大二轮数学专题教师用书word
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高中数学题分客观题与主观题两大类,而客观题分为选择题与填空题,选择题属于“小灵通”题,其解题过程“不讲道理”,所以解答选择题的基本策略是:充分地利用题干和选项两方面的条件所提供的信息作出判断,先定性后定量,先特殊后推理,先间接后直接,先排除后求解.而填空题是不要求写出计算或推理过程,只需要将结论直接写出的“求解题”.解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等.,技法一直接法
女生入选,则不同的选法共有________种;(用数字填写答案)
(2)(2018·北京卷)若双曲线x2
a2-y2
4=1(a>0)的离心率为
5
2,则a=________.
解析:(1)按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有C12C24种,有2位女生参加有C22C14种.故共有C12C24+C22C14=2×6+4=16(种).
(2)由e=c
a=a2+b2
a2知
a2+4
a2=⎝
⎛
⎭
⎫5
2
2=5
4,
∴a2=16.
∵a>0,∴a=4.
答案:(1)16(2)4
[方法点津]直接法解决计算型客观题的关键
(1)要根据题目的要求准确转化为相关基本量的运算.
(2)注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果.
◎变式训练
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为() A.1 B.2
C.4 D.8
解析:法一:设公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24,S6=6a1+6×5
2×d
=6a 1+15d =48.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+7d =24,6a 1+15d =48.解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=-2,
d =4.
法二:因为S 6=6(a 1+a 6)
2=3(a 3+a 4)=48,即a 3+a 4=16,则(a 4+a 5)-(a 3+a 4)=24-16
=8,即a 5-a 3=2d =8,可得d =4.
答案: C
2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为315,b -c =2,cos A =-1
4
,则a 的值为________.
解析: 在△ABC 中,由cos A =-14可得sin A =15
4
,
所以有⎩⎪⎨⎪
⎧ 12bc ×15
4
=315,b -c =2,
a 2
=b 2
+c 2
-2bc ×⎝⎛⎭
⎫-14,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a =8,
b =6,
c =4.
答案: 8 技法二 排除法
(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )=e x 2
的图象大致为( )
(2)(2016·浙江卷)已知实数a ,b ,c ,( ) A .若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100 B .若|a 2+b +c |+|a 2+b -c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100 C .若|a +b +c 2|+|a +b -c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 D .若|a 2+b +c |+|a +b 2-c |≤1,则a 2+b 2+c 2<100 解析: (1)∵y =e x -e -x 是奇函数,y =x 2是偶函数, ∴f (x )=e x -e -x x 2是奇函数,图象关于原点对称,排除A 选项.
当x =1时,f (1)=e -e -11=e -1
e
>0,排除D 选项.
又e>2,∴1e <12,∴e -1
e >1,排除C 选项.
故选B.
(2)取a =10,b =10,c =-110,可排除选项A ;取a =10,b =-100,c =0,可排除选项B ;取a =10,b =-10,c =0,可排除选项C.
答案: (1)B (2)D
[方法点津] 排除法的使用技巧
(1)当题目中的条件不唯一时,先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定. (2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾,这样逐步排除,直至得到正确的选择. ◎ 变式训练
3.方程ax 2+2x +1=0至少有一个负根的充要条件是( ) A .0<a ≤1 B .a <1
C .a ≤1
D .0<a ≤1或a <0
解析: 当a =0时,x =-1
2,故排除A 、D.
当a =1时,x =-1,排除B. 答案: C
4.已知a ,b 为实数,且a ≠b ,a <0,则( ) A .a >2b -b 2
a
B .a <2b -b 2
a
C .a ≥2b -b 2
a
D .a ≤2b -b 2
a
解析: 法一:a =-1,b =1,则2b -b 2
a
=2+1=3,
法二:因为a ,b 为实数,且a ≠b ,a <0,所以a -⎝⎛⎭⎫2b -b 2a =(a -b )2a <0,所以a <2b -b 2a
.
答案: B 技法三 特例法
111
C 三点的截面把
棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) A .3∶1 B .2∶1 C .4∶1
D.3∶1
(2)已知双曲线E :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的
中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是________.
解析: (1)将P ,Q 置于特殊位置:P →A 1,Q →B ,此时仍满足条件A 1P =BQ (=0),则有VC -AA 1B =VA 1-ABC =VABC -A 1B 1C 1
3,故过P ,Q ,C 三点的截面把棱柱分成的两部分
的体积之比为2∶1.
(2)如图,不妨设|AB |=3,则|BC |=2,双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,则AB 的中点为F 1,故|DF 1|=52,|DF 2|=3
2,根据双曲线的定义知2a =1,又2c =2,所以该双曲线的离心
率为2c
2a
=2.
