2020年新课标高中数学北师大版必修2课件1.4

修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
4．空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可以确定 平面的个数为__1_或__3___．
[解析] 三条直线在同一平面内时确定一个平面，三条直线不在同一个平面 内时确定三个平面．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
·
第一章 立体几何初步
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
·
第一章 立体几何初步
2．空间直线与平面的位置关系
(1)直线与平面有__无__数__个__公__共__点____，我们称这条直线在这个平面内；
(2)直线和平面只有__一__个__公__共__点____，称这条直线与这个平面相交；
(3)直线和平面__没__有__公__共__点____，称这条直线和这个平面平行．
版
返回导航
第一章 立体几何初步
『规律总结』 1.解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义，点表 示元素，线、面都是点的集合．
2．符号语言是数学中常用的一种语言，熟练掌握它与自然语言图形语言之 间的转化，是解决几何问题的基础．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
·
第一章 立体几何初步
〔跟踪练习1〕 本例若把图形改为如下图所示①②，请用符号语言表示其中的点、线、面 的位置关系．
数 学
[解析] ①α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B．
必 修
②α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P．
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
命题方向2 ⇨空间点、线、面的位置关系
典例 2 已知长方体ABCD－A1B1C1D1，如图所示，AC 与BD相交于点
M，则下列说法中正确的是
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．
数
∴P、Q、R三点共线．
学
必
修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
方法二：∵AP∩AR＝A．
∴直线AP与直线AR确定平面APR．
又 ∵AB∩α＝P，AC∩α＝R
∴平面APR∩平面α＝PR．
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR．
3．空间平面与平面的位置关系
(1)两个平面__没__有__公__共__点____，这样的两个平面叫作平行平面；
数
(2)两个平面不重合，但__有__公__共__点____，这样的两个平面叫作相交平面．
学
必
修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
4．空间图形的公理
公理1 过__不__在__同__一__条__直__线__上__的__三__点____，有且只有一个平面(即可以确定
新课标导学
数学
必修② ·北师大版
第一章
立体几何初步 §4 空间图形的基本关系与公理
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
·
第一章 立体几何初步
自主预习学案
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
民以食为天，以居为安．居住的要素少不了“门”，
孔夫子的《论语·雍也》云：“谁能出不由户(户：门)？”
[解析] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．
求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法一：(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α．
数 学 必
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2 α，∴B∈α．
修 ②
同理可证C∈α．
·
北 师
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
学 必
面内(即直线在平面内)．
修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
___一__条__过__该__点__的__公__共__直__线___．
公理4 平行于同一条直线的两条直线__平__行____．
定理
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角
学
必 修
∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
『规律总结』 1.同一法证明直线共面的步骤：
①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；
5．若直线a不平行于平面α，且a⃘α，则下列结论正确的是____②__． ①平面α内的所有直线与a异面； ②平面α内不存在与a平行的直线； ③平面α内存在唯一的直线与a平行； ④平面α内的直线与a都相交． [解析] 由已知得a与α相交，因此①③④错误，②正确．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
·
·
第一章 立体几何初步
互动探究学案
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
命题方向1 ⇨用图形符号语言表示点、线、面之间的位置关系
典例 1 如图所示，写出图形中的点、直线和平面之间的关系．
数 学
图(1)可以用几何符号表示为：_α_∩__β_＝__A_B_，__a__α_，__b___β_，__a_∥__A_B_，__b_∥__A_B___．
()
C
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、 β重合
数
[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是
学 必
A．故α∩β＝A写法错误．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
·
·
第一章 立体几何初步
[思路分析] 方法一：
方法二：
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
[解析] 方法一：∵AB∩α＝P
∴P∈AB，P∈平面α．
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC．
由公理3知点P在平面ABC与平面α的交线上．
·
北 师
面”这条性质——也就是今天我们要学习的内容．
大
版
返回导航
第一章 立体几何初步
1．空间两条直线的位置关系 (1)直线a与b在同一平面内，但___没__有__公__共__点___，这样的两条直线叫作平行 直线； (2)直线a与b__只__有__一__个__公__共__点____，这样的两条直线叫作相交直线； (3)直线a与b_不__同__在__任__何__一__个__平__面__内_____，这样的两条直线叫作异面直线．
一个平面)．
①__一__条__直__线__和__这__条__直__线__外__一__点____可以确定一个平面．
②两条___相__交___直线可以确定一个平面．
③两条___平__行___直线可以确定一个平面．
