电场与磁场——带电粒子在电场中的加速与偏转讲义

带电粒子在电场中的加速与偏转
本专题主要讲解带电粒子（带电体）在电场中的直线运动、偏转，以及带电粒子在交变电场中运动等相关问题，强调学生对于直线运动、类平抛运动规律的掌握程度。

高考中重点考查学生利用动力学以及能量观点解决问题的能力，对于学生的相互作用观、能量观的建立要求较高。

带电粒子在电场中的直线运动
（2021湖南联考）如图所示，空间存在两块平行的彼此绝缘的带电薄金属板A、B，间距为d，中央分别开有小孔O、P。

现有甲电子以速率v0从O点沿OP方向运动，恰能运动到P点。

若仅将B板向右平移距离d，再将乙电子从P′点由静止释放，则（）
A．金属板A、B组成的平行板电容器的电容C不变
B．金属板A、B间的电压减小
C．甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同
D．乙电子运动到O点的速率为2v0
关键信息：电子以速率v0从O点沿OP方向运动、恰能运动到P点→粒子做减速运动，未涉及时间可用动能定理处理相关的运动问题
仅将B板向右平移距离d→平行板电容器动态变化问题（Q不变）
解题思路：根据平行板电容器动态变化问题，判断出电容C、电压U、场强E的变化，再由动能定理求解速度问题。

A ．两板间距离变大，根据4r S
C kd
ε=
π可知，金属板A 、B 组成的平行板电容器的电容C 减小，选项A 错误；
B ．根据Q ＝CU ，Q 不变，
C 减小，则U 变大，选项B 错误； C ．根据4r U Q kQ
E d Cd S
επ=
==
，可知当d 变大时，两板间的场强不变，则甲、乙两电子在板间运动时的加速度相同，选项C 正确；
D ．设乙电子运动到O 点的速率为v ； 对甲粒子，根据动能定理得：eEd ＝1
2mv 02；
对乙粒子，根据动能定理得：eE·2d ＝1
2mv 2；
联立解得：v ＝2v 0，选项D 错误。

故选C 。

（2022四川联考题）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所
示，从离子源A 处飘出的离子初速度不计，经电压为U 的匀强电场加速后射入质量分析器。

质量分析器由两个反射区和长为l 的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。

离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B 上被探测到，可测得离子从A 到B 的总飞行时间。

设实验所用离子的电荷量均为q ，不计离子重力。

（1）求质量为m 的离子第一次通过漂移管所用的时间T 1；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E ，求离子能进入反射区的最大距离x ；
（3）已知质量为m 0的离子总飞行时间为t 0，待测离子的总飞行时间为t 1，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量m 1。

（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v ，根据动能定理有 qU ＝
12
mv 2
① 离子在漂移管中做匀速直线运动，则T 1＝l
v
②
联立①②式，得T 1
③
（2）根据动能定理，有qU －qEx ＝0 ④
得x ＝
U E
⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为v ， 有v ＝
2
v ⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为L 1，在无场区的总路程设为L 2，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v ，设离子的总飞行时间为t
总
，有t 总＝
1L v
＋
2
L v
⑦
联立①⑥⑦式，得t 总＝(2L 1＋L 2
⑧ 可见，离子从A 到B
10
t t
可得2
1100t m m t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
1．带电粒子在电场中做直线运动的条件
（1）带电粒子所受合外力F 合＝0，做匀速直线运动。

（2）带电粒子所受合外力F 合≠0且与初速度共线，将做加速直线运动或减速直线运动。

2．处理方法
（1）用动力学观点分析：a ＝qE m ，E ＝U
d
，v 2－v 02＝2ad ． （2）用功能观点分析：
匀强电场中：W ＝Eqd ＝qU ＝12mv 2－1
2mv 02
非匀强电场中：W ＝qU ＝12mv 2－1
2mv 02
带电粒子在电场中的偏转
（2022北京月考）让氕核（11H ）和氘核（2
1H ）以相同的动能沿与电场垂直的方向从ab 边进入矩形匀
强电场（方向沿a →b ，边界为abcd ，如图所示）。

