (x 2+2x )+f (1-x )+1>5.即f (x 2+x +1)>5,又f (3)=f (2)+f (1)+1=3f (1)+2=5,则有f (x 2+x +1)>f (3),由(1)知x 2+x +1>3,解得x <-2或x >1, 所以原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.课后限时自测[A 级 基础达标练]一、选择题1.(2014·北京高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-xD .y =log 0.5(x +1) [解析] A 项,函数y =x +1在[-1,+∞)上为增函数,所以函数在(0,+∞)上为增函数,故正确;B 项,函数y =(x -1)2在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,故错误;C 项,函数y =2-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数,故错误;D 项,函数y =log 0.5(x +1)在(-1,+∞)上为减函数,故错误.[答案] A2.若函数y =ax 与y =-b x 在(0,+∞)上都是减函数,则y =ax 2+bx 在(0,+∞)上是( )A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增[解析] 由题意知,a<0,b<0,则-b 2a <0,从而函数y =ax 2+bx 在(0,+∞)上为减函数.[答案] B3.函数f(x)=ln (4+3x -x 2)的单调递减区间是( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,32B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞C .⎝⎛⎦⎥⎤-1,32D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,4[解析] 要使函数有意义需4+3x -x 2>0,解得-1<x <4, ∴定义域为(-1,4).令t =4+3x -x 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤-1,32上递增,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,4上递减,又y =ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0,254上递增,∴f(x)=ln (4+3x -x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,4.[答案] D4.(2015·潍坊模拟)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x >1,⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2x +2,x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4-a 2+2,解得4≤a <8.[答案] B5.若函数f(x)=log a (3-ax)(a >0,a ≠1)在区间[1,2]上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(0,1)B .(1,3)C .⎝⎛⎦⎥⎤1,32D .⎝⎛⎭⎪⎫1,32[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,3-2a >0.解得1<a <32.[答案] D二、填空题6.若函数f(x)=1a -1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,则实数a 的值为________. [解析] 因为函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上是增函数,则有⎩⎪⎨⎪⎧1a -2=12,1a -12=2,解得a =25.[答案] 257.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________. [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,2x -1<13,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12,x<23,所以12≤x<23.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,238.(2015·济南调研)若函数y =2x +kx -2与y =log 3(x -2)在区间(2,+∞)上具有相同的单调性,实数k 的取值范围是________.[解析] y =log 3(x -2)的定义域为(2,+∞),且为增函数.故若使函数y =2x +k x -2=2(x -2)+4+k x -2=2+4+kx -2在(2,+∞)上是增函数,则有4+k<0,得k<-4.[答案] (-∞,-4) 三、解答题9.已知f(x)=xx -a(x ≠a).(1)若a =-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围. [解] (1)证明:任设x 1<x 2<-2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, ∴f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)f(x)=x x -a =x -a +a x -a =1+ax -a,当a>0时,f(x)在(-∞,a),(a ,+∞)上是减函数,又f(x)在(1,+∞)内单调递减,∴0<a ≤1,故实数a 的取值范围为(0,1].10.已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-1x ,(x >0). (1)当0<a <b ,且f(a)=f(b),求证:1a +1b=2;(2)是否存在实数a ,b(1≤a ≤b),使得函数y =f(x)的定义域、值域都是[a ,b],若存在则求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.[解] (1)证明:∵f(x)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x -1,0<x <1,1-1x,x ≥1.故f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,当0<a <b 时,f(a)=f(b),∴a ,b 在f(x)的不同单调区间上,∴0<a <1<b. 则f(a)=1a -1,f(b)=1-1b ,因此1a -1=1-1b ,故1a +1b=2.(2)假设存在这样的实数a ,b ,使得函数y =f(x)的定义域、值域都是[a ,b]. ∵1≤a ≤b ,且f(x)=1-1x 在[1,+∞)上是增函数.则⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=a ,f (b )=b ,即⎩⎪⎨⎪⎧1-1a =a ,1-1b=b ,此时实数a ,b 是方程x 2-x +1=0的两根,但方程x 2-x +1=0无实根,因此不存在满足条件的实数a ,b.[B 级 能力提升练]1.(2015·青岛质量检测)在实数集R 中定义一种运算“*”,对任意a ,b ∈R ,a *b 为唯一确定的实数,且具有性质:(1)对任意a ∈R ,a *0=a ;(2)对任意a ,b ∈R ,a *b =ab +(a *0)+(b *0).关于函数f (x )=(e x)*1ex 的性质,有如下说法:①函数f (x )的最小值为3;②函数f (x )为偶函数;③函数f (x )的单调递增区间为(-∞,0].其中所有正确说法的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3[解析] 由题意可得f (x )=(e x )*1e x =e x ·1e x +(e x *0)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0=1+e x+1e x ,因为e x >0,所以1+e x+1ex ≥1+2e x ·1e x =3,故①正确;f (-x )=1+1ex +e x=f (x ),故②正确;f ′(x )=e x-1ex ≥0得x ∈[0,+∞),故③错.从而正确说法的个数为2. [答案] C2.(2014·临沂模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f (ax +1)≤f (x -2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2都成立,则实数a 的取值范围是________. [解析] 由题意知ax +1≤x -2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上恒成立.即(a -1)x +3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上恒成立. 则有⎩⎪⎨⎪⎧12(a -1)+3≤0,2(a -1)+3≤0,解得a ≤-5.[答案] (-∞,-5]3.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1.如果对于0<x <y ,都有f(x)>f(y).(1)求f(1);(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2.[解] (1)令x =y =1得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2. f(1)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×14=f(4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=0. 所以f(4)=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=-2.由0<x <y 时,都有f(x)>f(y)知函数f(x)是减函数. 不等式f(-x)+f(3-x)≥-2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧-x >0,3-x >0,f[x (x -3)]≥f (4),即⎩⎪⎨⎪⎧x <0,x <3,x (x -3)≤4. 解得-1≤x <0,故原不等式的解集为[-1,0).第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真]1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.1.奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x).(2)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x).2.奇函数、偶函数的性质3.周期性(1)周期函数:T 为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T ≠0;②f(x +T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T 是函数y =f(x)的一个周期,则nT(n ∈Z ,且n ≠0)也是f (x )的周期,即f (x +nT )=f (x ).1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) (2)函数f(x)=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( )(3)若函数y =f(x +a)是偶函数,则函数y =f(x)关于直线x =a 对称.( ) (4)若函数y =f(x +b)是奇函数,则函数y =f(x)关于点(b ,0)中心对称.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(教材改编)已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a]上的偶函数,那么a +b 的值是( )A .-13B .13C .12D .-12[解析] 依题意b =0,且2a =-(a -1), ∴b =0,a =13,则a +b =13.[答案] B3.(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是( ) A .f(x)=x -1 B .f(x)=x 2+x C .f(x)=2x -2-xD .f(x)=2x +2-x[解析] 对于A 、B 选项,显然f(x)为非奇非偶函数.对于选项C ,f(-x)=2-x -2x =-(2x -2-x)=-f(x),故该函数为奇函数;对于选项D ,因为f(-x)=2-x +2x =2x +2-x=f(x),故该函数为偶函数. [答案] D4.(2015·济宁质检)对于函数y =f(x),x ∈R ,“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 若y =f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ), ∴|f (-x )|=|-f (x )|=|f (x )|,y =|f (x )|为偶函数, 从而y =|f (x )|的图象关于y 轴对称.反过来,若y =|f (x )|的图象关于y 轴对称,则不能得出y =f (x )一定是奇函数,比如y =|x 2|,显然,其图象关于y 轴对称,但是y =x 2是偶函数.故“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的必要不充分条件. [答案] B5.