【创新教程】2020版高考数学(文)总复习：课时冲关(450页,含答案)

第一章集合与常用逻辑用语
第1节集合
学生用书课时冲关一
[基础训练组]
1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )
A．{3} B．{5}
C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}
解析：C [A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.]
2．(2019·石嘴山市一模)集合P＝{|0≤＜3}，M＝{|||≤3}，则P∩M＝( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{|0≤＜3} D．{|0≤≤3}
解析：C [集合P＝{|0≤＜3}，M＝{|||≤3}＝{|－3≤≤3}，则P∩M＝{|0≤＜3}．] 3．(2019·张家口市模拟)如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S
解析：C [图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集的子集，即是∁I S的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S.故选C.]
4．(2019·漳州市模拟)满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：C [满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A可得：A＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}．
因此满足的集合A的个数为3.]
5．已知集合P＝{|2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：C [因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，
得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]
6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{|y ＝lg(－22)}，则∁R (A ∩B )＝( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞
解析：D [A ＝{y |y ＝x 2
－1}＝[0，＋∞)，B ＝{|y ＝lg(－22
)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12，
所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞.]
7．(2019·合肥市模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实
数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)
解析：A
[因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧
2a －1≥1，
2a －1≥1
2a ，
解得a ≥1，故选A.]
8．(2019·石家庄市模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－)的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )
A ．(1,2]
B ．[1,2]
C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)
解析：D [使x －2有意义的实数应满足－2≥0，∴≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－)中应满足1－＞0，∴＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]
9．已知集合A ＝{(，y )|，y ∈R ，2＋y 2＝1}，B ＝{(，y )|，y ∈R ，y ＝42－1}，则A ∩B 的元素个数是________．
解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝42
－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．
答案：3
10．已知集合A ＝{|4≤2≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{|4≤2≤16}＝{|22≤2≤24}＝{|2≤≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{|∈M ，且∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3，∈R }，B ＝{y |y ＝－(－1)2＋2，∈R }，则A ⊕B ＝________.
解析：由题意得A ＝{y |y ＝3，∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(－1)2＋2，∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．
答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)
12．(2019·淮南市一模)若A ＝{|a 2－a ＋1≤0，∈R }＝∅，则a 的取值范围是________． 解析：∵A ＝{|a 2－a ＋1≤0，∈R }＝∅，
∴a ＝0或⎩⎨
⎧
a >0Δ
a
2
－4a <0
，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．
答案：[0,4)．
[能力提升组]
13．集合U ＝R ，A ＝{|2－－2<0}，B ＝{|y ＝ln(1－)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A ．{|≥1}
B ．{|1≤<2}
C ．{|0<≤1}
D ．{|≤1}
解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{|1≤<2}．]
14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{|＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：B [当a ＝0时，无论b 取何值，＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，＝(－1)÷(－2)＝12；
当a ＝－1，b ＝2时，＝(－1)÷2＝－1
2
；
当a ＝1，b ＝－2时，＝1÷(－2)＝－1
2；
当a ＝1，b ＝2时，＝1÷2＝1
2
.
故P *Q ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．]
15．若集合A ＝{|(a －1)2＋3－2＝0，∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________． 解析：由题意知，方程(a －1)2＋3－2＝0，∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－1
8
.
答案：1或－1
8
16．(2019·西城区一模)某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．
解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有人， 同时会打乒乓球和排球的学生有y 人， 同时会打排球和篮球的学生有人，
∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球， ∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人， 会打乒乓球或排球的学生有16人， 会打篮球或打排球有22人， ∴＋y ＋＝24＋16＋22－40＝22.
∴该班会其中两项运动的学生人数是22. 答案：22
第2节 命题、充分条件与必要条件
学生用书 课时冲关二
[基础训练组]
1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0
解析：D [写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．] 2．(2019·晋城市一模)设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (－1)在定义域上为增函数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [因为函数y ＝log a (－1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1， 因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (－1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]
3．(2019·天津市模拟)“m ＝1”是“圆C 1：2＋y 2＋3＋4y ＋m ＝0与圆C 2“2＋y 2＝4的相交弦长为23”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3＋4y ＋m ＋4＝0的距离d ＝|m ＋4|
5
＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，
解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.]
4．(2019·大庆市模拟)已知条件p ：|－4|≤6，条件q ：≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(－∞，9]
C ．[1,9]
D ．[9，＋∞)
解析：D [由|－4|≤6，解得－2≤≤10，即p ：－2≤≤10；
又q ：≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]
5．(2019·洛阳市一模)若＞m 是2－3＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．(－∞，2]
C ．(－∞，1]
D ．[2，＋∞)
解析：C [由2－3＋2＜0得1＜＜2， 若＞m 是2－3＋2＜0的必要不充分条件， 则m ≤1，
即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]
6．(2019·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin
θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2
＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]
7．(2019·新余市模拟)“m ＞1”是“函数f ()＝3＋m －33在区间[1，＋∞)无零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [因为函数f ()＝3＋m －33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m
－33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞1
2
，
故“m ＞1”是“函数f ()＝3＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.] 8．(2019·焦作市质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：B [若|q |＝
2，则q 2＝2，S 6＝
a 1
1－q 6
1－q
＝
a 11－q 2
1＋q 2＋q 41－q
＝
7·a 11－q 21－q ＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时
a 11－q 61－q ＝7·a 11－q 2
1－q
，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故
错误命题的个数为2.]