已知两种粒子均能从cd
边离开偏转电场，不计粒子的重力，
则（ ）
A ．两种粒子进入电场时的速度相同
B ．两种粒子在电场中运动的加速度相同
C ．两种粒子离开电场时的动能相同
D ．两种粒子离开电场时的速度方向不同
关键信息：与电场垂直的方向从ab 边进入矩形匀强电场 → 带电粒子在匀强电场中的偏转问题 解题思路：采用运动的合成和分解思想，结合牛顿第二定律、运动学公式、动能定理综合分析判断
A ．两种粒子的质量不同，进入电场时的动能相同，所以速度不同，故A 错误；
B ．设电场强度为E 、电荷质量为m 、电荷量为q ，两种粒子在电场中运动的加速度
qE a m
=
电场强度相同，电荷量相同，质量不同，所以加速度不同，故B 错误；
CD ．设偏转电场的宽度bc 为L ，粒子的初速度为v 0，粒子的初动能为E k ，粒子离开电场时沿电场方向的速度为：
y qEL
v at mv ==
粒子离开电场时的速度方向与初速度夹角的正切为： 2
0k
tan 2y v qEL qEL
v mv E α=
=
= 所以两种粒子离开电场时的速度方向相同，两种粒子离开电场时的动能：
222222
0k k
11()224k y q E L E mv m v v E E '==+=+ 所以两种粒子离开电场时的动能相同，故C 正确，D 错误。

故选C 。

（2022广东月考）喷墨打印机的原理示意图如图所示，其中墨盒可以喷出墨汁液滴，此液滴经过带电室
时被带上负电，带电多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制。

带电后液滴以一定的初速度进入偏转电场，带电液滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体。

计算机无信号输入时，墨汁液滴不带电，径直通过偏转板最后注入回流槽流回墨盒。

设偏转板长L 1＝1.6cm ，两板间的距离d ＝0.5cm ，两板间的电压U ＝8.0×103V ，偏转板的右端距纸的距离L 2＝3.2cm 。

若一滴墨汁液滴的质量m ＝1.6×10－10kg ，墨汁液滴以v 0＝20m/s 的初速度垂直电场方向进入偏转电场，此液滴打到纸上的点距原入射方向的距离为2.0 mm 。

忽略空气阻力和重力作用。

（1）求这滴液滴通过带电室后所带的电量q 。

（2）若要使纸上的字体放大，可通过调节两极板间的电压或调节偏转板右端距纸的距离L 2来实现，现调节L 2使纸上的字体放大10%，调节后偏转板的右端距纸的距离L 2为多大？
（1）设液滴在偏转电场中运动时间为t ，离开电场时偏移量为y ，打到纸上偏移量为y 1＝2mm
根据类平抛运动规律：L 1＝v 0t ，212y at =，qU
a md
=
根据类平抛的推论知，液滴离开偏转电场时速度的反向延长线交于L 1的中点，根据三角形相似得：
11
121
2
1
2
L y y L L =+ 联立以上各式得：11212
(2)
2qUL L L y mdv +=
变形后代入数据得：2
1301
1122 1.2510C (2)
mdv y q UL L L -=
=⨯+ （2）设放大后液滴在纸上的偏移量为y 2，则y 2＝(1＋10%)y 1＝2.2mm
把（1）中电荷量表达式变形得：2021
212
mdv y L L qUL =
- 代入数据得：L 2＝3.6cm
1．带电粒子在匀强电场中的偏转问题的分析思路：
2．带电粒子在匀强电场中偏转运动分解为两个分运动
（1）沿初速度方向做匀速直线运动，t ＝l
v 0。

（2）沿静电力方向做匀加速直线运动： 加速度：a ＝F m ＝qE m ＝qU
md
离开电场时的偏移量：y ＝12at 2＝qUl 2
2mdv 02
离开电场时的偏转角：tan θ＝v y v 0＝qUl
mdv 02
（3）带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qU y ＝12mv 2－1
2mv 02，
其中U y ＝U
d y ，指初、末位置间的电势差。