数
公理2 如果一条直线上的__两__点__在__一__个__平__面__内____，那么这条直线在这个平
道理虽很简单，却包蕴丰富．门在建筑上来说主要功能是
围护、分隔和交通疏散作用，并兼有采光、通风和装饰作
用．
一般情况下，门的一端有两个转轴，可以绕轴打开，
数 学
另一端还有一个锁(古代为木制)．一旦上锁门就可以起到分隔的作用，这是非常
必
修 ②
浅显的道理，但却应用了我们数学上的“不在同一条直线上的三点确定一个平
直线 a 平行于直线 AB，直线 b 平行于直线 AB．
图(2)可以用几何符号表示为：α∩β＝MN，△ABC 的三个顶点满足条件 A∈
数
学 必
MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN．
修
②
即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN，△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上，点 B 在
·
北
师 大
α 内但不在直线 MN 上，点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上．
必 修
图(2)可以用几何符号表示为：_α_∩__β_＝__M__N_，___△__A_B_C__的__三__个__顶___点__满__足__条__件__
②
·
北 _A_∈__M_N__，__B_∈__α_，__C_∈__β_，__B__∉_M_N__，__C_∉_M__N_________．
师
大
版
返回导航
数
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C 平面BCD1A1
学 必 修
∴Q∈平面BCD1A1，而Q∈平面ABC1D1．
·

② 北
∴Q在两平面的交线BD1上．
师 大 版
∴B、Q、D1三点共线．
返回导航
第一章 立体几何初步
命题方向4 ⇨多线共面问题
典例 4 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． [思路分析] 先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平 面上．
·
(A )
返回导航
·
第一章 立体几何初步
2．异面直线是 A．空间不相交的两条直线 B．分别位于两个平面内的直线 C．平面内的一条直线与这个平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 [解析] 根据异面直线的概念可知．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
(D)
返回导航
第一章 立体几何初步
3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是
(C)
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；
③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；
④直线AC与平面A1B1C1D1异面；
数 学
⑤直线BC与A1B1异面．
必 修
A．①③④
②
·
北
C．①③⑤
师
大
版
B．①②⑤ D．②③④⑤
返回导航
第一章 立体几何初步
[思路分析] 根据图形直接作出判断． [解析] ①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在 直线A1B1外，正确；②中，直线AC与A1D1异面，错误；③中，两平面没有公共 点，互相平行，正确；④中，直线与平面的位置关系中没有“异面”，直线AC
[解析] (1)点P在平面ABCD外．
数
(2)直线PC与AB异面，直线AB与CD平行．
学
必 修
(3)平面PCD与平面PCB有公共点P，所以两平面相交，平面PAB与平面PCD
②
·
北 有公共点P，所以两平面也是相交的．
师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
命题方向3 ⇨点共线问题
典例 3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如 图，求证：P、Q、R三点共线．
大
版
返回导航
第一章 立体几何初步
证法二：(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1，l2 确定一个平面 α． ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3 确定一个平面 β．
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α． ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β．
同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β．
数
∴不共线的三个点 A，B，C 既在平面 α 内，又在平面 β 内．
数
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α
学 必
∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
『规律总结』 证明多点共线的方法是利用公理3，证明这些点都是两个平 面的公共点，则必在这两个平面的交线上，方法二的思想是先由点P、R确定一 条直线，证Q点也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方 法．
第一章 立体几何初步
[思路分析] 解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔
细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后再用符号语言写
出．
[解析] 图(1)可以用几何符号表示为：
α∩β＝AB，a α，b β，a∥AB，b∥AB．
即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，
数
学 必
___相__等__或__互__补___．
修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
1．线段 AB 在平面 α 内，则直线 AB 与平面 α 的位置关系是
A．AB α
B．AB∈α
C．由线段 AB 的长短而定
D．以上都不对
[解析] 由公理1可知选项A正确．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
与平面A1B1C1D1平行，错误；⑤正确．选C．
『规律总结』 本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系，
数 学
做题时，不要主观臆断，要认真观察模型，体会其空间关系．
必
修
②
·
北 师 大 版
返回导航
第一章 立体几何初步
〔跟踪练习2〕 已知正四棱锥P－ABCD如图所示，试判断下列点、线、面之间的位置关 系： (1)点P与平面ABCD； (2)直线PC与AB，直线AB与CD； (3)平面PCD与平面PCB，平面PAB与平面PCD．
数 学 必 修 ② 北 师 大 版
返回导航
·
第一章 立体几何初步
〔跟踪练习3〕
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求
证：B、Q、D1三点共线．
[解析] 如题图，∵D1∈平面ABC1D1
D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1
B∈平面A1D1CB．
∴平面ABC1D1∩平面BCD1A1＝BD1．