9．(2019·西宁市模拟)《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．
①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件
解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．
答案：①
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．
解析：由正弦定理，得a sin A ＝
b
sin B
，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.
答案：充要
11．(2019·曲靖市一模)若“＞a ”是“2－5＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．
解析：由2－5＋6≥0得≥3或≤2，
若“＞a ”是“2－5＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
12．(2019·日照模拟)已知条件p ：22－3＋1≤0，条件q ：2－(2a ＋1)＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：由22－3＋1≤0，得1
2
≤≤1，
∴命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |12≤x ≤1.
由2－(2a ＋1)＋a (a ＋1)≤0，得a ≤≤a ＋1， ∴命题q 为{|a ≤≤a ＋1}．
非p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x ＞1或x ＜12，
非q 对应的集合B ＝{|＞a ＋1或＜a }． ∵非p 是非q 的必要不充分条件， ∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤1
2
，
即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，12.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12
[能力提升组]
13．(2019·合肥市模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设
A ，
B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，
根据祖暅原理可知，p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A [设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故
p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一
些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题
b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]
14．(2019·保定市模拟)已知条件p ：
4
x －1
≤－1，条件q ：2＋＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－2，－12
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2 C ．[－1,2]
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
2，12∪[2，＋∞) 解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3
x －1≤0，解得－3≤＜1；
由2＋＜a 2－a ，得2＋－a 2＋a ＜0.
由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的取值集合是条件p 对应的取值集合的真子集．
设f ()＝2＋－a 2
＋a ，如图，则⎩⎨
⎧
f 3a 2＋a ＋6≥0，f 1
a 2＋a ＋2≥0，
∴⎩
⎨⎧
－2＜a ＜3－1≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]
15．给出下列命题：
①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f ()＝|－a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m ＝3”是“直线(m ＋3)＋my －2＝0与直线m －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f ()＝|－a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两
条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B
sin A
＝3，
若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝3
2，由
于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.
答案：①④
16．设命题p ：2x －1
x －1<0，命题q ∶2－(2a ＋1)＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则
实数a 的取值范围是________．
解析：2x －1x －1<0⇒(2－1)(－1)<0⇒12
<<1，
2
－(2a ＋1)＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤≤a ＋1.
由题意，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1⊆[a ，a ＋1]．
故⎩⎨
⎧
a ≤12，
a ＋1≥1，
解得0≤a ≤1
2
.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12
第3节量词与逻辑联结词
学生用书课时冲关三
[基础训练组]
1．(2019·安阳市模拟)已知命题p：存在0∈(－∞，0)，20<30，则非p为( )
A．存在0∈[0，＋∞)，20<30
B．存在0∈(－∞，0)，20≥30
C．任意0∈[0，＋∞)，2＜3
D．任意∈(－∞，0)，2≥3
解析：D [由特称命题的否定为全称命题，可得
命题p：存在0∈(－∞，0)，20<30，
则非p为：任意∈(－∞，0)，2≥3，故选D.]
2．(2019·济南市一模)若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( )
A．命题p与命题q都是真命题
B．命题p与命题q都是假命题
C．命题p是真命题，命题q是假命题
D．命题p是假命题，命题q是真命题
解析：D [命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，
则p是假命题，q是真命题，故选D.]
3．(2019·濮阳市一模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p：若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α；命题q：若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.那么下列命题中的真命题是( )
A．p且q B．p或非q
C．非p且q D．非p且非q
解析：C [直线垂直于平面内的一条直线，不能确定该直线与平面垂直，命题p是假命题；命题q满足直线与平面平行的性质定理，命题q是真命题；所以非p是真命题，可得非p且q 是真命题．故选C.]
4．已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a＜c＜b；命题q：“2－－6＞0”是“＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A．p且q B．p且(非q)
C．(非p)且q D．(非p)且(非q)
解析：C [因为0＜a＝0.30.3＜0.30＝1，b＝1.20.3＞1.20＝1，c＝log1.20.3＜log1.21＝0，所以c＜a
＜b ，故命题p 为假命题，非p 为真命题；由2－－6＞0可得＜－2或＞3，故“2－－6＞0”是“＞4”的必要不充分条件，q 为真命题，故(非p )且q 为真命题，选C.]