带电粒子在交变电场中的运动
（2022江西月考）如图甲所示，A 板电势为0，A 板中间有一小孔，B 板的电势变化情况如图乙所示，
一质量为m 、电荷量为q 的带负电粒子在t ＝
4
T
时刻以初速度为0从A 板上的小孔处进入两极板间，仅在电场力作
用下开始运动，恰好到达B 板．则（ ）
A ．A 、
B 两板间的距离为
qU 0T 2
8m
B ．粒子在两板间的最大速度为
qU 0
m
C ．粒子在两板间做匀加速直线运动
D ．若粒子在t ＝T
8
时刻进入两极板间，它将时而向B 板运动，时而向A 板运动，最终打向B 板
关键信息：B 板的电势变化情况如图乙所示 → 带电粒子在交变电场中的运动问题 t ＝
4
T
时刻、初速度为0 → 结合牛顿第二定律分析粒子进入电场中的运动状态 恰好到达B 板 → 粒子到达B 板时的速度为零，然后返回
解题思路：分析带电粒子在不同时间段的受力及运动情况，结合牛顿第二定律、运动学公式求解。

C ．粒子仅在电场力作用下运动，由于B 板电势随时间周期性变化，所以电场的方向以及粒子所受电场力的方向也随之变化，电场力的大小不变，所以加速度大小不变，方向变化，粒子不是一直做匀加速直线运动，选项C 错误； A ．粒子在t ＝
4T
时刻以初速度为0进入两极板，先加速后减速，根据牛顿第二定律可知0qU a md
，再根据运动的对
称性可知，在34T 时刻到达B 板，则12·0qU md ·(4T )2＝2
d
，解得d ，选项A 错误；
B ．粒子在
2
T
时刻速度最大，则v m ＝0qU md ·4T ＝B 正确；
D ．若粒子在t ＝
8T 时刻进入两极板间，在8T ～2T 时间内，粒子做匀加速运动，位移x ＝12·0qU md (38T )2＝98
d
，所以
粒子在2
T
时刻之前已经到达B 板，不再返回，选项D 错误； 故选B
（2022湖南期末）一对平行金属板长为L ，两板间距为d ，质量为m ，电荷量为e 的电子从平行板左侧以
速度v 0沿两板的中线不断进入平行板之间，两板间所加交变电压u AB 如图所示，交变电压的周期0
2L
T v =，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的粒子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，则（ ）
A ．所有电子都从右侧的同一点离开电场
B ．不同时刻进入的电子离开电场时速度不相同
C ．t ＝0时刻进入电场的电子，离开电场时动能最大
D ．t ＝
4T 时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为16d
A ．电子进入电场后做类平抛运动，不同时刻进入电场的电子竖直方向分速度图象如图所示，根据图象的“面积”大小等于位移可知，各个电子在竖直方向的位移不全相同，故所有电子从右侧离开电场的位置不全相同。

故A 错误；
B ．由图看出，所有电子离开电场时竖直方向分速度0y v =，速度都等于v 0，故B 错误；
C ．由B 分析可知，电子离开电场时的速度都相同，动能都相同，故C 错误；
D ．根据类平抛运动规律可知，4T t =
时刻进入电场的电子，在3
4
t T =时刻侧位移最大，最大侧位移为y max ＝21224()T a ⨯，在0t =时刻进入电场的电子侧位移最大为12d ，则有2114()222T d a =⨯，联立得：max 16d
y =故D 正确。

故选D
1．此类问题往往结合牛顿运动定律和运动学公式求解
2．当粒子平行于电场方向射入时，粒子做直线运动，其初速度和受力情况决定了粒子的运动情况，粒子可能做周期性的运动。

3．当粒子垂直于电场方向射入时，粒子沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动可能具有周期性。