华师大版数学九年级上册24.第1课时锐角三角函数的定义及关系应用同步课件

BC . AC
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A
＝∠A'＝α，那么
BC AB
与
B'C' 有什么关系．能解释一下吗？
A' B'
B1 B
A
C
A1
C1
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
BC B'C '
AB A' B '
解： AB BC2 AC2 289 17，
A
sin A BC 8 , AB 17
cos A AC 15 , AB 17
tan A BC 8 . AC 15
B
8
C 15
┐
随堂演练
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则sinA的值是( C )
A.
3 4
B.4
3
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
例题讲授 例 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝15， BC＝8.试求出∠A的三个三角函数值.
BC AB
B'C ' A' B '
A
这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定
时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也
是一个固定值．
A1
B C
B1 C1
也可以用右图的情势来说明上面的问题：
B
视察右图中的Rt∆AB1C1、Rt∆AB2C2、 Rt∆AB3C3......，易知：
B3 B2 B1
同样，当锐角∠A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比也是固定的; 同样，当锐角∠A的大小确定时，∠A的对边与邻边的比也是固定的;
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A
的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA 即
A的对边 a
sin A
斜边
= c
斜边 c
Ab
B a 对边 C
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA 即
cos
A
A的对边 斜边
=
b c
A
斜边 c
B a 对边
b 邻边 C
把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tanA 即
tan
A
A的对边 A的邻边
=
a b
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
你能把它们找出来吗？说说你的理由。
图1
图2
获取新知
在24.1节中，如图，我们曾经使用两种方法求
出操场旗杆的高度，其中都出现了两个类似的直角
三角形，即△ABC∽△A'B'C'
按1:500的比例，就一定有
B 'C ' A'C ' 1 .
BC AC 500
1 500
就是它们的类似比
当然也有
B'C ' A'C '
∠A的正弦、余弦、正切，统称为∠A的三角函数
斜边 c
B a 对边
A b 邻边 C
正弦
sin
A
A的对边 斜边
a ，0 sin c
A1
余弦
cos A
A的邻边 斜边
b ，0 cos A 1 c
sin2 A
cos2 A
a
2
b
2
1
c c
你知道这两个不 等式成立的理由 吗？你猜猜正切 的取值范围
┐ ┐ ┐ ┐
A
C
Rt∆AB1C1∽Rt∆AB2C2∽Rt∆AB3C3......，
C1 C2 C3
所以 B1C1 B2C2 B3C3
AC1 AC2 AC3
包含锐角∠A的直角三角形都 类似，所以这些比值类比前 面的变形可知是相等的
在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的 大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
=
BC (BD)
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ 3 ，
4
求：sinA、cosB的值．
B
解： tan A BC 3 ,
AC 4 AC 8, BC tan A AC 6.
C
8
A
AB BC2 AC2 10.
sinA BC 6 3, cos B BC 3 ,
AB 10 5
AB 5
课堂小结
在Rt△ABC中
A的对边 a
sin A
斜边
= c
cos
A
A的对边 斜边
=
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
=
a b
斜边 c
B a 对边
A b 邻边 C
C.53
D.
4 5
2.在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足BC:CA:AB=5：12：13，
则cos B的值是( C )
A. 5
B. 12
C. 5
D.12
12
5
13
13
3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边
BC的3倍，则tan B的值是( D )
1
A. 3
B. 3
C. 2
4

D. 2 2
4．如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上， 另一边OA上有一点P(b，4)，若sin α＝ 4 ，则b＝__3__．
5
5.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空.
(1) tanA = (BC) = CD
B
AC (AD)
D
A
C
(AC) CD
(2) tanB=
第24章 解直角三角形
24.3.1 第1课时 锐角三角函数的定义及关系应用
知识回顾 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=___8___.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm, 则BC= 5 ，理由是30°所对直角边是斜边的一半 .
情景导入 下面图1和图2中各有一个比较陡的梯子，