高三物理一轮复习 第五章 机械能

第五章
机械能
[备考指南
]
考点内容要求题型把握考情
一、功和功率功和功率Ⅱ选择、计
算
找
规
律
近几年高考既有对本
章内容的单独考查，也有
与牛顿运动定律、曲线运
动、电磁学等内容相结合
的综合考查，对本章单独
考查的题目多为选择题。

二、动能定理及其
应用动能和动能定理Ⅱ
选择、计
算
三、机械能守恒定
律及其应用重力做功与重力
势能
Ⅱ
选择、计
算
机械能守恒定律
及其应用
Ⅱ
四、功能关系能量守恒定律功能关系Ⅱ
选择、计
算
明
热
点
将本章内容与其他知
识相结合，与实际生产、
生活和现代科技相结合进
行命题的趋势较强，在复
习中应侧重对基础知识的
理解和应用。

实验五~六探究动能定理、验证机械
能守恒定律
填空
第1节功和功率
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。

(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。

(√)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。

(×)
(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。

(√)
(5)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。

(√)
(6)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。

(√)
要点一功的正负判断与恒力、合力做功的计算
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。

[多角练通]
1．(多选)如图5­1­1所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。

则关于斜面对m的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是( )
图5­1­1
A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功
解析：选ACD 支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功。

而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a ＝g tan θ，当a >g tan θ，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a <g tan θ，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功。

综上所述，A 、C 、D 正确。

2.如图5­1­2所示，木板可绕固定水平轴O 转动。

木板从水平位置OA 缓慢转到OB 位置，木板上的物块始终相对于木板静止。

在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J 。

用F N 表示物块受到的支持力，用F f 表示物块受到的摩擦力。

在此过程中，以下判断正确的是( )
图5­1­2
A ．F N 和F f 对物块都不做功
B ．F N 对物块做功为2 J ，F f 对物块不做功
C ．F N 对物块不做功，F f 对物块做功为2 J
D ．F N 和F f 对物块所做功的代数和为0
解析：选B 物块所受的摩擦力F f 沿木板斜向上，与物块的位移方向垂直，故摩擦力F f
对物块不做功，物块在慢慢移动过程中，重力势能增加了2 J ，重力做负功2 J ，支持力F N 对物块做正功2 J ，故B 正确。

3．(2014·全国卷Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上。

现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v 。

若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v 。

对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f1、
W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A ．W F2>4W F1，W f2>2W f1
B ．W F2>4W F1，W f2＝2W f1
C ．W F2<4W F1，W f2＝2W f1
D ．W F2<4W F1，W f2<2W f1
解析：选C 根据匀变速直线运动的规律、牛顿第二定律、功的计算公式解题。

根据x ＝
v ＋v 02t 得，两过程的位移关系x 1＝12x 2，根据加速度的定义a ＝v －v 0
t
，得两过程的加速度关系为a 1＝a 2
2。

由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即f 1＝f 2＝f ，
根据牛顿第二定律F －f ＝ma 得，F 1－f 1＝ma 1，F 2－f 2＝ma 2，所以F 1＝12F 2＋12f ，即F 1>F 2
2。

根
据功的计算公式W ＝Fl ，可知W f 1＝12W f 2，W F 1>1
4
W F 2，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误。

要点二 变力做功的计算
(一)利用动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。

因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。

[典例1] (2015·海南高考)
如图5­1­3，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。

质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
图5­1­3
A.1
4mgR B.13mgR C.1
2
mgR D.π4
mgR [解析] 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，
所以有F N －mg ＝m v 2
R
，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，
根据动能定理可得mgR －W f ＝12mv 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功1
2
mgR ，C 正确。

[答案] C
(二)利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。

此法在
中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

[典例2]
如图5­1­4所示，在水平面上，有一弯曲的槽道»
AB ，槽道由半径分别为R
2
和R 的两个半圆构成。

现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
图5­1­4
A ．0
B ．FR
C ．2πFR
D.3
2
πFR [解析] 因为F 的方向不断改变，不能用W ＝Fl cos α求解，但由于拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，可采用微元法，把小球的位移分割成许多的小段，在每一小段位移上作用在小球上的力F 可视为恒力，F 做的总功即为F 在各个小段上做功的代数和，由此得：W
＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2π·R 2＋12·2πR ＝3
2
πFR ，所以本题答案为D 。

[答案] D
(三)化变力为恒力求变力做功
变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做
功，用W ＝Fl cos α求解。