答案: (1)B (2)2
[方法点津] 特值法解选择题注意两点
第一,取特例尽可能简单,有利于计算和推理;
第二,若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符,则应选另一特例情况再检验,或改用其他方法求解.
◎ 变式训练
5.计算tan ⎝⎛⎭
⎫π
4+αcos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4-α=( )
A .-2
B .2
C .-1
D .1
解析: 取α=π
12,则原式=tan ⎝⎛⎭⎫π4+π12cos π62cos 2⎝⎛⎭⎫π4-π12=3×3
22×34=1.
答案: D
6.如图所示,在▱ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为点P ,且AP =3,则AP →·AC →
=________.
解析: 把▱ABCD 看成正方形,则点P 为对角线的交点,AC =6,则AP →·AC →
=18. 答案: 18
技法四 图解法(数形结合法)
有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( )
A .(0,1]∪[23,+∞)
B .(0,1]∪[3,+∞)
C .(0,2]∪[23,+∞)
D .(0,2]∪[3,+∞)
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
2-
x
,x ≤0,
1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是
( )
A .(-∞,-1]
B .(0,+∞)
C .(-1,0)
D .(-∞,0)
解析:
(1)①当0<m ≤1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y =(mx -1)2与y =x +m 的图象,如图.
易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点;
②当m >1时,在同一平面直角坐标系中作出函数y =(mx -1)2与y =x +m 的图象,如图.
要满足题意,则(m -1)2≥1+m ,解得m ≥3或m ≤0(舍去), ∴m ≥3.
综上,正实数m 的取值范围为(0,1]
∪[3,+∞).
(2)∵f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
2-
x
,x ≤0,
1,x >0,
∴函数f (x )的图象如图所示. 由图可知,当x +1≤0且2x ≤0时, 函数f (x )为减函数,故
f (x +1)<f (2x )转化为x +1>2x . 此时x ≤-1.
当2x <0且x +1>0时,f (2x )>1,f (x +1)=1, 满足f (x +1)<f (2x ). 此时-1<x <0.
综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,-1]∪(-1,0)=(-∞,0). 故选D.
答案: (1)B (2)D
[方法点津] 平面几何图形、Venn 图、三角函数线、函数的图象等,都是常用的图形.利用函数图象或某些数学知识的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来,利用图象的直观性,再辅以简单计算,确定正确答案,从而有效地降低这类客观题的错误率.
◎ 变式训练
7.若两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=2|a |,则向量a +b 与a -b 的夹角是( ) A.π6 B .π3
C.2π3
D .5π6
解析: 在直角三角形中,如果直角边为斜边的一半,则该直角边所对的角为π
6,如图,
所求的夹角为2π
3
,故选C.
答案: C
8.不等式⎝⎛⎭⎫|x |-π2·sin x <0,x ∈[-π,2π]的解集为________. 解析: 在同一坐标系中分别作出y =|x |-π
2与y =sin x 的图象:
根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫-π,-π2∪⎝⎛⎭⎫0,π
2∪(π,2π). 答案: ⎝⎛⎭⎫-π,-π2∪⎝⎛⎭⎫0,π
2∪(π,2π) 技法五 构造法
(1)已知m ,n ∈(2,e),且1n 2-1m 2<ln m
n ,则( )
A .m >n
B .m <n
C .m >2+1
n
D .m ,n 的大小关系不确定
(2)点P 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1内任意一点,AP 与棱AA 1,AB ,AD 的夹角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=________.
解析: (1)由不等式可得1n 2-1
m 2<ln m -ln n ,
即1n 2+ln n <1
m 2+ln m . 设f (x )=1
x
2+ln x (x ∈(2,e)),
则f ′(x )=-2x 3+1x =x 2
-2
x
3.
因为x ∈(2,e),所以f ′(x )>0,故函数f (x )在(2,e)上单调递增. 因为f (n )<f (m ),所以n <m .故选A.
(2)如图,过点P 作平面PQQ ′P ′与平面PRR ′P ′,使它们分别与平面B 1C 1CB 和平面C 1D 1DC 平行,则构成一个长方体AQ ′P ′R ′-A 1QPR ,故cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.
答案: (1)A (2)1
[方法点津] 破解此类题的关键:一是“取特殊模型”,即构造长方体或正方体模型,把不规则的空间几何体(空间线、面)放置其中去研究;二是“用公式(用定理)”,即利用柱体、锥体的表面积与体积公式(空间线、面平行与垂直的判定定理、性质定理),即可求其表面积与体积(判断空间线、面平行与垂直关系).
◎ 变式训练
9.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5
=________.
解析: ∵a n +1=2S n +1, ∴S n +1-S n =2S n +1,
∴S n +1=3S n +1,∴S n +1+1
2=3⎝⎛⎭⎫S n +12, ∴数列⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫S n +12是公比为3的等比数列,
∴S 2+
12S 1+
12
=3.