5．(2019·沈阳市模拟)命题p ：“任意∈N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤1
2”的否定为( )
A ．任意∈N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞1
2
B ．任意∉N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞1
2
C ．存在0∉N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫120＞1
2
D ．存在0∈N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫120＞1
2
解析：D [命题p 的否定是把“任意”改成“存在”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫120＞1
2
”即可，
故选D.]
6．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p 或q 是真命题，
p 且q 是假命题，(非q )且r 是真命题，则选拔赛的结果为( )
A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
解析：D [(非q )且r 是真命题意味着非q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p 或q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p 且q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.]
7．(2019·玉溪市模拟)有四个关于三角函数的命题：
p 1：存在∈R ，sin ＋cos ＝2； p 2：存在∈R ，sin 2＝sin ；
p 3：任意∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，π2，
1＋cos 2x
2
＝cos ； p 4：任意∈(0，π)，sin ＞cos .
其中真命题是( ) A ．p 1，p 4
B ．p 2，p 3
C ．p 3，p 4
D ．p 2，p 4
解析：B [因为sin ＋cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4，所以sin ＋cos 的最大值为2，
可得不存在∈R ，使sin ＋cos ＝2成立，得命题p 1是假命题； 因为存在＝π(∈)，使sin 2＝sin 成立，故命题p 2是真命题； 因为1＋cos 2x 2＝cos 2，所以
1＋cos 2x 2＝|cos |，结合∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，π2得cos ≥0 由此可得
1＋cos 2x
2
＝cos ，得命题p 3是真命题； 因为当＝π4时，sin ＝cos ＝2
2
，不满足sin ＞cos ，
所以任意∈(0，π)，使sin ＞cos 不成立，故命题p 4是假命题．故选B.] 8．(2019·瓦房店市一模)下列说法错误的是( )
A ．命题“若2－4＋3＝0，则＝3”的逆否命题是“若≠3，则2－4＋3≠0”
B ．“＞1”是“||＞0”的充分不必要条件
C ．命题p ：“存在∈R ，使得2＋＋1＜0”，则非p ：“任意∈R ，2＋＋1≥0”
D ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
解析：D [命题“若2－4＋3＝0，则＝3”的逆否命题是“若≠3，则2－4＋3≠0”，故A 正确；
由＞1，可得||＞1＞0，反之，由||＞0，不一定有＞1，如＝－1， ∴“＞1”是“||＞0”的充分不必要条件，故B 正确；
命题p ：“存在∈R ，使得2＋＋1＜0”，则非p ：“任意∈R ，2＋＋1≥0”，故C 正确； 若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错误．] 9．(2019·银川市模拟)命题“存在0∈R,20＞3”的否定是________．
解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在0∈R,20＞3”的否定是：“任意∈R,2≤3”．
答案：任意∈R,2≤3
10．若命题“任意∈R ，2－－1＜0”是真命题，则的取值范围是________．
解析：命题“任意∈R ，2－－1＜0”是真命题，当＝0时，则有－1＜0；当≠0时，则有＜0且Δ＝(－)2－4××(－1)＝2＋4＜0，解得－4＜＜0，综上所述，实数的取值范围是(－4,0]．
答案：(－4,0]
11．(2019·西宁市一模)命题“存在∈R ，2－(m －1)＋1＜0”为假命题，则实数m 的取值范
围为________．
解析：命题“存在∈R ，2－(m －1)＋1＜0”为假命题， 可得任意∈R ，2－(m －1)＋1≥0恒成立， 即有Δ＝(m －1)2－4≤0，解得－1≤m ≤3， 则实数m 的取值范围为[－1,3]． 答案：[－1,3]
12．若命题p ：关于的不等式a ＋b >0的解集是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x |x >－b a ，命题q ：关于的不等式(－a )(－
b )<0的解集是{|a <<b }，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”、“ 非q ”中，是真命题的有________．
解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“非p ”为真、“非q ”为真．
答案：非p ，非q
[能力提升组]
13．已知命题p 1：存在0∈R ，使得20＋0＋1<0成立；p 2：对任意∈[1,2]，2
－1≥0.以下命题为
真命题的是( )
A ．(非p 1)且(非p 2)
B ．p 1或(非p 2)
C ．(非p 1)且p 2
D ．p 1且p 2
解析：C [∵方程20＋0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴20＋0＋1<0无解，故命题p 1为
假命题，非p 1为真命题；
由2－1≥0，得≥1或≤－1.
∴对任意∈[1,2]，2－1≥0，故命题p 2为真命题， 非p 2为假命题．
∵非p 1为真命题，p 2为真命题， ∴(非p 1)且p 2为真命题，选C.]
