画法几何之平面的投影基本知识

如图点D的水平投影d位于正平面△ABC的有积聚性的水平投影abc上，故 而点D是正平面ABC上的点。直线EF的水平投影位于铅垂面P的有积聚性的迹线 PH上，故而EF是铅垂面P上的直线。
b' e'
d'
a' X
c' O
f'
X
O
f e PH
a bd c
整理课件
25
一般位置平面上的点和直线的检验和作图，常用上述 几何条件。
h
H
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6
（1） 一般位置平面
Z
c'
C
c"
a'
b'
X
O b"
Ac B
a"
b
a
Y
Z
c'
c"
a'
a"
X
b'
O b" YW
c
b a
YH
一般位置的平面图形的投影特性：三个投影面的投影 均为面积缩小的类似形。
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7
（2） 投影面垂直面
1） 铅垂面—垂直于水平投影面
b'
Z
b"
P
铅
B
垂
面
A
a'
X
a
a"
Z
V
平面与投影面H、V
PV
和W的交线分别称为平面
W
P
PW
的水平迹线、正面迹线和
X
O
侧面迹线。迹线的符号用
PH
H
Y PH、PV和PW表示。
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13
投影面垂直面有积聚性，在这个投影面上的所有点、 线和图形都积聚在它的有积聚性的迹线上，且这条迹线一 定倾斜于投影轴。
V B
A
D
W
a
bd
C QH c
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①曲线所在的平面平行于投影面时，在该投影面上的 投影反映真形；
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34
②曲线所在的平面垂直于投影面时，在该投影面上的 投影成为一直线段；
③曲线所在的平面倾斜于投影面时，在该投影面上的 投影成为形状缩小的类似形。
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35
[例2.15] 如图所示，已知△PQR及平面内的平面曲线 AE的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。
投影特性： (1)abc积聚为一条直线。 (2)abc、abc为ABC的类似形。
(3)abc与OX、OZ整的理夹课件角反映 、 角的真实大小。9
（2） 投影面垂直面 3）侧垂面—垂直于侧立投影面
b'
SB
b"
侧
a'
垂
面
X
c"
b
C
a"
A
Z b"
c' O
c
c"
a"
YW
a YH
投影特性： (1)abc积聚为一条直线。
a
O c d
e
结论：点D在△ABC 平面上，点E和直线DE不 在△ABC平面上。
b
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28
[例2.12] 如图所示，已知△ABC和点D的两面投影， 以及△ABC平面上的直线EF的正面投影e'f'，检验点D是 否在△ABC平面上，并作出直线EF的水平投影ef。
b'
f'
e' d'
X
a'
a
c' O
c' 3
a c
（3）相交两直线；
（4）平行两直线；
a
c
（5）任意平面图形。
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b
2
2、平面对投影面的各种相对位置
一般位置平面：对三个投影面H、V、W都倾斜
平面
铅垂面（⊥H面，对V、W面都倾斜）
投影面垂直面 （只垂直于一个投影面）
正垂面（⊥V面，对H、W面都倾斜）
侧垂面（⊥W面，对H、V面都倾斜）
投影面平行面
正平线（∥V面，对H、W面都倾斜）
侧平线（∥W面，对H、V面都倾斜）
投影面垂直线
铅垂线（⊥H面，∥ V面，∥ W面）
（垂直于一个投影面， 正垂线（⊥V 面，∥ H面，∥ W面）
平行于另外两个投影面）
侧垂线（⊥W 面，∥ H面，∥ V面）
平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。 特殊位 垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。 置直线
2.2.3 平面及平面曲线的投影
本节提要：
（1）平面的表示法 （2）平面对投影面的各种相对位置
（3）平面上的点、直线
（4）平面上的曲线和图形（自学）
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1
1、平面的表示法
平面常以确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示。
b
b
b
a d
a
a
a
c
c
c
b c
a
a
a
c
c
c
b
c
b
b
b
ad
b
（1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点；