又S 2=4,∴S 1=1,∴a 1=1,
∴S 5+12=⎝⎛⎭⎫S 1+12×34=32×34=243
2,∴S 5=121. 答案: 1 121
10.如图,已知球O 的球面上有四点A ,B ,C ,D ,DA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,DA =AB =BC =2,则球O 的体积等于________.
解析: 如图,以DA ,AB ,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O 的半径为R ,则正方体的体对角线
长即为球O 的直径,所以|CD |=(2)2+(2)2+(2)2=2R ,所以R =
6
2
,故球O 的体积V =4πR 3
3
=6π.
答案:
6π
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明
第1课时 集合与常用逻辑用语
高考对本部分考查主要从以下方面进行:
(1)对于集合,历年的高考以考查运算为主,往往与映射、函数、不等式、方程等知识融合在一起,体现出集合运算的工具性作用.
(2)对于常用逻辑用语的考查,主要有两个命题重点,一是以其他数学知识为载体,考查充分条件、必要条件;二是利用命题的真假来确定参数.
题型一 集合的概念及运算 集合的运算性质及重要结论
(1)A ∪A =A ,A ∪∅=A ,A ∪B =B ∪A . (2)A ∩A =A ,A ∩∅=∅,A ∩B =B ∩A . (3)A ∩(∁U A )=∅,A ∪(∁U A )=U . (4)A ∩B =A ⇔A ⊆B ,A ∪B =A ⇔B ⊆A .
1.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()
A.9 B.8
C.5 D.4
解析:将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.
故选A.
答案: A
2.(2018·天津卷)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=() A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}
C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}
解析:全集为R,B={x|x≥1},则∁R B={x|x<1}.
∵集合A={x|0<x<2},∴A∩(∁R B)={x|0<x<1}.
故选B.
答案: B
3.(2018·惠州市第二次调研)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()
A.a<1 B.a≤1
C.a>2 D.a≥2
解析:集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},由A∩B=B可得B⊆A,所以a≥2.故选D.
答案: D
1.集合运算中的常用方法
(1)数轴法:若已知的集合是不等式的解集,用数轴法求解.
(2)图象法:若已知的集合是点集,用图象法求解.
(3)Venn图法:若已知的集合是抽象集合,用Venn图法求解.
2.[警示]忽视空集的讨论,若遇到A⊆B,A∩B=A时,要考虑A为空集的可能性.题型二命题真假的判断与否定
1.四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 2.全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p :∀x ∈M ,p (x ).它的否定綈p :∃x 0∈M ,綈p (x 0). (2)特称命题p :∃x 0∈M ,p (x 0).它的否定綈p :∀x ∈M ,綈p (x ). 1.下列命题中为真命题的是( )
A .命题p :∃n ∈N ,n 2>2n ,则綈p 为∀n ∈N ,n 2>2n
B .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题
C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题
D .命题“若tan x =3,则x =π
3
”的逆否命题
解析: 对于选项A ,p 的綈p 为∀n ∈N ,n 2≤2n ,故选项A 为假命题;对于选项B ,命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,分析可知选项B 为真命题;对于选项C ,命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,易知当x =-2时,x 2+x -2=0,故选项C 为假命题;对于选项D ,命题“若tan x =3,则x =π
3”
的逆否命题为“若x ≠π3,则tan x ≠3”,易知当x =4π
3时,tan x =3,故选项D 为假命题.综
上可知,选B.
答案: B
2.(2018·太原市模拟试题(一))已知命题p :∃x 0∈R ,x 20-x 0+1≥0;命题q :若a <b ,则1a >1
b
,则下列为真命题的是( ) A .p ∧q B .p ∧綈q C .綈p ∧q
D .綈p ∧綈q
解析: 对于命题p ,当x 0=0时,1≥0成立,所以命题p 为真命题,命题綈p 为假命题;对于命题q ,当a =-1,b =1时,1a <1
b ,所以命题q 为假命题,命题綈q 为真命题,所
以p ∧綈q 为真命题,故选B.
答案: B
3.(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析: 设f (x )=sin x ,则f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数,在⎣⎡⎦⎤π
2,2上是减函数.由正弦函数图象的对称性知,当x ∈(0,2]时,f (x )>f (0)=sin 0=0,故f (x )=sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数.
答案: f (x )=sin x ,x ∈[0,2](答案不唯一) 1.含逻辑联结词的命题真假的等价关系 (1)p ∨q 真⇔p ,q 至少一个真⇔(綈p )∧(綈q )假. (2)p ∨q 假⇔p ,q 均假⇔(綈p )∧(綈q )真. (3)p ∧q 真⇔p ,q 均真⇔(綈p )∨(綈q )假. (4)p ∧q 假⇔p ,q 至少一个假⇔(綈p )∨(綈q )真. (5)綈p 真⇔p 假;綈p 假⇔p 真.