此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

[典例3] 如图5­1­5所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。

若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，滑块经B 、C 两点的动能分别为E k B 和E k C ，图中AB ＝BC ，则( )
图5­1­5
A ．W 1＞W 2
B ．W 1＜W 2
C ．W 1＝W 2
D ．无法确定W 1和W 2的大小关系
[解析] 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F 对绳子做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确。

[答案] A
(四)利用平均力求变力做功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变
化时，则可以认为物体受到一大小为F —
＝
F 1＋F 2
2
的恒力作用，F 1、F 2分别为物体初、末态所受
到的力，然后用公式W ＝F —
l cos α求此力所做的功。

[典例4] 把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。

问此钉子全部进入木板需要打击几次？
[解析] 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F ＝0＋kl 2＝kl
2
钉子克服阻力做的功为：W F ＝Fl ＝12kl 2
设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量： E 总＝nE 0＝12kl 2，所以n ＝kl
2
2E 0。

[答案] kl 2
2E 0
(五)利用F ­x 图像求变力做功
在F ­x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。

[典例5]
某物体在变力F 作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m ＝10 kg ，F 随物体的坐标
x 的变化情况如图5­1­6所示。

若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。

借鉴教科书
中学习直线运动时由v ­t 图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的F ­x 图像可求出物体运动到x ＝16 m 处时的速度大小为( )
图5­1­6
A ．3 m/s
B ．4 m/s
C ．2 2 m/s
D.17 m/s
[解析] 力F 在运动过程中所做的总功W F ＝10×4 J ＝40 J ， 由动能定理得：W F ＝12
mv 2
－0，
解得物块运动到x ＝16 m 处的速度大小为v ＝2 2 m/s ，C 正确。

[答案] C
要点三 功率的分析与计算
1．平均功率的计算 (1)利用P ＝W
t。

(2)利用P ＝F v cos α，其中v 为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P ＝Fv cos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度。

(2)利用公式P ＝Fv F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。

(3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力。

[多角练通]
1．(2016·昆明模拟)将一个小球斜向上抛出，小球在空中依次飞过三个完全相同的窗户1、2、3。

图5­1­7中曲线为小球在空中运动的轨迹。

若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是( )
图5­1­7
A ．小球通过第1个窗户所用的时间最长
B ．小球通过第1个窗户重力做的功最大
C ．小球通过第3个窗户重力的平均功率最小
D ．小球通过第3个窗户的平均速度最大
解析：选C 将该斜抛运动分解为水平方向和竖直方向，在水平方向做匀速直线运动，通过窗户3的水平位移最大，所以时间最长，故A 错误。

通过3个窗户时在竖直方向上的位
移相等，所以重力做功相等，故B错误。

根据P G＝
W G
t
，重力做功相等，通过第3个窗户的时间最长，所以平均功率最小，故C正确。

在运动的过程中速度越来越小，通过窗户3的平均速度最小，故D错误。

2．(2015·福州二模)如图5­1­8所示，一个纵截面是等腰三角形的斜面体M置于水平地面上，它的底面粗糙，两斜面光滑。

将质量不相等的A 、B两个小滑块(m A＞m B)同时从斜面上同一高度处静止释放，在两滑块滑至斜面底端的过程中，M始终保持静止，则( )
图5­1­8
A．B滑块先滑至斜面底端
B．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
C．两滑块滑至斜面底端时重力的瞬时功率相同
D．地面对斜面体的支持力等于三个物体的总重力
解析：选B 滑块A和B下滑的加速度和位移的大小分别相等，可知两滑块滑至底端的时间相同，故A错误。

设等腰三角形的底角为α，则A和B对斜面体压力在水平方向的分力大小分别为m A g cos α·sin α和m B g cos α·sin α，因为m A＞m B，则地面对斜面体有向左的摩擦力，故B正确。

滑块A和B滑到底端的速度大小也相等，由于质量不同，则重力的瞬时功率P＝mgv sin α不同，故C错误。

因为A、B的加速度均沿斜面向下，整体处于失重状态，则支持力小于三个物体的总重力，故D错误。

要点四机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动
P­t图
和
v­t图
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝
P不变
v
↓
⇒a＝
F－F阻
m
↓
a＝
F－F阻
m
不变⇒F不变
⇒
v↑
P＝Fv↑直到P额＝Fv1运动
性质
加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝
v1
a
AB 段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0
⇒v m＝
P
F阻
v↑⇒F＝
P额
v
↓
⇒a＝
F－F阻
m
↓运动
性质
以v m匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以v m＝
P额
F阻
匀速运动
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝
P
F阻。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝
P
F
<v m
＝P
F阻。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔE k，此式
经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

[典例] (2015·呼伦贝尔一模)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究。

他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v­t图像，如图5­1­9所示(除2～10 s时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)。

