19.4综合与实践多边形的镶嵌
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假如用三种不同的正多边形镶嵌，那么需要满足什么条件？
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形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌平面。
在每个拼接点处有六个角，而这六个角和恰好是这个三角形的 内角和的两倍，也就是它们的和为360º，且相等的边互相重合
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大小和形状完全相同的任意四边形可以镶嵌平面。
A、1
B、2
C、3
D、无数
通过本节课的学习你有哪些收获？
（1）生活中处处存在着数学，数学来源于生活， 又服务于生活。
（2）数学存在美，更能创造美。
（3）我们通过活动、探讨，知道任意一个三角形、 四边形或正六边形可以密铺成一个平面，探索出正多 边形密铺的条件，即：在一个公共顶点上所有内角和 为360度，并且动手设计出了很多美丽的图案。
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练一练
选择题：
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的
每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
A、3
B、4
C、5
D、6
3.用正三角形和正六边形镶嵌成平面，共有（ B ）种方法。
34
在每个拼 接点处有 四个角， 而这四个 角的和恰 好是这个 四边形的 四个内角 的和，它 们的和为 360º。且 相等的边 互相重合
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用不规则的基本图形拼接地板.
作品欣赏
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资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给 出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰 已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
请同学们设计一幅多边形镶嵌的美丽图 案.看哪位同学的设计有新意!相信同学们 都能发挥自己的聪明才智，设计出绚丽多 彩的图案来。
返回
用两种正多边形镶嵌 正三角形与正方形
正六边形和正三角形 正四边形与正八边形
用三种正多边形镶嵌
大小和形状完全相同的 任意三角形四边形
不规则的基本图形 相关资料
lx
1.正三角形与正方形
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
返回
2. 正六边形和正三角形
注意：同一个组合会有不同 的镶嵌效果
返回
正四边形与正八边形
解：设正多边形的边数为n,一个公共顶点上内角个数为m,则有
(n 2)180 m 360
m=
n
360º×
n
180º(n-2)
m=
2(n-2)+ n-2
4 n-2
4 m= 2 +
m= 2n n-2
n-2
因为m是正整数，则n-2必定是4的约数， 所以n只能是3、4、6。
探索活动2
你能用两种正多边形镶嵌平面吗？
60° 60°
60°
返回
（2） 正方形的平面镶嵌
90°
返回
（3） 正六边形的平面镶嵌
返回
啊!拼不了啦,为 什么呢?!
返回
想一想
用一个多边形镶嵌成平面图案的条件是什么？
在一个公共顶点上所有内角和为360度。
为什么用一种正多边形镶嵌平面时只有正三边形、正四边 形和正六边形能够镶嵌呢？李明作了如下推理你看是否正确？
好漂亮的地板!这 是怎么铺设的?既无空 隙，又不重叠！！
定义
镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖 平面，使图形间既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在 几何里面叫做平面镶嵌。
注意: 1. 不留缝隙 2. 没有重叠
探索活动1
请完成下表。
内角和X
正三角形 正方形
180o
360o
内角度数Y
60o
90o
图形
正五边形
540o
108o
正六边形
720o 120o
一个顶点周围正 多边形的个数K
6
4
能否平面镶嵌
能
能
内角度数乘以 60º×6=360º 90º×4=360º K
3
不能
能
108º×3=324º＜360º 120º×3=360º 108º×4=432º＞360º
镶嵌条件
（1） 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°
假如用三种不同的正多边形镶嵌，那么需要满足什么条件？
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形状、大小完全相同的任意三角形可以镶嵌平面。
在每个拼接点处有六个角，而这六个角和恰好是这个三角形的 内角和的两倍，也就是它们的和为360º，且相等的边互相重合
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大小和形状完全相同的任意四边形可以镶嵌平面。
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D、无数
通过本节课的学习你有哪些收获？
（1）生活中处处存在着数学，数学来源于生活， 又服务于生活。
（2）数学存在美，更能创造美。
（3）我们通过活动、探讨，知道任意一个三角形、 四边形或正六边形可以密铺成一个平面，探索出正多 边形密铺的条件，即：在一个公共顶点上所有内角和 为360度，并且动手设计出了很多美丽的图案。
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练一练
选择题：
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ） A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形
2、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的
每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
A、3
B、4
C、5
D、6
3.用正三角形和正六边形镶嵌成平面，共有（ B ）种方法。
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在每个拼 接点处有 四个角， 而这四个 角的和恰 好是这个 四边形的 四个内角 的和，它 们的和为 360º。且 相等的边 互相重合
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用不规则的基本图形拼接地板.
作品欣赏
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资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给 出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰 已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
请同学们设计一幅多边形镶嵌的美丽图 案.看哪位同学的设计有新意!相信同学们 都能发挥自己的聪明才智，设计出绚丽多 彩的图案来。
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用两种正多边形镶嵌 正三角形与正方形
正六边形和正三角形 正四边形与正八边形
用三种正多边形镶嵌
大小和形状完全相同的 任意三角形四边形
不规则的基本图形 相关资料
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1.正三角形与正方形
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
返回
2. 正六边形和正三角形
注意：同一个组合会有不同 的镶嵌效果
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正四边形与正八边形
解：设正多边形的边数为n,一个公共顶点上内角个数为m,则有
(n 2)180 m 360
m=
n
360º×
n
180º(n-2)
m=
2(n-2)+ n-2
4 n-2
4 m= 2 +
m= 2n n-2
n-2
因为m是正整数，则n-2必定是4的约数， 所以n只能是3、4、6。
探索活动2
你能用两种正多边形镶嵌平面吗？
60° 60°
60°
返回
（2） 正方形的平面镶嵌
90°
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（3） 正六边形的平面镶嵌
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啊!拼不了啦,为 什么呢?!
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想一想
用一个多边形镶嵌成平面图案的条件是什么？
在一个公共顶点上所有内角和为360度。
为什么用一种正多边形镶嵌平面时只有正三边形、正四边 形和正六边形能够镶嵌呢？李明作了如下推理你看是否正确？
好漂亮的地板!这 是怎么铺设的?既无空 隙，又不重叠！！
定义
镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖 平面，使图形间既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在 几何里面叫做平面镶嵌。
注意: 1. 不留缝隙 2. 没有重叠
探索活动1
请完成下表。
内角和X
正三角形 正方形
180o
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内角度数Y
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图形
正五边形
540o
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正六边形
720o 120o
一个顶点周围正 多边形的个数K
6
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能否平面镶嵌
能
能
内角度数乘以 60º×6=360º 90º×4=360º K
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不能
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108º×3=324º＜360º 120º×3=360º 108º×4=432º＞360º
镶嵌条件
（1） 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°