2.[警示] “否命题”是对原命题“若p ,则q ”既否定其条件,又否定其结论;而“命题p 的否定”即:非p ,只是否定命题p 的结论.
题型三 充要条件的判断
若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若p ⇔q ,则p ,q 互为充要条件. 1.(2018·天津卷)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x -12<1
2”是“x 3<1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析: 由“⎪⎪⎪⎪x -12<12”得0<x <1,则0<x 3<1,即“⎪⎪⎪⎪x -12<1
2”⇒“x 3<1”;由“x 3<1”得x <1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x -12≥1
2,即“x 3<1”⇒/ “⎪⎪⎪⎪x -12<12”.所以“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件.
答案: A
2.(2018·北京卷)设a ,b 均为单位向量,则“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
解析: 由|a -3b |=|3a +b |,得(a -3b )2=(3a +b )2, 即a 2+9b 2-6a·b =9a 2+b 2+6a·b . 又a ,b 均为单位向量,所以a 2=b 2=1,
所以a·b=0,能推出a⊥b.
由a⊥b得|a-3b|=10,|3a+b|=10,
能推出|a-3b|=|3a+b|,
所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.
故选C.
答案: C
3.甲:x≠2或y≠3;乙:x+y≠5,则()
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
解析:“甲⇒乙”,即“x≠2或y≠3”⇒“x+y≠5”,其逆否命题为:“x+y=5”⇒“x=2且y=3”显然不正确.同理,可判断命题“乙⇒甲”为真命题.所以甲是乙的必要不充分条件.
答案: B
1.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法:正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).
(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
2.[警示]“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B 的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
【课时作业】
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=()
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}
D .{x |x ≤-1}∪{x |x ≥2}
解析: ∵x 2-x -2>0,∴(x -2)(x +1)>0,∴x >2或x <-1,即A ={x |x >2或x <-1}.在数轴上表示出集合A ,如图所示.
由图可得∁R A ={}
x |-1≤x ≤2. 故选B. 答案: B
2.(2018·天津卷)设集合A ={1,2,3,4},B ={-1,0,2,3},C ={x ∈R |-1≤x <2},则(A ∪B )∩C =( )
A .{-1,1}
B .{0,1}
C .{-1,0,1}
D .{2,3,4}
解析: ∵A ={1,2,3,4},B ={-1,0,2,3}, ∴A ∪B ={-1,0,1,2,3,4}. 又C ={x ∈R |-1≤x <2}, ∴(A ∪B )∩C ={-1,0,1}. 答案: C
3.(2018·安徽皖南八校3月联考)已知集合A ={(x ,y )|x 2=4y },B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 的真子集个数为( )
A .1
B .3
C .5
D .7
解析: 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
=4y ,y =x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧
x =4,
y =4,
即A ∩B ={(0,0),(4,4)},∴A ∩B 的真子
集个数为22-1=3.故选B.
答案: B
4.已知f (x )=3sin x -πx ,命题p :∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,f (x )<0,则( ) A .p 是假命题,綈p :∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,f (x )≥0 B .p 是假命题,綈p :∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,f (x 0)≥0 C .p 是真命题,綈p :∃x 0∈⎝⎛⎭
⎫0,π
2,f (x 0)≥0
D .p 是真命题,綈p :∀x ∈⎝⎛⎭
⎫0,π
2,f (x )>0 解析: 因为f ′(x )=3cos x -π,所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π
2时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,f (x )<f (0)=0恒成立,所以p 是真命题.又全称命题的否定是特称命题,所以綈p :∃x 0∈⎝⎛⎭
⎫0,π
2,f (x 0)≥0. 答案: C
5.(2018·北京卷)设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad =bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
解析: a ,b ,c ,d 是非零实数,若a <0,d <0,b >0,c >0,且ad =bc ,则a ,b ,c ,d 不成等比数列(可以假设a =-2,d =-3,b =2,c =3).若a ,b ,c ,d 成等比数列,则由等比数列的性质可知ad =bc .所以“ad =bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的必要而不充分条件.
故选B. 答案: B
6.(2018·洛阳市第一统考)设全集U =R ,集合A ={x |log 2x ≤1},B ={x |x 2+x -2≥0},则A ∩∁U B =( )
A .(0,1]
B .(-2,2]
C .(0,1)
D .[-2,2]
解析: 不等式log 2x ≤1即log 2x ≤log 22,由y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增,得不等式的解集为(0,2],即A =(0,2].由x 2+x -2≥0,得(x +2)(x -1)≥0,得B ={x |x ≤-2或x ≥1},所以∁U B =(-2,1),从而A ∩∁U B =(0,1).故选C.