14．已知命题p ：任意∈R,2＋12x ＞2，命题q ：存在0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2，使sin 0＋cos 0＝12，则下列命
题中为真命题的是( )
A ．非p 且非q
B ．非p 且q
C ．p 且非q
D ．p 且q
解析：A [命题p ：任意∈R,2＋1
2
x ＞2，当＝0时，命题不成立．所以命题p 是假命题，则
非p 是真命题；命题q ：任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin ＋cos ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4∈[1，2]，所以存在0∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2，使sin 0＋cos 0＝12，不正确，则非q 是真命题．所以非p 且非q .故选A.] 15．若“任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，π4，m ≤tan ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．
解析：由“任意∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π4，π4，m ≤tan ＋1”为真命题，可得－1≤tan ≤1，∴0≤tan ＋1≤2，
∴实数m 的最大值为0.
答案：0
16．(2019·洛阳市一模)已知p ：任意∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
14，12，2＜m (2＋1)，q ：函数f ()＝4＋2＋1＋m －1
存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．
解析：已知p ：任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2＜m (2
＋1)，故m ＞2x x 2＋1.令g ()＝2x x 2＋1，则g ()在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12递增，
所以g ()≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4
5
，
故p 为真时：m ＞4
5
；
q ：函数f ()＝4＋2＋1＋m －1＝(2＋1)2＋m －2，
令f ()＝0，得2＝2－m －1.
若f ()存在零点，则2＝2－m －1>0， 解得m ＜1， 故q 为真时，m ＜1.
若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
45，1.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，1
第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示 学生用书 课时冲关四
[基础训练组]
1．若函数y ＝f ()的定义域为M ＝{|－2≤≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f ()的图像可能是( )
解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．]
2．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg 的定义域和值域相同的是( )
A ．y ＝
B ．y ＝lg
C ．y ＝2
D ．y ＝
1x
解析：D [函数y ＝10lg 的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1
x
的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故
选D.]
3．已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1
x ，则f ()＝( )
A ．(＋1)2(≠1)
B ．(－1)2(≠1)
C ．2－＋1(≠1)
D ．2＋＋1(≠1)
解析：C [f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1
x ＝
x ＋12
x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1
x
＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，
即f ()＝2－＋1(≠1)．故选C.]
4．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f ()＝⎩⎨
⎧
2x －1
－2，x ≤1
－log 2x ＋1
x >1
，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A ．－7
4
B ．－54
C ．－34
D ．－14
解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解； 当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－7
4
，故选A.]
5．(2019·孝义市模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧
x 2，x ≤1
x ＋4
x －3，x >1
，( )
A ．[1，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．[0,1)∪(1，＋∞)
解析：B
[由f ()＝⎩⎨⎧
x 2，x ≤1
x ＋4
x －3，x >1
，知
当≤1时，2≥0； 当＞1时，＋4
x
－3≥2
x ·4
x －3＝4－3＝1，当且仅当＝4
x
，即＝2时取“＝”． 取并集得f ()的值域是[0，＋∞)．]
6．图中的图像所表示的函数的解析式f ()＝________.
解析：由图像知每段为线段．
设f ()＝a ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解，得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝0，⎩⎨⎧
a ＝－3
2，b ＝3.
答案：f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧
3
2
x ，0≤x ≤13－3
2x ，1＜x ≤2
7．若函数y ＝f ()的值域是[1,3]，则函数F ()＝1－2f (＋3)的值域是________．
解析：∵1≤f ()≤3，∴－6≤－2f (＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (＋3)≤－1，即F ()的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]
8．(2019·东莞市模拟)已知函数f ()＝a －b (a ＞0)，f (f ())＝4－3，则f (2)＝__________. 解析：∵f ()＝a －b ，
∴f (f ())＝f (a －b )＝a (a －b )－b ＝a 2－ab －b ＝4－3.
∴⎩⎨⎧
a 2
＝4ab ＋b ＝3
，且a ＞0，∴a ＝2，b ＝1. ∴f ()＝2－1，∴f (2)＝2×2－1＝3. 答案：3
9．二次函数f ()满足f (＋1)－f ()＝2，且f (0)＝1. (1)求f ()的解析式； (2)解不等式f ()＞2＋5.
解：(1)设二次函数f ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.
把f ()的表达式代入f (＋1)－f ()＝2，有
a (＋1)2＋
b (＋1)＋1－(a 2＋b ＋1)＝2.
∴2a ＋a ＋b ＝2. ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f ()＝2－＋1.
(2)由2－＋1＞2＋5，即2－3－4＞0， 解得＞4或＜－1.
故原不等式解集为{|＞4，或＜－1}． 10．已知函数f ()＝·||－2. (1)求函数f ()＝0时的值；
(2)画出y ＝f ()的图像，并结合图像写出f ()＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围．
解：(1)由f ()＝0可解得＝0，＝±2，所以函数f ()＝0时，的值为－2,0,2. (2)f ()＝||－2，
即f ()＝⎩
⎨⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2－2x ，x <0.
