解析几何部分 直线方程
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一次函数，进而转化为直线方程.
误解分析
不能把 Sn 灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化 n
为直线方程是出错的主要原因.
第3课时 线性规划
要点·疑点·考点
1.二元一次不等式表示平面区域 (1)二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中 表示直线l:Ax+By+C=0一侧所有点组成的平面区域， 直线l应画成虚线，Ax+By+C＜0，表示直线 l 另一侧所有点组成的平面区域.画不等式 Ax+By+C≥0(≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线 画成实线. (2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等 式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平 面区域的公共部分.
5 L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不 重合，则m的值是__-_1___.
3．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限， 则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线l 的方程为y-y0＝k(x-x0)
(2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直线l
【解题回顾】研究直线l的斜率a与直线AC、BC的斜率的
大小关系时，要注意观察图形.请读者研 究，如果将本题条件改为A(-1，4)， B(3，1)，结论又将如何?
延伸·拓展
5．直线l过点P(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、 B，O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l 的方程. (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程.
目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标是__(_4_，__0_)_
5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包 括周界)，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无 数个，则a的一个可能值为( A ) (A)-3 (B)3 (C)-1 (D)1
能力·思维·方法
2x y - 12 0 1．若x,y满足条件 3x - 2 y 10 0 ，求z=x+2y的最 大值和最小值. x - 4 y 10 0
2，S2 2
，P3
3，S3 3
，，Pn
n，Sn n
在同一直线l1上. (2)若过点M1(1，a1)，M2(2，a2)的直线为l2，l1、l2的夹角为
α，tanα 2
4
【解题回顾】本题是直线方程与数列、不等式的一个综合
题，关键是把 Sn 看成一个等差数列，同时也是关于n的 n
【解题回顾】本题在处理角平分线时，是利用直线BC到
BT的角等于BT到AB的角(由图观察得到)进而利用到角公
式求得直线BC的斜率，但同时也应注意，由于直线BT是
∠B的角平分线，故直线BA与BC关于直线BT对称，进而
可得到A点关于直线BT的对称点A′在直线BC上，其坐
标
x，y
可由方程组
误解分析
(1)选择适当的变量建立目标函数是解决本题之关键，也 是出错的主要原因. (2)能否正确地从目标函数中变形出使用基本不等式的形式 也是出错原因之一.
第2课时 两条直线的位置关系
1．两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则l1∥l2k1=k2 两条直线都有斜率，l1⊥l2k1·k2=-1 若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
4.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点，正方 形一边所在直线的方程为x+3y-5=0，求其他三边的方程.
【解题回顾】注意平行直线系方程和垂直直线系方程的使 用.
延伸·拓展
5.已知数列｛an｝是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn.
(1)求证：点P1
1，S1 1
，P2
则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以
此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tan θ k2 - k1 ，夹
4.已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，
1的).点一P质1后点，从依AB次的反中射点到PC0D沿、与DAAB和夹A角B上为的θ的点方P2向、射P3到和BPC4(入上
射角等于反射角)．设P4的坐标为(x4,0).若1＜x4＜2，则tanθ
的取值范围是(
)C
(A)(1/3，1) (B)(1/3，2/3) (C)(2/5，1/2) (D)(2/5，2/3)
3.已知直线l 的倾斜角为α，sinα+cosα＝1/5，则l 的斜率k
＝_______-_4_/3_.
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数1/m，则直线过定 点___(_m__,m__) ___.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,若
直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为( B ) (A)2x-y-1=0 (B)x+y-5=0 (C)2x+y-7=0 (D)2y-x-4=0
课前热身
1.设θ∈R，则直线xsinθ-√3y+1＝0的倾斜角的取值范围为 _____[_0_°__，__3_0_°__]_∪__[1_5_0_°__，__1_8_0_°__)_._____
2.直线 l 经过点M(2，1)，其倾斜角是直线x-3y+4＝0的倾 斜角的2倍，直线 l 的方程是____3_x_-_4_y_-2_＝__0_._____
角公式是tanθ k2 - k1
1 - k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率都
1 - k1k2
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
3.若l1：A1x+B1y+C1=0(A1、B1不同时为零)，l2：A2x+B2y +C2=0(A2，B2不同时为0)则 当A1/A2≠B1/B2时，l1与l2相交， 当A1/A2=B1/B2≠C1/C2时，l1∥l2； 当A1/A2=B1/B2=C1/C2时，l1与l2重合，以上结论是针对l2 的系数不为零时适用. 4.点到直线的距离公式为：d Ax0 By0 C
所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最值的 可行解叫最优解.