答案: C
7.设全集U 是自然数集N ,集合A ={x |x 2>9,x ∈N },B ={0,2,4},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A .{x |x >2,x ∈N }
B .{x |x ≤2,x ∈N }
C .{0,2}
D .{1,2}
解析: 由题图可知,图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A ),∁U A ={x |x 2≤9,x ∈N }
={x |-3≤x ≤3,x ∈N }={0,1,2,3},因为B ={0,2,4},所以B ∩(∁U A )={0,2}.
答案: C
8.下列结论错误的是( )
A .命题“若x 2-3x -4=0,则x =4”的逆否命题为“若x ≠4,则x 2-3x -4≠0”
B .命题“x =4”是“x 2-3x -4=0”的充分条件
C .命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆命题为真命题
D .命题“若m 2+n 2=0,则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0,则m ≠0或n ≠0” 解析: C 项命题的逆命题为“若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0”.若方程有实根,则Δ=1+4m ≥0,即m ≥-1
4
,不能推出m >0.所以不是真命题,故选C.
答案: C
9.(2018·陕西省质量检测(一))已知命题p :对任意的x ∈R ,总有2x >0;q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A .p ∧q
B .綈p ∧綈q
C .綈p ∧q
D .p ∧綈q
解析: 由指数函数的性质知命题p 为真命题.易知x >1是x >2的必要不充分条件,所以命题q 是假命题.由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题,故选D.
答案: D
10.(2018·辽宁省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20+(a -2)x 0+14≤0”是假命题,则实数a 的取值范围为( )
A .(-∞,0)
B .[0,4]
C .[4,+∞)
D .(0,4)
解析: 因为命题“∃x 0∈R,4x 20+(a -2)x 0+14≤0”是假命题,所以其否定“∀x ∈R,4x 2+(a -2)x +14>0”是真命题,则Δ=(a -2)2-4×4×1
4
=a 2-4a <0,解得0<a <4,故选D.
答案: D
11.(2018·山东泰安3月联考)下列命题正确的是( )
A .命题“∃x 0∈[0,1],使x 20-1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1],都有x 2
-1≤0”
B .若命题p 为假命题,命题q 是真命题,则(綈p )∨(綈q )为假命题
C .命题“若a 与b 的夹角为锐角,则a·b >0”及它的逆命题均为真命题
D .命题“若x 2+x =0,则x =0或x =-1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠-1,则x 2+
x ≠0”
解析: 对于选项A ,命题“∃x 0∈[0,1],使x 20-1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1],都有x
2
-1<0”,故A 项错误;对于选项B ,p 为假命题,则綈p 为真命题,q 为真命题,则綈q 为假命题,所以(綈p )∨(綈q )为真命题,故B 项错误;对于选项C ,原命题为真命题,若a·b >0,则a 与b 的夹角可能为锐角或零角,所以原命题的逆命题为假命题,故C 项错误;对于选项D ,命题“若x 2+x =0,则x =0或x =-1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠-1,则x 2+x ≠0”,故选项D 正确.因此选D.
答案: D
12.(2018·广东汕头一模)已知命题p :关于x 的方程x 2+ax +1=0没有实根;命题q :∀x >0,2x -a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题,则实数a 的取值范围是( )
A .(-∞,-2)∪(1,+∞)
B .(-2,1]
C .(1,2)
D .(1,+∞)
解析: 方程x 2+ax +1=0无实根等价于Δ=a 2-4<0,即-2<a <2.∀x >0,2x -a >0等价于a <2x 在(0,+∞)上恒成立,即a ≤1.
因“綈p ”是假命题,则p 是真命题,又因“p ∧q ”是假命题,则q 是假命题,∴
⎩⎪⎨⎪⎧
-2<a <2,a >1,
得1<a <2,所以实数a 的取值范围是(1,2),故选C. 答案: C
13.设命题p :∀a >0,a ≠1,函数f (x )=a x -x -a 有零点,则綈p :____________________. 解析: 全称命题的否定为特称命题,綈p :∃a 0>0,a 0≠1,函数f (x )=a x 0-x -a 0没有零点.
答案: ∃a 0>0,a 0≠1,函数f (x )=a x 0-x -a 0没有零点
14.若⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫sin π2,a ,b a =⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
cos π2,a 2,a +b ,则a 2 017+b 2 017的值为________.
解析: 因为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫sin π2,a ,b a =⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫cos π2,a 2,a +b ,所以⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫1,a ,b a ={0,a 2,a +b },所
以⎩⎪⎨⎪⎧ b a =0,a 2=1或⎩⎪⎨⎪⎧
b a =0,a +b =1,
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =0或⎩⎪⎨⎪⎧
a =1,
b =0(舍去),则a 2 017+b 2 017=-1.