图像如图，由图像可得实数m ∈(－1,1)．
[能力提升组]
11．(2019·遂宁市模拟)设函数f ()＝x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4x 的定义域为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，4 B ．[2,4]
C ．[1，＋∞)
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，2 解析：B [∵函数f ()＝x －1的定义域为[1，＋∞)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x
2≥14x ≥1
，解得2≤≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4x 的定义域为：[2,4]．]
12．已知f ()＝⎩⎨
⎧
1x ＋2，－1≤x ≤0，
x 2
－2x ，0<x ≤1，
若f (2m －1)<1
2
，则m 的取值范围是( )
A ．m >1
2
B ．m <1
2
C ．0≤m <1
2
D.1
2
<m ≤1
解析：D
[由题得⎩⎨⎧
－1≤2m －1≤0，
12m ＋1<1
2
，
或⎩⎨
⎧
0<2m －1≤1，2m －12
－2
2m －1<1
2
，
解得1
2
<m ≤1，故选D.]
13．若函数f ()＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知2＋2a －a ≥0恒成立．∴2＋2a －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]
14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)满足下列关系：y ＝x 2
200＋m ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车
速(千米/时)的关系图．
(1)求出y 关于的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图像，
得⎩⎪⎨⎪⎧
402
200
＋40m ＋n ＝8.4，602
200＋60m ＋n ＝18.6，
解得m ＝1
100
，n ＝0，
所以y ＝x 2200＋x
100
(≥0)．
(2)令x 2200＋x
100≤25.2，得－72≤≤70.∵≥0，
∴0≤≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．
第2节 函数的单调性与最值 学生用书 课时冲关五
[基础训练组]
2．已知函数f ()＝2a 2＋4(a －3)＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34 解析：D [当a ＝0时，f ()＝－12＋5，在(－∞，3)上是减函数；
当a ≠0时，由⎩⎨⎧
a >0
－
4
a －3
4a
≥3，得0<a ≤3
4
.
综上，a 的取值范围是0≤a ≤3
4
.]
3．(2019·聊城市模拟)函数y ＝ln (2－4＋3)的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，2)
D ．(－∞，1)
解析：D [令t ＝2－4＋3＞0，求得＜1，或＞3， 故函数的定义域为{|＜1，或＞3}，且y ＝ln t .
由二次函数的性质得，t 在区间(－∞，1)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数， 又y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，根据复合函数单调性的判断方法，知函数y ＝ln (2－4＋3)的单调减区间为(－∞，1)．]
4．已知f ()＝⎩⎨⎧
3a －1x ＋4a ，x <1，
log a x ，x ≥1
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫17，1 解析：C
[由题意知⎩⎨⎧
3a －1<0，
0<a <1，
3a －1
1＋4a ≥log a 1，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a <1
3
，
0<a <1，a ≥17，
所以17≤a <1
3
.故选C.]
5．已知函数f ()＝2－2a ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g ()＝
f x
x
在区间(1，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
解析：D [由题意知a <1，∴g ()＝f x x ＝＋a
x
－2a ，当a <0时，显然g ()在区间(1，＋∞)
上单调递增，当a >0时，g ()在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g ()在(1，＋∞)上一定是增函数．]
6．(2019·日照市模拟)已知奇函数f ()为R 上的减函数，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的取值范围是
________.
解析：∵奇函数f ()为R 上的减函数， ∴不等式f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，
等价为f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )，
即3a 2
≤1－2a ，即3a 2
＋2a －1≤0，得(a ＋1)(3a －1)≤0，得－1≤a ≤1
3
，
即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.
答案：⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤－1，13
7．设函数f ()＝ax ＋1
x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．
解析：f ()＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1
x ＋2a
，
定义域为(－∞，－2a )∪(－2a ，＋∞)， ∵函数f ()在区间(－2，＋∞)上是增函数，
∴⎩⎨⎧ 2a 2
－1＞0－2a ≤－2即⎩
⎨⎧
2a 2
－1＞0
a ≥1，解得a ≥1.
答案：[1，＋∞)
8．(2019·沈阳市一模)已知函数f ()＝|log 3|，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若
f ()在[m 2，n ]的最大值为2，则n
m
＝________.
解析：∵f ()＝|log 3|，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1. ∵f ()在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f ()在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数， ∴－log 3m 2＝2，或log 3n ＝2.
若－log 3m 2
＝2是最大值，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．此时n m ＝3÷
1
3
＝9.
同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝1
9，
此时－log 3m 2＝4，不满足题意条件． 综合可得 m ＝13，n ＝3，n
m ＝9.
答案：9 9．已知f ()＝
x
x －a
(≠a )，
(1)若a ＝－2，试证f ()在(－∞，－2)内单调递增；
(2) 且f ()在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取1<2<－2， 则f (1)－f (2)＝x 1x 1＋2－x 2
x 2＋2
＝
2x 1－x 2
x 1＋2x 2＋2
.
∵(1＋2)(2＋2)>0，1－2<0， ∴f (1)<f (2)．
∴f ()在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<1<2，则
f (1)－f (2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a
＝a x 2－x 1
x 1－a x 2－a
.