已知在小车运动的过程中，2 s后小车的功率P＝9 W保持不变，小车的质量为1.0 kg，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变。

求：
图5­1­9
(1)小车所受到的阻力大小；
(2)小车在0～10 s内位移的大小。

[审题指导]
(1)0～2 s内小车的v­t图像为直线，小车做匀加速直线运动。

(2)2～10 s内小车的功率保持不变，小车处于恒定功率启动状态。

(3)v＝6 m/s为小车启动过程的最大速度。

[解析] (1)由图像知，前两秒的末速度为v1＝3 m/s，最大速度为v m＝6 m/s
根据P ＝Fv ，当F ＝F f 时，v ＝v m
解得阻力F f ＝P v m ＝9
6
N ＝1.5 N 。

(2)前2 s ，小车做匀加速直线运动，位移为x 1，由运动学公式得x 1＝v 12t 1＝3
2
×2 m ＝3 m ，
2～10 s 内，时间为t 2，根据动能定理
Pt 2－F f x 2＝1
2mv m 2－12
mv 12
代入数据解得x 2＝39 m
0～10 s 内位移x ＝x 1＋x 2＝42 m 。

[答案] (1)1.5 N (2)42 m [易错提醒]
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不相同，分析图像时应注意坐标轴的意义及图像变化所描述的规律。

(2)在机车功率P ＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，P ＝F f v m
时，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。

(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W ＝Pt 计算，不能用W ＝Fl 计算(因为F 为变力)。

(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W ＝Fl 计算，不能用W ＝Pt 计算(因为功率P 是变化的)。

[针对训练]
1．(2015·海南高考)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。

如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )
A ．4倍
B ．2倍 C. 3 倍
D. 2 倍
解析：选D 设f ＝kv ，当阻力等于牵引力时，速度最大，输出功率变化前，有P ＝Fv ＝
fv ＝kv ·v ＝kv 2，变化后有2P ＝F ′v ′＝kv ′·v ′＝kv ′2，联立解得v ′＝2v ，D 正确。

2. (多选)(2015·苏州高三调研)质量为2×103
kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F 和车速倒数1
v
的关系图像如图5­1­10所示。

已知行驶过程中最大车速为
30 m/s ，设阻力恒定，则( )
图5­1­10
A ．汽车所受阻力为6×103
N
B ．汽车在车速为5 m/s 时，加速度为3 m/s 2
C ．汽车在车速为15 m/s 时，加速度为1 m/s 2
D ．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104
W
解析：选CD 当牵引力等于阻力时，速度最大，由图线可知阻力大小F f ＝2 000 N ，故A 错误。

倾斜图线的斜率表示功率，可知P ＝F f v ＝2 000×30 W＝60 000 W ，车速为5 m/s 时，汽车的加速度a ＝6 000－2 0002 000
m/s 2＝2 m/s 2，故B 错误；当车速为15 m/s 时，牵引力F ＝
P v ＝60 00015 N ＝4 000 N ，则加速度a ＝F －F f m ＝4 000－2 0002 000
m/s 2＝1 m/s 2，故C 正确；汽车的最大功率等于额定功率，等于60 000 W ，故D 正确。

功和功率计算中的两类易错题
(一)滑轮两侧细绳平行
1．如图5­1­11所示，质量为M 、长度为L 的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m 的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F 作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )
图5­1­11
A ．2μmgL B.1
2μmgL C ．μ(M ＋m )gL
D ．μmgL
解析：选D 对木块m 受力分析，由平衡条件可得F T ＝μmg 。

对木板M 受力分析，由平衡条件可得：F ＝F T ＋μmg ，又因当木块从木板右端拉向左端的过程中，木板向右移动的位移
l ＝L
2
，故拉力F 所做的功W ＝F ·l ＝μmgL ，D 正确。

2．(2015·南安高三期中)如图5­1­12甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
图5­1­12
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
解析：选C 由图乙可知，物体的加速度a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末力F的作用点的速度大小为v F＝2×2 m/s＝4 m/s，故4 s末拉力F做功的功率为P＝F·v F＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移
l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝F·l＝84 J,4 s内拉力F做功的平均功率P＝W
t
＝21 W，D
错误。

[反思领悟]
(1)不计摩擦和滑轮质量时，滑轮两侧细绳拉力大小相等。

(2)通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。

(3)通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。

(二)滑轮两侧细绳不平行
3．一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F 拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图5­1­13所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( )
图5­1­13
A．Fs cos θB．Fs(1＋cos θ)
C．2Fs cos θD．2Fs
解析：选B 根据动滑轮的特点可求出绳子在F方向上的位移为x＝s(1＋cos θ)，根据恒力做功公式得W＝Fx＝Fs(1＋cos θ)，或可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fs cos θ
＝Fs (1＋cos θ)，则选项B 正确。