课前热身
1.三角形三边所在直线方程分别是x-y+5=0,x+y=0,
x-3=0，用不等式组表示三角形的内部区域
x y 5 0
x
y
0
__x___3____0_ (包含边界). x y 5 0 2.已知x,y满足约束条件 x y 0 ，则z=
的方程为y＝kx+b (x32)，两y点1≠y式2则：直设线直l线的l方过程两为点(Py-1y(x1)1/，(y2y-1y)1，)＝P(2x(x-x2，1)/y(x2)2-xx11≠) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0)则直
线l的方程为x/a+y/b＝1.
(5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)
A2 B2 5.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离
为：d C1 C2 A2 B2
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则过点P且与直线l平行 的直线方程为_z_x_+_y_-_4_=_0__，过点P且与直线l垂直的直线方 程为___x_-_2_y+__3_=_0_；过点P且直线l夹角为45°的直线方程为 __3_x_+_y_-_5_=_0_或__x_+_3_y_-7_=__0_；点P到直线L的距离为_53___5，直线
5.使三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my=4不能围成三角形 的实数m的值最多有__4__个.
能力·思维·方法
1.已知二直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m、n
的值，使 ①l1与l2相交于点P(m,-1)；②l1∥l2； ③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
x 3
2x+4y的最小值为( B )
(A)6
(B)-6 (C)10
(D)-10
3.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则 点(a,b)在aOb平面上的区域(不包含边界)为( C )
x y 4
4.平面内满足不等式组
x x
2y 0
6
的所有点中，使
y 0
题的通法，即设出直线的方程(通过
设适当的未知数)进而利用条件列出相
关的方程，求出未知数；
(2)本题解法二巧妙地利用两平行直
线之间的距离和直线l被两平行直线所截得的线段长之间的 关系，求得直线l与两平行直线的夹角，进而求得直线的斜 率；
(3)与已知直线夹角为θ(θ为锐角)的直线斜率应有两个，若 只求出一个，应补上倾斜角为π2的直线.
3. 设△ABC为正三角形，边BC、AC上各有一点D、
E，而且|BD|= 1 |BC|，|CE|= 1 |CA|，AD、BE交于P. 求
3
3
证：AP⊥CP.【解题回顾】数结合强调较多的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐
标系将几何问题代数化.
4.已知直线l:y=ax+2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l与 线段AB相交时，求实数a的取值范围.
能力·思维·方法
1.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求 满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(-3，4)；(2)斜率为1/6. 【解题回顾】根据条件的不同情况选择方程的适当形式， 用待定系数法求解直线方程.
2．直线l 被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的 线段中点为P(-1，2)，求直线l 的方程. 【解题回顾】除以上解法外，设点斜式为y-2=k(x+1)，再 由中点概念求k也是可行的.
2.线性规划 (1)对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等 式，称为线性约束条件，z=f(x,y)是欲达到最值所涉及 的变量x,y的解析式，叫做目标函数.当f(x,y)是关于x,y 的一次解析式时，z=f(x,y)叫做线性目标函数. (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为线性 规划问题，满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解.由
y x x
1
3 3
1 4 4
-1 y
1
10
解得
0
x 1，
2
2
y 7即为(1，7)，直线BC的方程即为直线BA′的方程.
3.直线l过点(1，0)，且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0 所截得的线段长为9，求直线l的方程. 【解题回顾】(1)解法一给出了这类问
【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1∥l2 的 必 要 条 件 是 A1B2-A2B1=0 ， 而 l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依 据上面结论去操作.
2.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在直线 方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为： x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
第1课时 直线方程
要点·疑点·考点
1.倾斜角、斜率、截距
直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这条
直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是［0，π］
(2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直
线的斜率.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线
的斜率
k
【解题回顾】①求直线方程的基本方法包 括利用条件直接求直线的基本量和利用待 定系数法求直线的基本量. ②在研究最值问题时，可以从几何图形开 始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构 建目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这种方 法常常随变量的选择不同，而运算的繁易不同，解题时 要注意选择.
误解分析
不能把 Sn 灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化 n
为直线方程是出错的主要原因.