∵a >0，2－1>0，
∴要使f (1)－f (2)>0，只需(1－a )(2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．
10．(2019·西安市模拟)已知定义在R 上的函数f ()满足： ①f (＋y )＝f ()＋f (y )＋1，②当>0时，f ()>－1. (1)求f (0)的值，并证明f ()在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于的不等式f (2＋2)＋f (1－)>4. 解：(1)令＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取1>2， 则1－2>0，f (1－2)>－1.
又f (1)＝f ((1－2)＋2)＝f (1－2)＋f (2)＋1>f (2)， 所以，函数f ()在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (2＋2)＋f (1－)>4得f (2＋＋1)>f (3)，
又函数f ()在R 上是增函数，故2＋＋1>3，解得<－2或>1， 故原不等式的解集为{|<－2，或>1}．
[能力提升组]
11．(2019·天津市一模)已知函数f ()是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上对于任
意两个不相等的实数1，2恒有f x 1
f x 2
x 1－x 2
<0成立，若实数a 满足f (log 6a )≥f (－1)，则a 的
取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16，6 B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫16，＋∞ C ．(0,6]
D ．(－∞，6]
解析：A [根据题意，函数f ()在区间[0，＋∞)上有f x 1
f x 2
x 1－x 2
<0成立，
则函数f ()在区间[0，＋∞)上是减函数，
又函数f ()为偶函数，则f (log 6a )≥f (－1)等价于f (|log 6a |)≥f (1)， 即|log 6a |≤1，解得－1≤log 6a ≤1，所以1
6
≤a ≤6.]
12．设函数y ＝f ()在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数，定义函数f ()＝
⎩⎨
⎧
f x f x ≤k ，k ，f x >k ，
取函数f ()＝2－||
.当＝12时，函数f ()的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞)
解析：C [由f ()>12，得－1<<1.由f ()≤1
2
，得≤－1或≥1.
所以f 1
2
()＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x ，x ≥1，
12，－1<x <1，
2x
，x ≤－1.
故f 1
2
()的单调递增区间为(－∞，－1)．]
13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧
a ，a ≤
b ，
b ，a >b .
设函数f ()＝－＋3，g ()＝log 2，则函
数h ()＝min{f ()，g ()}的最大值是________．
解析：依题意，h ()＝⎩⎨⎧
log 2x ，0<x ≤2，
－x ＋3，x >2.
当0<≤2时，h ()＝log 2是增函数，当>2时，h ()＝3
－是减函数，∴h ()在＝2时，取得最大值h (2)＝1.
答案：1
14．已知f ()是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有
f a
f b
a ＋b
>0成立．
(1)判断f ()在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x －1；
(3)若f ()≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取1，2∈[－1,1]，且1<2， 则－2∈[－1,1]，∵f ()为奇函数， ∴f (1)－f (2)＝f (1)＋f (－2) ＝
f x 1
f x 2x 1
x 2
·(1－2)，
由已知得
f x 1
f
x 2x 1
x 2
>0，1－2<0，
∴f (1)－f (2)<0，即f (1)<f (2)． ∴f ()在[－1,1]上单调递增． (2)∵f ()在[－1,1]上单调递增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋12＜1x －1
，－1≤x ＋1
2
≤1，
－1≤1x －1
≤1.∴－3
2
≤<－1.
所以，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |－32≤x <－1.
(3)∵f (1)＝1，f ()在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f ()≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.
①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．
②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须有g (－1)≥0且
g (1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.
第3节 函数的奇偶性与周期性
学生用书 课时冲关六
[基础训练组]
1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－3 B ．y ＝2|| C ．y ＝－2
D ．y ＝log 3(－)
解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当＜0时，y ＝2||
＝2－
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当＜0时，y ＝－2
＝1x 2是增函数，不
满足条件；选项D ，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]
2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f ()在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (－1)＞0，则的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．(－∞，－3)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．(－1,3)
解析：D [由偶函数f ()在[0，＋∞)单调递减，
f (2)＝0，
得f ()＝f (||)，
因为f (－1)＞0，则f (|－1|)＞f (2)，
即|－1|＜2，解得－1＜＜3，即的取值范围是(－1,3)．故选D.]
3．(2019·保定市一模)已知函数f ()＝⎩⎨⎧
1，x >0
－1，x <0，
设g ()＝
f x
x 2
，则g ()是( ) A ．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 B ．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 C ．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 D ．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减
解析：B [根据题意，g ()＝f x
x
2
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x 2
，x >0，－1x 2
，x <0，
其定义域关于原点对称．
设＞0，则－＜0，g (－)＝－
1
x 2＝－1x 2＝－g ()；
设＜0，则－＞0，g (－)＝1
x
2＝1
x
2＝
－g ()，故g ()为奇函数．又g ()＝1
x
2＝－2在区间(0，＋∞)上递减，则g ()在(－∞，0)上也递减．故选B.]