b'
①点D、E分别在直线AB、
d' a'
f'
e' c'
BC上
X
a
f
O ②点D、E都是平面ABC上
的点
d
c
e b
③DE是平面ABC上的直线
④直线DF通过平面ABC上的点D，且平行于平面ABC上的
另一直线BC，所以，DF也是平面ABC上的直线
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26
平面上取点的方法：首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线， 然后再在该直线上确定点的位置。
(2)abc、 abc为ABC的类似形。
(3)abc与OY、OZ整的理课夹件 角反映 、 角的真实大小10。
（2）投影面垂直面汇总
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11
投影面垂直面的投影特性： ①在垂直的投影面上的投影，积聚成直线，并反映与 另两投影面的倾角；
②在另两投影面上的投影，为面积缩小的类似性。
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12
平面P与投影面的交线称为平面的迹线，用平面名称 的大写字母加投影面名称字母的下标标注。
水平面（∥H面，⊥V面，⊥W面）
（平行于一个投影面， 正平面（∥V面，⊥H面，⊥W面）
垂直于另外两个投影面）
侧平面（∥W面，⊥H面，⊥V面）
其中投影面垂直面、投影面平行面统称为特殊位置平面
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3
直线
一般位置直线：对三个投影面H、V、W都倾斜
水平线（∥H面，对V、W面都倾斜）
投影面平行线 （只平行于一个投影面）
(2)侧面投影abc反映ABC实形。 整理课件
c" YW
19
（3）投影面平行面汇总
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20
投影面平行面的投影特性： ①在平行的投影面上的投影，反映真形。
②在另两投影面上的投影，分别积聚成直线，且平行 于相应的投影轴。
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21
投影面平行面必定垂直于另两个投影面，在另两个投 影面上的投影有积聚性。可以用一条或两条有积聚性的迹 线表示这个投影面平行面。
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4
两个平面之间的夹角：就是两平面之间的两面角，可 用与两平面都垂直的平面和它们相交所得到的两相交线之 间的平面角表示。
平面与水平面H、正面V、侧面W的夹角，称为该平面 对投影面H、V、W的倾角，仍用α、β、γ表示。
Q
O R
B
α A
P
=0°，平面平行于投影面 倾角 =90°，平面垂直于投影面
经过平面上任意两点的直线必在该平面上。
b'
HB M A
N C
m'
n'
X a'
c'
b
O
m nc
a
③通过平面上的一点，且平行于平面上的另一条直
线的直线必在该平面上。
M
A
HN
C
B
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m' a'
n' c'
X
am nc
b'
O b
24
④特殊位置平面上的点和直线的检验和作图，常用 它的有积聚性的投影或迹线。
平面上对某一投影面
B
的最大倾斜线是与平面上
P
的该投影面的平行线(AB)
A
相垂直的直线(有无数条) 。 明显的α1<α。
最大倾斜线是与AC相 平行的一系列直线。
α1 PH
D(d)
αa
H
C(c)
投影面最大倾斜线与该投影面的倾角，也就是平面对
该投影面的倾角。
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32
4、平面上的曲线和图形
曲线可以看作是不断改变方向的 点的连续运动的轨迹。
短轴：水平直径AB的投影a'b'=Dcosβ
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38
铅垂圆的投影特性：
①水平面上的投影成直线，该 直线反映圆平面对V面的夹角β， 长度等于直径，中点是圆心C的 投影c。
②正面上的投影为一椭圆，长轴
是这个铅垂圆的唯一一条铅垂直
径的正面投影，且反映真长，短
轴是这个圆平面上与铅垂直径相
垂直的直径，长短轴的交点是椭圆的中心，也是圆心的投 影。
f'
b'
a' 1'
c'
2'
d'
3'
e'
4'
5'
5
4
d
3
c
2
b
1 f
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36
（2） 圆及其投影特性
Z
正平圆的投影特性：
c'
c"
①V面上的投影反映真形；
②H面、W面上的投影为直
X
O
线，并分别平行于OX轴和
YW
OZ轴，长度等于直径，中
c
点是圆心C的投影c、c" 。
YH