答案: -1
15.设全集U ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },集合M =⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ,y )⎪⎪
⎪
y -3x -2=1
,P ={(x ,y )|y ≠x +1},则∁U (M ∪P )=________.
解析: 集合M ={(x ,y )|y =x +1,且x ≠2,y ≠3}, 所以M ∪P ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R ,且x ≠2,y ≠3}. 则∁U (M ∪P )={(2,3)}. 答案: {(2,3)}
16.a ,b ,c 为三个人,命题A :“如果b 的年龄不是最大,那么a 的年龄最小”和命题B :“如果c 不是年龄最小,那么a 的年龄最大”都是真命题,则a ,b ,c 的年龄由小到大依次是________.
解析: 显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它们的逆否命题来看.由命题A 可知,当b 不是最大时,则a 是最小,所以c 最大,即c >b >a ;而它的逆否命题也为真,即“若a 的年龄不是最小,则b 的年龄是最大”为真,即b >a >c .
同理,由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .
故由A 与B 均为真可知b >a >c ,所以a ,b ,c 三人的年龄大小顺序是:b 最大,a 次之,c 最小.
答案: c ,a ,b
第2课时 不等式
高考对本部分考查主要从以下方面进行:
(1)对于解不等式,主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式,并且以一元二次不等式为主.不等式的解法是基本功,它渗透在很多题型中.
(2)对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数,此类题型有时需要借助一个实际背景.其中以考查线性目标函数的最值为重点,常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解.
(3)对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验,在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式.
题型一 不等式的解法 1.一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax 2+bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.
2.简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )
>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0); (2)f (x )g (x )
≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 1.如果关于x 的不等式x 2<ax +b 的解集是{x |1<x <3},那么b a 等于( ) A .-81 B .81 C .-64
D .64
解析: 因为不等式x 2<ax +b 可化为x 2-ax -b <0,其解集是{x |1<x <3},所以x =1和x =3是关于x 的一元二次方程x 2-ax -b =0的两个实数根,所以由一元二次方程根与系数的
关系,得⎩⎪⎨⎪⎧ 1+3=a ,1×3=-b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a =4,
b =-3.
所以b a =(-3)4=81.故选B.
答案: B
2.若集合A ={x |x -x 2>0},B ={x |(x +1)(m -x )>0},则“m >1”是“A ∩B ≠∅”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析: A ={x |x -x 2>0}=(0,1),B ={x |(x +1)(m -x )>0}={x |(x +1)(x -m )<0}.当m >1时,B =(-1,m ),此时A ⊆B ,必有A ∩B ≠∅.当A ∩B ≠∅时,有m >0.所以“m >1”是“A ∩B ≠∅”的充分而不必要条件.故选A.
答案: A
3.不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0的解集为R ,则实数a 的取值范围是________. 解析: 当a =2时,不等式化为-4<0,恒成立;当a ≠2时,由条件知
⎩⎪⎨⎪⎧
a -2<0
Δ=4(a -2)2
+16(a -2)<0
,解得-2<a <2.综上所述,a 的取值范围是(-2,2].
答案: (-2,2]
4.(2018·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-2x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.
解析: 设x <0,则-x >0,
因为f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-(x 2+2x ).
又f (0)=0,
于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,x 2-2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧
x <0,
-x 2-2x >x ,
解得x >3或-3<x <0.
故不等式的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 答案: (-3,0)∪(3,+∞) 1.不等式的求解技巧
(1)求解一元二次不等式的步骤:第一步,二次项系数化为正数;第二步,解对应的一元二次方程;第三步,若有两个不相等的实根,则利用“大于在两边,小于夹中间”得不等式的解集.
(2)含指数、对数的不等式:利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解. (3)有函数背景的不等式:灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与图象求解. 2.[警示] 解形如一元二次不等式ax 2+bx +c >0时,易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解,要注意分a >0,a <0进行讨论.
题型二 简单的线性规划问题 1.平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集.
2.线性目标函数z =ax +by 最值的确定方法
线性目标函数z =ax +by 中的z 不是直线ax +by =z 在y 轴上的截距,把目标函数化为y =-a b x +z b ,可知z
b 是直线ax +by =z 在y 轴上的截距,要根据b 的符号确定目标函数在什么
情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.
1.(2018·天津卷)设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x +y ≤5,
2x -y ≤4,
-x +y ≤1,
y ≥0,则目标函数z =3x +5y 的最
大值为( )
A .6
B .19
C .21
D .
45
解析: 画出可行域如图中阴影部分所示,由z =3x +5y 得y =-35x +z
5
.
设直线l 0为y =-35x ,平移直线l 0,当直线y =-35x +z
5过点P (2,3)时,z 取得最大值,z max
=3×2+5×3=21.