第3课时 线性规划
要点·疑点·考点
1.二元一次不等式表示平面区域 (1)二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中 表示直线l:Ax+By+C=0一侧所有点组成的平面区域， 直线l应画成虚线，Ax+By+C＜0，表示直线 l 另一侧所有点组成的平面区域.画不等式 Ax+By+C≥0(≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线 画成实线. (2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等 式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平 面区域的公共部分.
5 L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
2.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不 重合，则m的值是__-_1___.
3．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限， 则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线l 的方程为y-y0＝k(x-x0)
(2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直线l
【解题回顾】研究直线l的斜率a与直线AC、BC的斜率的
大小关系时，要注意观察图形.请读者研 究，如果将本题条件改为A(-1，4)， B(3，1)，结论又将如何?
延伸·拓展
5．直线l过点P(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、 B，O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l 的方程. (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l 的方程.
目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标是__(_4_，__0_)_
5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包 括周界)，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无 数个，则a的一个可能值为( A ) (A)-3 (B)3 (C)-1 (D)1
能力·思维·方法
2x y - 12 0 1．若x,y满足条件 3x - 2 y 10 0 ，求z=x+2y的最 大值和最小值. x - 4 y 10 0
2，S2 2
，P3
3，S3 3
，，Pn
n，Sn n
在同一直线l1上. (2)若过点M1(1，a1)，M2(2，a2)的直线为l2，l1、l2的夹角为
α，tanα 2
4
【解题回顾】本题是直线方程与数列、不等式的一个综合
题，关键是把 Sn 看成一个等差数列，同时也是关于n的 n
【解题回顾】本题在处理角平分线时，是利用直线BC到
BT的角等于BT到AB的角(由图观察得到)进而利用到角公
式求得直线BC的斜率，但同时也应注意，由于直线BT是
∠B的角平分线，故直线BA与BC关于直线BT对称，进而
可得到A点关于直线BT的对称点A′在直线BC上，其坐
标
x，y
可由方程组
误解分析
(1)选择适当的变量建立目标函数是解决本题之关键，也 是出错的主要原因. (2)能否正确地从目标函数中变形出使用基本不等式的形式 也是出错原因之一.
第2课时 两条直线的位置关系
1．两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则l1∥l2k1=k2 两条直线都有斜率，l1⊥l2k1·k2=-1 若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
4.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点，正方 形一边所在直线的方程为x+3y-5=0，求其他三边的方程.
【解题回顾】注意平行直线系方程和垂直直线系方程的使 用.
延伸·拓展
5.已知数列｛an｝是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn.
(1)求证：点P1
1，S1 1
，P2
则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以
此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1 依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角， l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不大
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tan θ k2 - k1 ，夹
4.已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，
1的).点一P质1后点，从依AB次的反中射点到PC0D沿、与DAAB和夹A角B上为的θ的点方P2向、射P3到和BPC4(入上
射角等于反射角)．设P4的坐标为(x4,0).若1＜x4＜2，则tanθ
的取值范围是(
)C
(A)(1/3，1) (B)(1/3，2/3) (C)(2/5，1/2) (D)(2/5，2/3)
3.已知直线l 的倾斜角为α，sinα+cosα＝1/5，则l 的斜率k
＝_______-_4_/3_.
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数1/m，则直线过定 点___(_m__,m__) ___.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,若
直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为( B ) (A)2x-y-1=0 (B)x+y-5=0 (C)2x+y-7=0 (D)2y-x-4=0
课前热身
1.设θ∈R，则直线xsinθ-√3y+1＝0的倾斜角的取值范围为 _____[_0_°__，__3_0_°__]_∪__[1_5_0_°__，__1_8_0_°__)_._____
2.直线 l 经过点M(2，1)，其倾斜角是直线x-3y+4＝0的倾 斜角的2倍，直线 l 的方程是____3_x_-_4_y_-2_＝__0_._____
角公式是tanθ k2 - k1
1 - k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率都
1 - k1k2
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
3.若l1：A1x+B1y+C1=0(A1、B1不同时为零)，l2：A2x+B2y +C2=0(A2，B2不同时为0)则 当A1/A2≠B1/B2时，l1与l2相交， 当A1/A2=B1/B2≠C1/C2时，l1∥l2； 当A1/A2=B1/B2=C1/C2时，l1与l2重合，以上结论是针对l2 的系数不为零时适用. 4.点到直线的距离公式为：d Ax0 By0 C
所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最值的 可行解叫最优解.