4.质量为m 的物体放在一固定的斜面上，一个人通过动滑轮用恒定的力F 拉动物体沿斜面前进l ，力F 与斜面夹角为α，如图5­1­14所示。

求人做的功。

图5­1­14
解析：如图所示，力F 作用点的位移x ＝2l cos α
2
，
故拉力F 所做的功W ＝Fx cos α
2＝2Fl cos 2
α
2＝Fl (1＋cos α)。

答案：Fl (1＋cos α) [反思领悟]
对于通过动滑轮拉物体的情况，当拉力F 的方向与物体的位移方向不同时，拉力F 的功的大小可用如下两种思路求解：
(1)用W ＝F ·x cos α求，其中x 为力F 作用点的位移大小，α为力F 与力F 作用点位移x 之间的夹角。

(2)用两段细绳拉力分别所做功的代数合求解，如第3题的第二种方法。

对点训练：功的理解与计算
1. (2015·宁波期末)如图1所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
图1
A ．A 所受的合外力对A 不做功
B ．B 对A 的弹力做正功
C ．B 对A 的摩擦力做正功
D ．A 对B 做正功
解析：选C AB 一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为g sin θ。

由于A 速度增大，由动能定理，A 所受的合外力对A 做功，B 对A 的摩擦力做正功，B 对A 的弹力做负功，选项A 、B 错误C 正确。

A 对B 不做功，选项D 错误。

2．(多选)(2015·云南一检)如图2所示，n 个完全相同，边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。

小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )
图2
A.12Mv 2
B ．Mv 2
C.1
2
μMgl D ．μMgl
解析：选AC 小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块进入粗糙水平面后速度为零。

以所有小方块为研究对象，由动能定理可知，所有小方块克服摩擦力做功W f ＝12Mv 2
，A 项正
确；将所有小方块等效为质量集中在重心的质点，恰能完全进入粗糙水平面，重心位移为1
2l ，
摩擦力做功为－12μMgl ，做功数值大小为1
2
μMgl ，C 项正确。

3. (多选)一辆质量为m 的汽车在发动机牵引力F 的作用下，沿水平方向运动。

在t 0时刻关闭发动机，其运动的v ­t 图像如图3所示。

已知汽车行驶过程中所受的阻力是汽车重力的k 倍，则( )
图3
A ．加速过程与减速过程的平均速度之比为1∶2
B ．加速过程与减速过程的位移大小之比为1∶2
C ．汽车牵引力F 与所受阻力大小之比为3∶1
D ．汽车牵引力F 做的功为3kmgv 0t 0
2
解析：选BCD 由题图可知，加速过程F －F f ＝ma 1，a 1＝v 0t 0，位移x 1＝1
2
v 0t 0；减速过程－
F f ＝ma 2，a 2＝－
v 02t 0，位移x 2＝1
2
v 0·2t 0，又F f ＝kmg ，由以上各式解得加速过程与减速过程的位移大小之比为1∶2，平均速度之比为1∶1，汽车牵引力F 与所受阻力大小之比为3∶1，汽车牵引力F 做的功为W ＝Fx 1＝3kmgv 0t 0
2
，故选项A 错误，B 、C 、D 正确。

对点训练：功率的分析与计算
4. (2016·绵阳二诊)如图4所示，质量为m 的小球(可视为质点)用长为L 的细线悬挂于
O 点，自由静止在A 位置。

现用水平力F 缓慢地将小球从A 拉到B 位置而静止，细线与竖直
方向夹角为θ＝60°，此时细线的拉力为F 1，然后放手让小球从静止返回，到A 点时细线的拉力为F 2，则( )
图4
A ．F 1＝F 2＝2mg
B ．从A 到B ，拉力F 做功为F 1L
C ．从B 到A 的过程中，小球受到的合外力大小不变
D ．从B 到A 的过程中，小球重力的瞬时功率一直增大 解析：选A 在B 位置根据平衡条件有F 1＝
mg
cos 60°
＝2mg ，在A 位置根据牛顿第二定律
有F 2－mg ＝mv 2L ，从B 到A 利用动能定理得mgL (1－cos 60°)＝12
mv 2
，联立可知F 2＝2mg ，选
项A 正确；从A 到B 利用动能定理得W F －mgL (1－cos 60°)＝0，解得拉力F 做功为W F ＝
mgL
2
，
选项B 错误；从B 到A 的过程中，小球受到的合外力大小时刻发生变化，选项C 错误；在最高点时小球的速度为零，重力的瞬时功率为零，在最低点时小球竖直方向的速度为零，重力的瞬时功率为零，即从B 到A 的过程中，小球重力的瞬时功率先增大后减小，选项D 错误。