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=________.[解析] f(8)=f(-2)=-f(2)=-2, f(14)=f(-1)=-f(1)=-1, 则f(8)-f(14)=-2-(-1)=-1. [答案] -1考向1 函数奇偶性的判断【典例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3-x 2+x 2-3;(2)f(x)=lg (1-x 2)|x -2|-2;(3)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x-x 2+xx<0,x>0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3-x 2≥0,x 2-3≥0,得x 2=3,所以x =±3,即函数f(x)的定义域为{-3,3},从而f(x)=3-x 2+x 2-3=0.因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2>0,|x -2|≠2,得定义域为(-1,0)∪(0,1).∴x -2<0,∴|x -2|-2=-x , ∴f(x)=lg (1-x 2)-x.又∵f(-x)=lg [1-(-x )2]x=-lg (1-x 2)-x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x <0时,-x >0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x 2-x =-f(x);当x >0时,-x <0,则f(-x)=(-x)2-x =x 2-x =-f(x).综上可知:对于定义域内的任意x ,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数. 【规律方法】判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:(2)图象法:【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x +1)1-x1+x; (2)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2,x >0,0,x =0,-x 2-2,x <0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1-x 1+x ≥0,1+x ≠0,得-1<x ≤1. ∵f(x)的定义域为(-1,1]不关于原点对称.∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为R ,关于原点对称,当x >0时,f (-x )=-(-x )2-2=-(x 2+2)=-f (x );当x <0时,f (-x )=(-x )2+2=-(-x 2-2)=-f (x );当x =0时,f (0)=0,也满足f (-x )=-f (x ). 故该函数为奇函数.考向2 函数奇偶性的应用(高频考点)命题视角 函数奇偶性的应用是高考命题的热点,其主要命题角度:①求函数值;②求解析式(解析式中参数的值);③解不等式.【典例2】 (1)(2014·湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .3(2)(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.[思路点拨] (1)先求f (x )+g (x ),再求f (1)+g (1). (2)先求函数f (x )在R 上的解析式,再求f (x )>x 的解集.[解析] (1)∵f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,∴f (-x )-g (-x )=-x 3+x 2+1. ∵f (x )是偶函数,g (x )是奇函数, ∴f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x ).∴f (x )+g (x )=-x 3+x 2+1. ∴f (1)+g (1)=-1+1+1=1.(2)设x <0,则-x >0,于是f (-x )=(-x )2-4(-x )=x 2+4x ,由于f (x )是R 上的奇函数,所以-f (x )=x 2+4x ,即f (x )=-x 2-4x ,且f (0)=0,于是f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0.当x >0时,由x 2-4x >x 得x >5;当x <0时,由-x 2-4x >x 得-5<x <0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).[答案] (1)C (2)(-5,0)∪(5,+∞) 【通关锦囊】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式(或解析式中参数的值)将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),或得到关于待定参数的恒等式.进而确定解析式或参数的值.(3)解不等式根据函数的奇偶性,画出函数的大致图象,然后根据图象列不等式(组)求解.在解形如f (x +1)>0的不等式时,可先求f (x )>0的解集D ,再利用x +1∈D ,求x 的范围.【变式训练2】 (1)设函数f (x )=x (e x +a e -x)(x ∈R )是偶函数,则实数a =________.(2)(2015·淄博模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上递增,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=0,则满足f (log 18x )>0的x 的取值范围是( )A .(0,+∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 [解析] (1)法一:∵函数f (x )=x (e x+a e -x),x ∈R 是偶函数,设g (x )=e x +a e -x,x ∈R ,由题意g (x )应为奇函数, 又∵x ∈R ,∴g (0)=0, 则1+a =0,所以a =-1.法二:f (-x )=-x (e -x +a e x)=f (x ).有-(e -x +a e x )=e x +a e -x ,即(1+a )(e x +e -x)=0. ∵e x +e -x≠0,∴1+a =0,即a =-1.(2)由题意知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=0,且函数f (x )在(-∞,0]上递减, 则f (log 18x )>0⇔log 18x >13或log 18x <-13.解得0<x <12或x >2.[答案] (1)-1 (2)B考向3 函数的周期性及其应用【典例3】 (1)x 为实数,[x]表示不超过x 的最大整数,则函数f(x)=x -[x]在R 上为( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .周期函数(2)(2015·潍坊质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数,g (x )是R 上的奇函数,且g (x )=f (x -1),若f (2)=2,则f (2 018)的值为________.[解析] (1)f (x )=x -[x ]=⎩⎪⎨⎪⎧…x +2,-2≤x <-1,x +1,-1≤x <0,x ,0≤x <1,x -1,1≤x <2,x -2,2≤x <3,…其图象如图所示由图象知,函数f (x )在R 上为周期函数.(2)∵g (-x )=f (-x -1),∴-g (x )=f (x +1). 又g (x )=f (x -1),∴f (x +1)=-f (x -1),∴f (x +2)=-f (x ),f (x +4)=-f (x +2)=f (x ), 则f (x )是以4为周期的周期函数, 所以f (2 018)=f (2)=2. [答案] (1)D (2)2 【规律方法】1.判断函数周期性的两个主要方法是:(1)定义法.(2)图象法. 2.判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有:(1)f (x +a )=-f (x )(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期.(2)f (x +a )=1f (x )(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期. (3)f (x +a )=-1f (x )(a ≠0),则函数f (x )必为周期函数,2|a |是它的一个周期. 【变式训练3】 已知函数f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,若对于x >0,都有f (x +2)=-1f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=log 2(x +1),试求f (-2 013)+f (2 015)的值.[解] 当x >0时,f (x +2)=-1f (x ), ∴f (x +4)=f (x ),即4是f (x )(x >0)的一个周期. ∴f (-2 013)=f (2 013)=f (1)=log 22=1,f (2 015)=f (3)=-1f (1)=-1, ∴f (-2 013)+f (2 015)=0.考向4 函数性质的综合应用【典例4】 (2015·济南模拟)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x =1对称,当x ∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2 013)+f(2 014)的值为( )A .-2B .-1C .0D .1(2)已知定义在R 上的偶函数满足:f (x +4)=f (x )+f (2),且当x ∈[0,2]时,y =f (x )单调递减,给出以下四个命题:①f (2)=0;②x =-4为函数y =f (x )图象的一条对称轴;③函数y =f (x )在[8,10]上单调递增;④若方程f (x )=m 在[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-8.以上命题中所有正确命题的序号为________. [解析] (1)∵函数f (x )为奇函数,则f (-x )=-f (x ),又函数的图象关于x =1对称,则f (2+x )=f (-x )=-f (x ),∴f (4+x )=f [(2+x )+2]=-f (x +2)=f (x ). ∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x =1对称, ∴f (0)=f (2),∴f (2 013)+f (2 014)=f (1)+f (2)=f (1)+f (0) =21-1+20-1=1. (2)令x =-2,得f (2)=f (-2)+f (2),又函数f (x )是偶函数,故f (2)=0,故①正确;根据f (2)=0可得f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )的周期是4,由于偶函数的图象关于y 轴对称,故x =-4也是函数y =f (x )的图象的一条对称轴,故②正确;根据函数的周期性可知,函数f (x )在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数f (x )的图象关于直线x =-4对称,故如果方程f (x )=m 在区间[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 22=-4,即x 1+x 2=-8,故④正确.故正确命题的序号为①②④.[答案] (1)D (2)①②④ 【规律方法】 1.解题(1)的关键是根据函数f (x )的奇偶性及关于x =1对称,得到函数的周期;题(2)由两个对称性可推出周期函数,反之,若具有周期性和一个对称性,一定还具有另一个对称。
高三理科数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性课件
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已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=-������(1������),当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=
.
2.5 【解析】由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-������(������1+2) = − -������1(1������)=f(x),故函数 f(x)的周期为 4,则
13
【变式训练】
1.判断函数 f(x)=
������ ������
2-2������ 2 + 2������
(������ ≥ (������
<0)0, )的奇偶性.
1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x>0时,-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x). 当x=0时,f(0)=0=f(-0).当x<0时,-x>0,
第三节 函数的奇偶性与周期性
1
考纲概述
考查热点
考查频 备考指导
次
(1)了解函数奇偶性的含义,并能 奇偶性的含义与
运用奇偶性的含义判断一些简单 判断
★★★★
函数的奇偶性; (2)掌握奇函数与偶函数的图象 对称关系,并能熟练地利用对称
利用周期性含义 ★★
求函数值
函数的奇偶性与周期性在高考中占有重要的地位,在命题时主要 是与函数的概念、图象、性质等综合在一起考查.题型以选择题与
性解决函数的综合问题;
函数的奇偶性、对
填空题为主,数形结合是解决此类问题的重要工具.