课前热身
1.三角形三边所在直线方程分别是x-y+5=0,x+y=0,
x-3=0，用不等式组表示三角形的内部区域
x y 5 0
x
y
0
__x___3____0_ (包含边界). x y 5 0 2.已知x,y满足约束条件 x y 0 ，则z=
的方程为y＝kx+b (x32)，两y点1≠y式2则：直设线直l线的l方过程两为点(Py-1y(x1)1/，(y2y-1y)1，)＝P(2x(x-x2，1)/y(x2)2-xx11≠) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0)则直
线l的方程为x/a+y/b＝1.
(5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)
A2 B2 5.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离
为：d C1 C2 A2 B2
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则过点P且与直线l平行 的直线方程为_z_x_+_y_-_4_=_0__，过点P且与直线l垂直的直线方 程为___x_-_2_y+__3_=_0_；过点P且直线l夹角为45°的直线方程为 __3_x_+_y_-_5_=_0_或__x_+_3_y_-7_=__0_；点P到直线L的距离为_53___5，直线
5.使三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my=4不能围成三角形 的实数m的值最多有__4__个.
能力·思维·方法
1.已知二直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0.试确定m、n
的值，使 ①l1与l2相交于点P(m,-1)；②l1∥l2； ③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
x 3
2x+4y的最小值为( B )
(A)6
(B)-6 (C)10
(D)-10
3.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则 点(a,b)在aOb平面上的区域(不包含边界)为( C )
x y 4
4.平面内满足不等式组
x x
2y 0
6
的所有点中，使
y 0
题的通法，即设出直线的方程(通过
设适当的未知数)进而利用条件列出相
关的方程，求出未知数；
(2)本题解法二巧妙地利用两平行直
线之间的距离和直线l被两平行直线所截得的线段长之间的 关系，求得直线l与两平行直线的夹角，进而求得直线的斜 率；
(3)与已知直线夹角为θ(θ为锐角)的直线斜率应有两个，若 只求出一个，应补上倾斜角为π2的直线.
3. 设△ABC为正三角形，边BC、AC上各有一点D、
E，而且|BD|= 1 |BC|，|CE|= 1 |CA|，AD、BE交于P. 求
3
3
证：AP⊥CP.【解题回顾】数结合强调较多的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐
标系将几何问题代数化.
4.已知直线l:y=ax+2和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线l与 线段AB相交时，求实数a的取值范围.
能力·思维·方法
1.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求 满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(-3，4)；(2)斜率为1/6. 【解题回顾】根据条件的不同情况选择方程的适当形式， 用待定系数法求解直线方程.
2．直线l 被两条直线l1：4x+y+3=0和l2：3x-5y-5=0截得的 线段中点为P(-1，2)，求直线l 的方程. 【解题回顾】除以上解法外，设点斜式为y-2=k(x+1)，再 由中点概念求k也是可行的.
2.线性规划 (1)对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不等 式，称为线性约束条件，z=f(x,y)是欲达到最值所涉及 的变量x,y的解析式，叫做目标函数.当f(x,y)是关于x,y 的一次解析式时，z=f(x,y)叫做线性目标函数. (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为线性 规划问题，满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解.由
y x x
1
3 3
1 4 4
-1 y
1
10
解得
0
x 1，
2
2
y 7即为(1，7)，直线BC的方程即为直线BA′的方程.
3.直线l过点(1，0)，且被两平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0 所截得的线段长为9，求直线l的方程. 【解题回顾】(1)解法一给出了这类问
【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1∥l2 的 必 要 条 件 是 A1B2-A2B1=0 ， 而 l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依 据上面结论去操作.
2.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在直线 方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线的方程为： x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
第1课时 直线方程
要点·疑点·考点
1.倾斜角、斜率、截距
直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这条
直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是［0，π］
(2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直
线的斜率.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线
的斜率
k
【解题回顾】①求直线方程的基本方法包 括利用条件直接求直线的基本量和利用待 定系数法求直线的基本量. ②在研究最值问题时，可以从几何图形开 始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构 建目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这种方 法常常随变量的选择不同，而运算的繁易不同，解题时 要注意选择.