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37
铅垂圆的投影
长轴：铅垂直径CD的投影c'd'=D
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41
（3） 平面上的图形
作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。
Z
面P为[例侧2垂.21面d]' ，如与图H所面d示"的，SW倾平角
a'
α为60°，又知平面P上的
c'
△ABXC的正面投影O △a'bYW'c'和 点A的水平投影a、点B在点 X
b' O
YW
A的前下方，d 补全△ABC的
a
水平投影，作出YH它的侧面投
=0~90°，平面倾斜于投影面
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5
平面图形的投影特性：
①当平面图形倾斜于投影面时，投影为面积缩小的类 似形（或称相仿形，可能一边为真长，另两边短于真长）；
②当平面图形垂直于投影面时，积聚成直线；
③当平面图形平行于投影面时，投影反映真形（三条
边反映真长）。
A
CD
G
F
I
H E
B a
fg
ce
i
b
d
曲线的投影是曲线上诸点的投影的集合
曲线
平面曲线：所有的点都位于同一平 面上的曲线，如圆
空间曲线：连续四点不在同一平面 上的曲线，如圆柱螺旋线
平面曲线中圆在工程上应用最广，本文主要阐述圆
的投影特性及画法。
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33
（1） 平面曲线及其投影特性
平面曲线对投影面有三种不同的相对位置，分别具有 不同的投影特性：
c' O
c" YW
a b
C
c
b
c
YH
投影特性： (1)abc积聚为一条直线。
(2)abc、abc为ABC的类似形。
(3) abc与OX、OY的整理夹课角件 反映、角的真实大小。 8
（2） 投影面垂直面
2）正垂面—垂直于正立投影面
b' Z
b"
b
a'
a"
正
a
A
垂 面
c
c'
B
X
a
c"
O
YW
Q
c
C
b YH
14
可以用投影面垂直面的一条有积聚性的迹线表示这个 投影面垂直面。
a'
a"
X
O
YW
QH a
YH
铅垂面的正面迹线
可以表示这个铅垂面。
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15
正垂面的正面迹线 可以表示这个正垂面。
d' RV
X
d"
O
YW
d'
d"
SW
d YH
X
O
d YH
YW
侧垂面的侧面迹线
可以表示这个侧垂面。
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16
（3） 投影面平行面 1） 水平面—平行于水平投影面
Z b'
a'
c'
X
O
c
ba
c
ba
YH
投影特性： (1) abc、abc积聚为一条直线。
(2)正面投影abc反映ABC实形。
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b"
c" a"
YW
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（3） 投影面平行面
3）侧平面—平行于侧立投影面
b'
B
侧
c'
平
a'
面
A
b" a"
b'
a'
c' X
a
Z
b"
a"
O
a
C
c"
b
b
c
c
YH
投影特性： (1) abc、 abc积聚为一条直线。
影。
YH
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（3） 平面上的图形
作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。
[例2.16] 如图所示，平 面P为侧垂面，与H面的倾角 α 为 60° ， 又 知 平 面 P 上 的 △ABC的正面投影△a'b'c'和 点A的水平投影a、点B在点 A 的 前 下 方 ， 补 全 △ ABC 的
c TH
d
一解
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30
[例2.14] 如图所示，已知△ABC，在△ABC平面上取 一点D，点D在H面之上15mm，在V面之前10mm，作出 点D的两面投影。
a'
a'
b'
c'
X
a
O
b
1' d' 2' b'
15
X
a
1
bd
10
c' O
2
c
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c
31
平面上对某一投影面成最大倾角的直线，称为平面
上对某一投影面的最大倾斜线。
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39
铅垂圆的两面投影及其作图过程
a' dœ
X
O
βe
acb
d
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