球的表面积与体积 2

解：在RtOO' A中，OA2 O'O2 O' A2
R2 ( R)2 (2 3)2
2
3
R 4
3
A
V 4 R2 256 , S 4R2 64
3
81
9
A
O C
O
B O
C
O
B
课外作业
2. 过球面上三点A、B、C的截面和球心O的距离等于球 的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3，求球的体积.
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求
其内切球半径r与外接球半径R.
P
D
O
A
C
O1
B
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球
球心到多面体各顶点的距离均相等
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正多面体外接球的半径是高的 3 ，内切球半径
2.在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分 别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.C来自DBA
o.
o.
OA=25
不符合实际情况
分类讨论思想
S 2500cm2
例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
6， 求 半 球 的 半 径.
4.长 方 体 的 共 顶 点 的 三 个侧 面 面 积 分 别 为3，
5，15， 求 它 的 外 接 球 表 面 积.
长方体对角线
l2 a2 b2 c2
球与旋转体的“接切”问题 轴截面
1.半圆O的直径为直角梯形垂直于底的 腰，且切AB、BC、CD于A、E、D 点，将其绕AD所在直线旋转一周， 得到一个球与一个圆台，若球的表面 积与圆台侧面积的比为3:4，求球的 体积与圆台体积之比.
2.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面 是正三角形，在此容器内注入水并且 放入一个半径为r的铁球，这时水面 恰好和球面相切，问将球从圆锥内取 出后，圆锥内水平面的高是多少？
此页2不讲，留给以后专题课
锥体截面性质
平行于底面的截面与底面相似，且
S1
S截 (h1 )2
S
S底 h
当平行于底面的截面过棱锥高 的中点时，这个截面常被称为
S中
截

?
中截面，思考：
S底
锥体截面问题
1.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积 与底面面积的比是1:3，这截面把圆锥母线分成为 两段的比是多少？
合，则正方体对角线与球的直径相等。 D
略 解 ：RtB1D1D中 :
A
(2R)2 a2 ( 2a)2 , 得
D1
A1
R 3a
D
2
A
S 4R2 3a2
D1
A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
球堆问题
化归为以各球球心为 顶点的多面体问题
1.把半径为R的四个球垒成两层放在桌面，下 层放三个，上层放一个，两两相切，求上 层小球最高点离桌面的距离.
2.四个半径为R的大球上层一个，下层三个两 两相切叠放在一起，在它们围成的空隙内 有一个小球与这四个大球都外切，另有一 个更大的球与这四个大球都内切，求小球 的半径r和更大球的半径R’.
球的表面积和体积
S球面 4 R2
V球

4
3
R3
截面问题 要点：准确画图，利用基本三角形
1.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的 中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面 积.
R OA 8,O"O 4,
O
A
O" A2 OA2 O"O2 48
”.
o
S圆O" r 2 48
变式：棱锥的底面面积为150cm2，平行于底面的截 面面积为54cm2，若底面和截面的距离为14cm， 求这个棱锥的高
球与正方体的“接切”问题
1.一 个 正 方 体 的 顶 点 都 在球 面 上 ， 它 的 棱 长 是4cm， 求 这 个 球 队 体 积. 2.钢 球 直 径5cm， 把 钢 球 放 入 一 个 正 方体 的 有 盖 纸 盒 中 ， 至 少 要 用多 少 纸 ？ 3.半 球 内 有 一 内 接 正 方 体， 正 方 体 的 一 个 面 在 半 球 的 底 面 圆 上 ， 若正 方 体 的 一 边 长 为
3、在半径为13cm的球面上有A、B、C三点，AB＝6cm， BC＝8cm，CA＝10cm，求经过A、B、C三点的截面 与球心O之间的距离.
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积和体积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方
体都是中心对称图形可知，它们中心重
是高的
1 4
，
4
4、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不
重合
5、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理
6、体积分割是求内切球半径的通用做法
四面体与球的“接切”问题
1.正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 为a， 侧 棱 长 为 2a (1)求 它 的 外 接 球 的 体 积 ； (2)求 它 的 内 切 球 的 表 面 积. 2.在 半 径 为15的 球 内 有 一 个 底 面 边 长为12 3 的 内 接 正 三 棱 锥 ， 求 此正 三 棱 锥 的 体 积. 3.在 三 棱 锥S ABC中 ，SA AB AC 1， BAC 90, SA 面ABC， 求 三 棱 锥 的 内 切 球 的 半 径.
a
a
a r1 2
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
“接”与“切”：
两个几何体相（内）切:一个几何体的各个 面与另一个几何体的各面相切
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
解决“接切”问题的关键是画出正确的截 面，把空间“接切”转化为平面“接切” 问题