(3)了解函数周期性的含义,能根 称性及周期性的 ★★★★ 据函数的周期性将给定自变量转 综合应用
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 21 函数及其表示课件 理
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2021/12/8
第二十页,共五十五页。
【变式训练】 (1)函数 f(x)=1xln x2-3x+2+ -x2-3x+4的定义域为 ()
A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.(-4,0)∪(0,1) C.[-4,0)∪(0,1) D.[-4,0)∪(0,1]
解析
(1)由xx≠ 2-03,x+2>0, -x2-3x+4≥0,
解得-4≤x<0 或 0<x<1,故函数 f(x)
的定义域为[-4,0)∪(0,1)。故选 C。 答案 (1)C
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(2)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2 018],则函数 g(x)=fxx-+11的定义域是
() A.[-1,2 017]
B.[-1,1)∪(1,2 017]
答案 (1)x2-5x+9
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解法一(配凑法):因为 f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x +1)2-5(2x+1)+9,所以 f(x)=x2-5x+9。
解法二(待定系数法):因为 f(x)是二次函数,所以设 f(x)=ax2+bx+ c(a≠0),则 f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c。
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第十八页,共五十五页。
(2)已知函数 y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数 g(x)=f2xx++21的定义域 是________。
解析 (2)由题意得-8≤2x+1≤1,解得-92≤x≤0,由 x+2≠0,解得 x≠-2,故函数的定义域是-92,-2∪(-2,0]。
答案 (2)-92,-2∪(-2,0]
【课堂新坐标】(安徽专用)2015届高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8节 课后限时
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【课堂新坐标】(某某专用)2015届高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8节 课后限时自测 理一、选择题1.(2013·某某高三七校联考)下列函数中,在区间(-1,1)上存在零点且单调递增的是( )A .y =log 12xB .y =2x-1C .y =x 2-12D .y =-x 3【解析】 对于A 选项,函数在区间(-1,1)上不恒有意义且没有零点,对于C 选项,函数在区间(-1,1)上不是单调递增函数,对于D 选项,函数在区间(-1,1)上是单调递减的.故选B.【答案】 B2.(2011·某某高考)函数f (x )=x -cos x 在[0,+∞)内( ) A .没有零点 B .有且仅有一个零点 C .有且仅有两个零点 D .有无穷多个零点【解析】 令f (x )=x -cos x =0,则x =cos x ,设函数y =x 和y =cos x ,在同一坐标系下做出它们在[0,+∞)的图象,显然两函数的图象的交点有且只有一个,所以函数f (x )=x -cos x 在[0,+∞)内有且仅有一个零点.【答案】 B3.若函数f (x )的零点与g (x )=4x+2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f (x )可以是( )A .f (x )=4x -1B .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e x-1 D .f (x )=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12【解析】g (0)=-1<0,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1>0,则函数g (x )的零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12, 易知函数f (x )=4x -1的零点x =14与函数g (x )的零点之差的绝对值不超过0.25,故选A.【答案】 A4.(2013·某某模拟)已知符号函数sgn(x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则函数f (x )=sgn(ln x )-ln x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4【解析】 sgn(ln x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >1,0,x =1,-1,0<x <1,故函数f (x )=sgn(ln x )-ln x 的零点有3个,分别为e,1,1e .【答案】 C5.(2014·某某模拟)设方程log 4x -⎝ ⎛⎭⎪⎫14x=0,log 14x -⎝ ⎛⎭⎪⎫14x =0的根分别为x 1,x 2,则( )A .0<x 1x 2<1B .x 1x 2=1C .1<x 1x 2<2D .x 1x 2≥2【解析】 在同一坐标系内画出函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14x,y =log 4x ,y =log 14x 的图象,如图所示,则x 1>1>x 2>0,由log 4x 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 1,log 14x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2得log 4x 1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2<0,∴0<x 1x 2<1,故选A. 【答案】 A 二、填空题6.若函数f (x )=(m -1)x 2+2(m +1)x -1有且仅有一个零点,则实数m 的取值集合是________.