答案: C
2.(2018·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x -y +2≥0,x +2y +2≥0,x ≤1,
则z =⎝⎛⎭
⎫
12x -2y
的最大值是( ) A.1
32 B .116
C .32
D .64
解析: 法一:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分
所示,设u =x -2y ,由图知,当u =x -2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min =1-2×3=-5,此时z =⎝⎛⎭⎫12x -2y 取得最大值,即z max
=⎝⎛⎭⎫12-5
=32,故选C.
法二:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易知z =⎝⎛⎭⎫12x -2y
的最大值在区域的顶点处取得,只需求出顶点A ,B ,C 的坐标分别代入z =⎝⎛⎭⎫12x -2y
,
即可求得最大值.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,x -y +2=0,解得A (1,3),代入可得z =32;联立得⎩⎪⎨⎪⎧
x =1,x +2y +2=0,解得B ⎝
⎛⎭⎫1,-3
2,代入可得z =1
16
;联立得⎩⎪⎨⎪⎧
x -y +2=0,x +2y +2=0,
解得C (-2,0),代入可得z =4.通过比较可知,在
点A (1,3)处,z =⎝⎛⎭
⎫12x -2y
取得最大值32,故选C. 答案: C
3.(2018·广东肇庆二模)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x -y ≥0,y ≥x ,y ≥-x +b ,若z =2x +y 的最小
值为3,则实数b =( )
A.94 B .32
C .1
D .34
解析: 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分所示. 由z =2x +y 得y =-2x +z , 平移直线y =-2x ,
由图可知当直线y =-2x +z 经过点A 时,直线y =-2x +z 的截距最小,此时z 最小,为3,即2x +y =3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x +y =3,
y =2x ,解得⎩⎨⎧
x =3
4,y =32,
即A ⎝⎛⎭⎫34,32,又点A 也在直线y =-x +b 上,即32=-3
4
+b ,∴b =9
4
.
故选A. 答案: A
4.(2018·石家庄市质量检测(二))设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x -3≤0,x +y ≥3,
y -2≤0则y +1
x
的最大
值为________.
解析: 作出可行域,如图中阴影部分所示,而y +1
x 表示区域内的动点(x ,y )与定点(0,
-1)连线的斜率的取值范围,由图可知,当直线过点C (1,2)时,斜率最大,为2-(-1)
1-0
=3.
答案: 3
5.(2018·合肥市第一次教学质量检测)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ,B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时;生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A ,B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为________千元.
解析: 设生产甲产品x 件,生产乙产品y 件,利润为z 千元,则⎩⎪⎨⎪
⎧
2x +3y ≤480,6x +y ≤960,
x ,y ∈N *
,
z
=2x +y ,作出⎩⎪⎨⎪
⎧
2x +3y ≤480,
6x +y ≤960,
x >0,y >0
的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x +y =0,平移
该直线,当直线经过直线2x +3y =480与直线6x +y =960的交点(150,60)时,z 取得最大值,为360.
答案: 360
1.线性规划中的参数问题及其求解思路
(1)线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.
(2)求解策略:解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求最优解,从而确定参数的值.
2.[警示] 解决线性规划问题应把握三点
(1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界.
(3)对目标函数z =Ax +By 中B 的符号,一定要注意B 的正负与z 的最值的对应,要结合图形分析.
题型三 基本不等式 基本不等式:a +b
2
≥ab
(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号.
(3)应用:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.
1.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1
lg x
≥2 B .当x >0时,x +
1
x
≥2 C .当x ≥2时,x +1
x 的最小值为2
D .当0<x ≤2时,x -1
x
无最大值
解析: 由基本不等式的三个前提条件“一正、二定、三相等”来判断,A 中不能保证lg x 为正;C 中取等的条件不具备;D 中无法用基本不等式,x -1
x 是单调增函数,有最大值,
故选B.
答案: B
2.(2018·河南洛阳一模)若实数a ,b 满足1a +2
b =ab ,则ab 的最小值为________.
解析: 依题意知a >0,b >0,则1a +2
b
≥2
2ab =22ab
,当且仅当1a =2b ,即b =2a 时,“=”成立.因为1a +2b =ab ,所以ab ≥22
ab
,即ab ≥22,所以ab 的最小值为2 2.
答案: 2 2
3.设x >0,则函数y =x +22x +1-3
2的最小值是________.
解析: y =x +
2
2x +1-32=⎝⎛⎭⎫x +12+1x +12-2≥2-2=0.当且仅当x +12=1x +
12,即x =12时等号成立.
答案: 0
4.(2018·天津卷)已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +1
8b 的最小值为________.