5．(多选)(2015·浙江高考)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。

舰载机总质量为3.0×104
kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105
N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定。

要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s 。

弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A ．弹射器的推力大小为1.1×106
N B ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108
J C ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107
W D ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2
解析：选ABD 对舰载机应用运动学公式v 2－02＝2ax ，即802
＝2·a ·100，得加速度a ＝32 m/s 2
，选项D 正确；设总推力为F ，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F －20%F ＝ma ，得F ＝1.2×106
N ，而发动机的推力为 1.0×105
N ，则弹射器的推力为F
推
＝(1.2×106
－
1.0×105
)N ＝1.1×106
N ，选项A 正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F 推·l ＝1.1×108
J ，
选项B 正确；弹射过程所用的时间为t ＝v a ＝8032 s ＝2.5 s ，平均功率P ＝W t ＝1.1×108
2.5
W ＝
4.4×107
W ，选项C 错误。

6. (多选)(2016·长沙模拟)如图5所示，位于水平面上的物体在斜向上的恒力F 1的作用下，做速度为v 的匀速运动，此时力F 1与水平方向的夹角为θ1；现将该夹角增大到θ2，对应恒力变为F 2，则以下说法正确的是( )
图5
A ．若物体仍以速度v 做匀速运动，则可能有F 2＝F 1
B ．若物体仍以速度v 做匀速运动，则一定有F 2＞F 1
C ．若物体仍以速度v 做匀速运动，则F 2的功率可能等于F 1的功率
D ．若物体以大于v 的速度做匀速运动，则F 1的功率可能等于F 2的功率 解析：选AD 物体都做匀速运动，受力平衡，则：
F 1cos θ1＝μ(mg －F 1sin θ1) F 2cos θ2＝μ(mg －F 2sin θ2)
解得：F 1＝μmg cos θ1＋μsin θ1，F 2＝μmg
cos θ2＋μsin θ2
当cos θ1＋μsin θ1＝cos θ2＋μsin θ2时，F 2＝F 1， 则sin(θ1＋β)＝sin(θ2＋β)，其中tan β＝1
μ
，
当θ1＋θ2＋2β＝π时，sin(θ1＋β)＝sin(θ2＋β)，则F 2的大小可能等于F 1，故A 正确，B 错误。

功率P ＝Fv cos θ，v 相等，要使功率相等，则F 1cos θ1＝F 2cos θ2，F 1sin θ1＝F 2sin θ2，而θ2＞θ1，不可能同时满足，所以F 2的功率不可能等于F 1的功率，故C 错误。

根据C 的分析可知，当物体以大于v 的速度做匀速运动时，F 1cos θ1可以大于F 2cos θ2，则F 1的功率可能等于F 2的功率，故D 正确。

对点训练：机车启动问题
7. (2015·徐州模拟)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a 和速度的倒数1
v
图像如图6所示。

若已知汽车的质量，则根据图像所
给的信息，不能求出的物理量是( )
图6
A ．汽车的功率
B ．汽车行驶的最大速度
C ．汽车所受到的阻力
D ．汽车运动到最大速度所需的时间
解析：选D 由F －F f ＝ma ，P ＝Fv 可得：a ＝P m ·1v
－F f m
，对应图线可知，P
m
＝k ＝40，可求
出汽车的功率P ，由a ＝0时，1v m ＝0.05可得：v m ＝20 m/s ，再由v m ＝P
F f
，可求出汽车受到的
阻力F f ，但无法求出汽车运动到最大速度的时间。

8．(2015·全国卷Ⅱ)一汽车在平直公路上行驶。

从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图7所示。

假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变。

下列描述该汽车的速度
v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )
图7
解析：选A 由P ­t 图像知：0～t 1内汽车以恒定功率P 1行驶，t 1～t 2内汽车以恒定功率
P 2行驶。

设汽车所受牵引力为F ，则由P ＝Fv 得，当v 增加时，F 减小，由a ＝
F －f
m
知a 减小，又因速度不可能突变，所以选项B 、C 、D 错误，选项A 正确。

9．水平路面上行驶的汽车所受到的阻力大小F f 与汽车行驶的速率成正比。

若汽车从静止出发，先做匀加速直线运动，达到额定功率后保持额定功率行驶，则在整个行驶过程中，汽车受到的牵引力大小F 与阻力大小F f 关系图像是( )。