【解析】 当m =1时,f (x )=4x -1,此时函数f (x )只有一个零点,当m ≠1时,要使函数f (x )有且只有一个零点,需有Δ=4(m +1)2+4(m -1)=0, 解得m =0或m =-3,因此m 的取值集合为{-3,0,1}. 【答案】 {-3,0,1}7.(2014·某某模拟)方程x lg(x +2)=1有________个不同的实数根.【解析】 由x lg(x +2)=1得,lg(x +2)=1x,在同一坐标系中,画出函数y =lg(x +2)与y =1x的图象,如图所示:由图象知,方程有两个不同的实根. 【答案】 28.(2014·某某实验中学模拟)已知函数f (x )=ax 2+4x +1在区间(-∞,1)有零点,则实数a 的取值X 围为________.【解析】 当a =0时,f (x )=4x +1,函数f (x )的零点为x =-14,符合题意,当a >0时,只需Δ=16-4a ≥0,即0<a ≤4,即可. 当a <0时,函数f (x )在(-∞,1)上一定有零点. 综上知,a ≤4. 【答案】 (-∞,4] 三、解答题9.若函数f (x )=ax 2-x -1有且仅有一个零点,某某数a 的值.【解】 (1)当a =0时,函数f (x )=-x -1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点.(2)当a ≠0时,函数f (x )=ax 2-x -1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax 2-x -1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a =0,解得a =-14.综上,当a =0或a =-14时,函数仅有一个零点.10.已知二次函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1,若a 为整数,且函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点,求a 的值.【解】 ∵f (x )=ax 2-(a +2)x +1, ∴Δ=(a +2)2-4a =a 2+4>0.∴函数f (x )=ax 2-(a +2)x +1必有两个不同的零点. 又函数f (x )在(-2,-1)上恰有一个零点, ∴f (-2)f (-1)<0, 即(6a +5)(2a +3)<0.解之,得-32<a <-56.又a ∈Z ,∴a =-1.B 组 能力提升1.(2014·某某模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2,x >m ,x 2+4x +2,x ≤m的图象与直线y =x 恰有三个公共点,则实数m 的取值X 围是( )A .(-∞,-1]B .[-1,2)C .[-1,2]D .[2,+∞)【解析】 由题意知,直线y =x 与f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )有两个交点,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =x 2+4x +2解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-2或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1,因此m ≥-1.直线y =x 与f (x )=2(x >m )有一个交点,即(2,2), 此时m <2,综上知-1≤m <2,故选B. 【答案】 B2.(2014·某某协作体模拟)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x +1,log 2x ,x ≤0,x >0,则函数y =f [f (x )]+1的所有零点所构成的集合为________.【解析】 由题意知f [f (x )]=-1,由f (x )=-1得x =-2或x =12,则函数y =f [f (x )]+1的零点就是使f (x )=-2或f (x )=12的x 值,解f (x )=-2得x =-3或x =14,解f (x )=12得x =-12或x =2,从而函数y =f [f (x )]+1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-3,-12,14,2. 【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫-3,-12,14,23.设函数f (x )=x 2+2bx +c (c <b <1)的一个零点是1,且函数g (x )=f (x )+1也有零点. (1)证明:-3<c ≤-1,且b ≥0;(2)若m 是函数g (x )的一个零点,试判断f (m -4)的正负并加以证明. 【解】 (1)证明:由f (1)=0,得b =-c +12.又c <b <1,故c <-c +12<1,∴-3<c <-13.方程f (x )+1=0有实根,即方程x 2+2bx +c +1=0有实根, 故Δ=4b 2-4(c +1)≥0,即c 2-2c -3≥0. ∴c ≥3,或c ≤-1.又-3<c <-13,所以-3<c ≤-1. 又b =-c +12,∴b ≥0.(2)∵f (x )=x 2+2bx +c =(x -c )(x -1),且m 是函数g (x )=f (x )+1的一个零点, ∴f (m )=-1<0,故c <m <1. ∴c -4<m -4<-3<c .∴f (m -4)=(m -4-c )(m -4-1)>0, 所以f (m -4)的符号为正.。
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考纲传真
指数与指数函数
1.理解有理指数幂的含义, 了解实数指数幂的
意义,掌握幂的运算 .2.了解指数函数模型的实际背景.理解 指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊 1 1 点,会画底数为 2,3,10, , 的指数函数的图象.3.体会指数函 2 3 数是一类重要的函数模型.
1.根式的性质 (1)( a)n= a . (2)当 n 为奇数时, an= a . (3)当 n 为偶数时, a n
(2)将 g(x)=f(x)-x2 的零点转化为函数 f(x)与 y=x2 图象的 交点问题, 在同一坐标系中分别作出函数 f(x)=|2x-1|和 y =x2 的图象如上图右所示,有四个交点,故 g(x)有四个零 点.
-
3 23
【例 1】
27 2 1 (2) - 8 - +(0.002)- -10( 2 3
【思路点拨】
将根式化为分数指数幂,负分数指数化
为正分数指数,底数为小数的化成分数,然后运用幂的运算 性质进行运算.