解析: ∵a -3b +6=0,∴a -3b =-6,∴2a +1
8b =2a +2-3b ≥2
2a ·2-3b =2
2a -3b =
2
2-6=2×2-3=1
4
,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a =-3b ,a -3b +6=0时等号成立,即⎩⎪⎨⎪⎧
a =-3,
b =1
时取到等号. 答案: 1
4
1.利用不等式求最值的解题技巧
(1)凑项:通过调整项的符号,配凑项的系数,使其积或和为定值.
(2)凑系数:若无法直接运用基本不等式求解,通过凑系数后可得到和或积为定值,从而可利用基本不等式求最值.
(3)换元:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值.
2.[警示] 利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可.
【课时作业】
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
1.已知集合M ={x |x 2-4x >0},N ={x |m <x <8},若M ∩N ={x |6<x <n },则m +n =( ) A .10 B .12 C .14
D .16
解析: M ={x |x 2-4x >0}={x |x >4或x <0},N ={x |m <x <8},由于M ∩N ={x |6<x <n },∴m =6,n =8,∴m +n =14,故选C.
答案: C
2.若a <b <0,则下列不等式错误的是( ) A.1a >1b B .1a -b >1a
C .|a |>|b |
D .a 2>b 2
解析: 因为a <b <0,所以1a >1
b ,故A 对.
因为a <b <0,所以0<-b ,a <a -b <0, 所以1a >1a -b
,故B 错.
因为a <b <0,所以-a >-b >0,即|-a |>|-b |, 所以|a |>|b |,故C 对. 因为a <b <0,所以-a >-b >0, 所以(-a )2>(-b )2,即a 2>b 2,故D 对. 答案: B
3.已知a ∈R ,不等式x -3
x +a ≥1的解集为p ,且-2∉p ,则a 的取值范围为( )
A .(-3,+∞)
B .(-3,2)
C .(-∞,2)∪(3,+∞)
D .(-∞,-3)∪[2,+∞)
解析: ∵-2∉p ,∴-2-3
-2+a <1或-2+a =0,解得a ≥2或a <-3.
答案: D
4.(2018·北京卷)设集合A ={(x ,y )|x -y ≥1,ax +y >4,x -ay ≤2},则( ) A .对任意实数a ,(2,1)∈A B .对任意实数a ,(2,1)∉A C .当且仅当a <0时,(2,1)∉A D .当且仅当a ≤3
2
时,(2,1)∉A
解析: 若点(2,1)∈A ,则不等式x -y ≥1显然成立,且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧
2a +1>4,
2-a ≤2,
即
⎩
⎪⎨⎪⎧
a >32,a ≥0,解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32,其等价命题为a ≤3
2
⇒点(2,1)∉A 成立.
故选D. 答案: D
5.(2018·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax -b <0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(ax +b )(x -3)>0的解集是( )
A .(-∞,-1)∪(3,+∞)
B .(1,3)
C .(-1,3)
D .(-∞,1)∪(3,+∞)
解析: 关于x 的不等式ax -b <0的解集是(1,+∞),即不等式ax <b 的解集是(1,+∞),∴a =b <0,∴不等式(ax +b )(x -3)>0可化为(x +1)(x -3)<0,解得-1<x <3,∴所求解集是(-1,3).故选C.
答案: C
6.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x -y -4≤0,-2≤x <2,
y ≤1,若z =2x -y ,则z 的取值范围是( )
A .[-5,6)
B .[-5,6]
C .(2,9)
D .[-5,9]
解析: 作出可行域如图中阴影部分所示,由z =2x -y ,得y =2x -z ,作出直线y =2x ,并平移,可知当该直线经过点A (-2,1)时,z 取得最小值,z min =2×(-2)-1=-5,当该直线经过点B (2,-2)时,z =2×2+2=6,由于点B 不在可行域内,故选A.
答案: A
7.在平面直角坐标系中,若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x +y -1≥0,x -1≤0,
ax -y +1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的
面积等于2,则a 的值为( )
A .-5
B .1
C .2
D .3
解析: 如图,阴影部分即为满足x -1≤0与x +y -1≥0的区域,而ax -y +1=0的直线恒过点(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,当a =-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a =1时,面积是1;a =2时,面积是3
2
;当a =3时,面积恰好为2,故选D.
答案: D
8.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A .80元
B .120元
C .160元
D .240元
解析: 设底面矩形的一条边长是x m ,总造价是y 元,由题意知,体积V =4 m 3,高h =1 m ,所以底面积S =4 m 2,设底面矩形的一条边长是x m ,则另一条边长是4
x m ,又设总
造价是y 元,则y =20×4+10×⎝⎛⎭⎫2x +8
x ≥80+202x ·8x =160,当且仅当2x =8
x
,即x =2时取得等号.
答案: C
9.(2018·江西九江二模)实数x ,y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x -a ≤0,x +y -2≥0,2x -y +2≥0,若z =y -1
x +3
的最
大值为1,则z 的最小值为( )
A .-1
3
B .-37。