4．已知f ()＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
21－x ＋a 是奇函数，则使f ()<0的的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：A [∵f ()＝lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫
21－x ＋a 是奇函数， ∴f (－)＋f ()＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f ()＝lg 1＋x 1－x ，由f ()＝lg
1＋x 1－x <0，得0<1＋x
1－x
<1，解得－1<<0，故选A.]
5．(2019·安庆市模拟)定义在R 上的奇函数f ()满足：f (＋1)＝f (－1)，且当－1＜＜0时，f ()＝2－1，则f (log 220)等于( )
A.14 B ．－14
C ．－15
D.15
解析：D [∵f (＋1)＝f (－1)，∴函数f ()是周期为2的周期函数， 又∵log 232＞log 220＞log 216，∴4＜log 220＜5，
∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
log 254
＝－f ⎝
⎛
⎭⎪⎫－log 254.
又∵∈(－1,0)时，f ()＝2－1，∴f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－log 254
＝－15，f (log 220)＝1
5
.故选D.]
6．已知f ()，g ()分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f ()－g ()＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，则f (1)，g (0)，g (－
1)之间的大小关系是________．
解析：在f ()－g ()＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12中，用－替换，得f (－)－g (－)＝2，由于f ()，g ()分别是定义在R 上的
奇函数和偶函数，所以f (－)＝－f ()，g (－)＝g ()，因此得－f ()－g ()＝2.于是解得f ()＝2－x －2x
2，g ()
＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54
，故f (1)>g (0)>g (－1)．
答案：f (1)>g (0)>g (－1)
7．(2019·惠州市模拟)已知函数f ()＝2－2－，则不等式f (2＋1)＋f (1)≥0的解集是________． 解析：根据题意，有f (－)＝2－－2＝－(2－2－)＝－f ()，则函数f ()为奇函数， 又函数f ()在R 上为增函数，
f (2＋1)＋f (1)≥0等价于f (2＋1)≥－f (1)，
即f (2＋1)≥f (－1)，
所以2＋1≥－1，解得≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)
8．(2019·泰安市模拟)定义在R 上的函数f ()满足f (＋y )＝f ()＋f (y )，f (＋2)＝－f ()且f ()在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f ()是周期函数；②f ()的图像关于＝1对称；③f ()在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出;)．
解析：f (＋y )＝f ()＋f (y )对任意，y ∈R 恒成立．令＝y ＝0， 所以f (0)＝0.令＋y ＝0，所以y ＝－，所以f (0)＝f ()＋f (－)． 所以f (－)＝－f ()，所以f ()为奇函数．
因为f ()在∈[－1,0]上为增函数，又f ()为奇函数，所以f ()在[0,1]上为增函数． 由f (＋2)＝－f ()⇒f (＋4)＝－f (＋2)⇒f (＋4)＝f ()，所以周期T ＝4，即f ()为周期函数．
f (＋2)＝－f ()⇒f (－＋2)＝－f (－)．
又因为f ()为奇函数，所以f (2－)＝f ()，所以函数关于＝1对称． 由f ()在[0,1]上为增函数，又关于＝1对称，所以f ()在[1,2]上为减函数． 由f (＋2)＝－f ()，令＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)． 答案： ①②③④
9．已知函数f ()＝⎩⎨⎧
－x 2＋2x ，x ＞0，
0，x ＝0，
x 2
＋mx ，x ＜0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f ()在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设<0，则－>0，
所以f (－)＝－(－)2＋2(－)＝－2－2. 又f ()为奇函数，所以f (－)＝－f ()， 于是<0时，f ()＝2＋2＝2＋m ， 所以m ＝2.
(2)由(1)知f ()在[－1,1]上是增函数，
要使f ()在[－1，a －2]上单调递增．
结合f ()的图像知⎩⎨⎧
a －2>－1，
a －2≤1，
所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．
10．已知函数f ()是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线＝1对称． (1)求证：f ()是周期为4的周期函数；
(2)若f ()＝x (0<≤1)，求∈[－5，－4]时，函数f ()的解析式． 解：(1)证明：由函数f ()的图像关于直线＝1对称， 有f (＋1)＝f (1－)，即有f (－)＝f (＋2)． 又函数f ()是定义在R 上的奇函数， 故有f (－)＝－f ()．故f (＋2)＝－f ()． 即f ()是周期为4的周期函数．
(2)由函数f ()是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. ∈[－1,0)时，－∈(0,1]，f ()＝－f (－)＝－x . 故∈[－1,0]时，f ()＝－x . ∈[－5，－4]时，＋4∈[－1,0]，
f ()＝f (＋4)＝－－x －4.
从而，∈[－5，－4]时，函数f ()＝－－x －4.