【尝试解答】
(1)原式=
3 2 1 2 1 a b a b 3 32
1 1 ab a- b 3 3
2
3 1 1 1 1 =a + -1+ b1+ -2- 2 6 3 3 3 =ab 1.
-
27 2 1 1 (2)原式=- 8 - +500- - 3 2 8 2 1 = -27 + 500 - 10( 2 3
10 +1 5-2
D 项,2lg(xy)=2lg x
+lg
y
=2lg x· 2lg y,正确.
【答案】
D
5.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取 值范围是________.
【解析】 【答案】 由题意知 0<2-a<1,解得 1<a<2. (1,2)
考向 1
指数幂的化简与求值 a b ab2 化简:(1) (a>0,b>0); 1 14 1 1 a b a- b 3 3 4 2 5-2) 1+( 2- 3)0.
1 21 = (a ) ÷ (a ) 3 2 = a÷ a=1.
27 1 251 2 (2)原式=1 000- -(7) + 9 -1 3 2
10 5 = -49+ -1 3 3 =-45.
考向 2 【例 2】
指数函数图象的应用 已知 f(x)=|2x-1|,
(1)求 f(x)的单调区间; (2)试确定函数 g(x)=f(x)-x2 零点的个数.
4 5 + 2) + 1 = + 10 5 - 10 5 - 20 9
167 +1=- . 9
规律方法 1
1.这类问题的求解,首先将根式、分数指数
幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意: (1)必 须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有 分母又含有负指数.
【思路点拨】 (1)作出 f(x)的图象,数形结合求解.
(2)在同一坐标系中分别作出函数 f(x)与 y=x2 的图 象,数形结合求解.
【尝试解答】 (1)由
x 2 -1,x≥0, x f(x)=|2 -1|= x 1 - 2 ,x<0.
可作出函数的图象如下图左.因此函数 f(x)在(-∞, 0)上递减;函数 f(x)在(0,+∞)上递增.
且 n>1); ③ 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0 ,0 的 负 分 数 指 数 幂 没有意义 .
(2)有理数指数幂的运算性质: ①ar· as= ar+s (a>0,r、s∈Q); ②(ar)s= ars (a>0,r、s∈Q); ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质 a>1 图象 0<a<1
定义域 值域 性质
R
(0,+∞)
过定点(0,1) 当 x>0 时, y>1 ;当 x<0 时,0<y<1
y>1 当 x<0 时,
1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1) -44=-4( 4 ) ) ) )
+lg
)
y
=2lg x+2lg y
+y)
=2lg x· 2lg y
lg y C.2lg x· =2lg x+2lg y
D.2lg(xy)=2lg x· 2lg y
【解析】 A 项,2lg x
+lg
y
=2lg x· 2lg y,故错误;
y) B 项,2lg x· 2lg y=2lg x+lg y=2lg(x· ≠2lg(x+y),故错误; lg y C 项,2lg x· =(2lg x)lg y,故错误;
n
n
n
a =|a|= -a
a≥0 . a<0
(4)负数的偶次方根 无意义 . (5)零的任何次方根 都等于零 .
2.有理指数幂 (1)分数指数幂: m n am ①正分数指数幂:a n = (a>0,m,n∈N*,且 n>1);
1 1 m n m m a ②负分数指数幂:a- n = n = a (a>0,m,n∈N*,
变式训练 1 (1) 3
(2014· 安徽两所名校联考)计算: 3 a
-7
9 -3 a a ÷ 2
3
a13;
1 1 -2 71 (2)(0.027)- -( ) +(2 ) -(1 7 131 a- a (1)原式=a2a-2 ÷ 3 3 2 3
【解析】
【答案】
[(-2)6] -(-1)0=(26) -1=8-1=7.
B
3.化简 16x8y4(x<0,y<0)得( A.2x2y
【解析】
4
)
B.2xy
4
8 4
C.4x2y
4
D.-2x2y
16x y = 24x24y4=2x2|y|=-2x2y.
【答案】
D
4.(2013· 浙江高考)已知 x,y 为正实数,则( A.2lg x B.2lg(x
2 1 (2)(-1) =(-1) = -1( 4 2 (3)函数 y=2x-1 是指数函数(
(4)函数 y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞)(
【答案】
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(人教 A 版教材习题改编)化简[(-2)6] -(-1)0 的结果 为( ) A.-9 B.7 C.-10 D.9