人教A版数学必修四教案：3.2简单的三角恒等变换(1)

3.2 简单的三角恒等变换
整体设计
一、教学分析
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.
本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 二、三维目标
1．知识与技能：
通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.
2．过程与方法：
理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.
3．情感态度与价值观：
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.
三、重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.
2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
第1课时
（一）导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.
思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①α与2
a 有什么关系? ②如何建立cosα与sin 2
2a 之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =a a cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?
⑤证明(1)sinαcosβ=2
1[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2
cos 2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 2
2a ,将公式中的α用2a 代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是
2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=1-2sin 22
a , 所以sin 22a =2
cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2
a 代替α,即得 cosα=2cos 22
a -1, 所以cos 22a =2
cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得
tan 22a =a
a cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin 2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±a
a cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2
a 所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.
对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含s inαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看
成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=
2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.
证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
即sinαcosβ=2
1[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.①
设α+β=θ,α-β=φ,那么α=
2ϕθ+,β=2ϕθ-. 把α,β的值代入①,
即得sinθ+sinφ=2sin 2ϕ
θ+cos 2
ϕθ-. 教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.
讨论结果：①α是
2
a 的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -. ③④⑤略(见活动）.
（三）应用示例
思路1
例1 化简:.cos sin 1cos sin 1x
x x x ++-+. 活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.
解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222
x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
化简:sin50°(1+
3
解:原式=sin50°
10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+∙=+
=2sin50°·
10
cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·
10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.
例2 已知sinx-cosx=2
1,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=
16
11.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=
21,得(sinx-cosx)2=4
1, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83. ∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=16
11. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=
51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:25
7- 例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+A
B A B B A B A 求证. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.
证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+B
A B A , ∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos+B.
∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,
即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.
∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.
∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴=+A
B A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1.
证明二:令B
A a
B A sin sin ,cos cos cos 22==sinα, 则cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.
两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.
∴B-α=2kπ(k ∈Z ),即B=2kπ+α(k ∈Z ).
∴cosα=cosB,sinα=sinB.
∴cos 2A=cosBcosα=cos 2B,sin 2A=sinBsinα=sin 2B. ∴B
B B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.
变式训练
在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=B
A tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=B
A B A B A B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++ 又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.
∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,
∴tanA·tanB>1.∴S<1.
思路2
例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2
x ). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角
2
x ，三角函数的种类为正切. 解：方法一：从右边入手，切化弦，得 tan(4π+2x )=2
sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2
x ,得 x x x x x x x x cos sin 1)2
sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2
+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
2
sin 2cos 2sin 2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x x x x x x x x x x x -+=-++=+
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos 2
x ,得 2
tan 4tan 12tan 4tan 2tan 12tan 1x x x x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练
已知α,β∈(0,
2
π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β, ①
3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β, ② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,
∴sin 2α=91.∵α∈(0,2
π),∴sinα=31. ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×
31=1. ∵α,β∈(0,
2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2
π. 解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α, 3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=2
3sin2α=3sinαcosα, ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin 2α-sinα·3sinαcosα=0.
∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2
π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,
23sin2α=sin2β, 两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(
2π-2β). ∵α∈(0,2π),∴tanα>0.∴tan(2
π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2
π. 结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2
π. ∴由tanα=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2
π.
例2 求证:α
ββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明:证法一:左边=β
αβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+
==-=-=-a
a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-β
ββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =β
ββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+ =
βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.
变式训练
1.求证:θ
θθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于
θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.
证明:原等式等价于
θθ
θθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+. 而上式左边 θ
θθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=m
m -+11tanα. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.
证明:由sinβ=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]
⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m 0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα ⇒tan(α+β)=
m m -+11tanα.
（四）知能训练
1.若sinα=13
5,α在第二象限,则tan 2a 的值为( ) A.5 B.-5 C.
51 D.51- 2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4
θ等于( ) A.21a + B.21a - C.21a +- D.2
1a --
3.已知sinθ=53-,3π<θ<2
7π,则tan 2θ_________________. 解答:
1.A
2.D
3.-3
（五）课堂小结
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.
（六）作业。