[能力提升组]
11．函数f ()满足f ()·f (＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( ) A ．13 B ．2 C.2
13
D.13
2
解析：D [∵f ()·f (＋2)＝13，∴f (＋2)＝13f x
，
则f (＋4)＝13f x ＋2＝13
13
f x
＝f ()，
故函数f ()的周期为4， ∴f (99)＝f (3)＝
13f 1＝13
2
.]
12．(2019·佛山市一模)已知f ()＝2＋a
2x 为奇函数，g ()＝b －log 2(4＋1)为偶函数，则f (ab )＝
( )
A.174
B.52 C ．－154
D ．－32
解析：D [根据题意，f ()＝2＋a
2
x 为奇函数，则有f (－)＋f ()＝0，
即(2－
＋a
2－x )＋⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋a 2x ＝0，解得a ＝－1.
因为g ()＝b －log 2(4＋1)为偶函数，则g ()＝g (－)， 即b －log 2(4＋1)＝b (－)－log 2(4－＋1)，
解得b ＝1，则ab ＝－1，f (ab )＝f (－1)＝2－1
－12－1＝－3
2
.]
13．若函数f ()是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满
足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．
解析：因为函数f ()是偶函数，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．
则有f (ln t )＋f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ln 1t <2f (1)，即2f (ln t )<2f (1)，
等价于f (|ln t |)<f (1)，因为函数f ()在区间[0，＋∞)上是单调增函数，所以|ln t |<1，解得1
e
<t <e.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e
14．设f ()是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (＋2)＝－f ()，当0≤≤1时，f ()＝. (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤≤4时，求f ()的图像与轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f ()的单调区间． 解：(1)由f (＋2)＝－f ()，得
f (＋4)＝f [(＋2)＋2]＝－f (＋2)＝f ()，
∴f ()是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)
＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f ()是奇函数与f (＋2)＝－f ()， 得f [(－1)＋2]＝－f (－1)＝f [－(－1)]， 即f (1＋)＝f (1－)．
从而可知函数y ＝f ()的图像关于直线＝1对称．
又当0≤≤1时，f ()＝，且f ()的图像关于原点成中心对称，则f ()的图像如图所示．
设当－4≤≤4时，f ()的图像与轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×2×1＝4.
(3)函数f ()的单调递增区间为[4－1,4＋1](∈)， 单调递减区间为[4＋1,4＋3](∈)．
第4节 二次函数与幂函数 学生用书 课时冲关七
[基础训练组]
1．(2019·呼和浩特市模拟)已知点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ，18在幂函数f ()＝(a －1)
b 的图像上，则函数f ()是( )
A ．定义域内的减函数
B ．奇函数
C ．偶函数
D ．定义域内的增函数
解析：B [∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ，18在幂函数f ()＝(a －1)
b 的图像上，∴a －1＝1，解得a ＝2，∴2b ＝18，
解得b ＝－3，∴f ()＝－3，
∴函数f ()是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．] 2．(2019·唐山市一模)已知a ＝3－23，b ＝2－4
3，c ＝ln 3，则( )
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．b ＜a ＜c
解析：D [∵a ＝3－23，b ＝2－43＝4－23，又y ＝－2
3在(0，＋∞)上单调递减．
∴b ＜a ＜1，又c ＝ln 3＞1，则b ＜a ＜c ，故选D.]
3．幂函数y ＝m 2－4m (m ∈)的图像如图所示，则m 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：C [∵y ＝m 2－4m (m ∈)的图像与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m <0，即0<m <4， 又m ∈，∴m ＝1或2或3 又∵函数的图像关于y 轴对称， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.]
4．已知函数f ()＝a 2＋(a －3)＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]
D ．[－3,0]
解析：D [当a ＝0时，f ()＝－3＋1，满足题意；当a >0时，函数f ()在对称轴右侧单调递增，
不满足题意；当a <0时，函数f ()的图像的对称轴为＝－
a －3
2a
，∵函数f ()在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－a －3
2a
≤－1，得－3≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是[－3,0]．]
5．(2018·黔东南州一模)二次函数y ＝－2
－4(＞－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12的交点个数有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
解析：C [因为二次函数y ＝－2－4＝－(＋2)2＋4(＞－2)，
且＝－1时，y ＝－2－4＝3，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝2，
则在坐标系中画出y ＝－2
－4(＞－2)与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12的图像：
由图可得，两个函数图像的交点个数是1个．]
6．若函数f ()＝2－a －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．
解析：函数f ()＝2－a －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，
∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ＞4－3a ，－a ＝1或⎩
⎨⎧
－a ≤4－3a ，
4－3a ＝1，
解得a ＝1. 答案：1
7．已知幂函数y ＝m 2－2m －3(m ∈N ＋)的图像与轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝________.
解析：由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3＜0，由m 2－2m －3＜0得－1＜m ＜3，又
m ∈N ＋，故m ＝1,2.
当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3， ∴m ＝2.。