2024届吉林省长春市榆树一中数学高一下期末经典试题含解析

2024届吉林省长春市榆树一中数学高一下期末经典试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．己知中，角
所对的边分別是.若，则=( ) A ．
B ．1
C ．2
D ．
2．等比数列{}n a 的各项均为正数，且1916a a ，则212229log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
3．若a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．
11
a b
> B ．
11a b
< C ．33a b > D ．22a b >
4．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x
=
- B ．cos y x =
C ．ln(1)y x =+
D ．2x y -=
5．在等差数列{}n a 中，若32a =，64a =，则1a =（ ） A ．
43
B ．1
C ．
23
D ．
13
6．如图，平面ABCD ⊥平面EDCF ，且四边形ABCD 和四边形EDCF 都是正方形，则异面直线BD 与CE 所成的角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 7．某同学5天上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，9，11，则这组数据的方差为（ ） A ．4
B ．2
C ．9
D ．3
8．已知函数22()f x x x =
，若存在12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足
12154
4
n x x x π
π
-
≤<<⋅⋅⋅<≤
，且()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=()*2,n n ≥∈N ，则n
的最小值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．下列正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则
2b a a b
+≥ B ．若x <0，则x ＋
4x ≥－24
·x x
＝－4 C ．若ab ≠0，则22
b a a b a b
+≥+
D ．若x <0，则2x ＋2－x >2
10．在ABC ∆中，若2,23,30,a b A ===︒则B 等于（ ） A ．30
B ．30150︒︒或
C ．60︒
D ．60120︒︒或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间
[,]62ππ
上具有单调性，且2()()()236
f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为_________.
12．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12
x π
=
对称，那么该函数在
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________．
13．131
lim 31
n n n +→∞-=+_____________.
14．函数
的定义域是_______________.
15．已知数列的通项公式226n a n =-+，*n N ∈，前n 项和n S 达到最大值时，n 的值为______. 16．函数cos y x =
______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知5
sin 13
α=
，α为第二象限角. （1）求cos α的值； （2）求tan 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 18．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是菱形，,3
ABC SA π
∠=⊥底面ABCD ，E
是SC 上的任意一点
()1求证：平面EBD ⊥平面SAC
()2设2SA AB ==，求点A 到平面SBD 的距离
()3在()2的条件下，若BE SC ⊥，求BE 与平面SAC 所成角的正切值
19．已知函数()22
22
x x
f x -=+. （1）求证：()()110f x f x ++-=；
（2）若角α满足()()2sin cos 0f f αα-+>，求锐角α的取值范围. 20．已知函数()2
2cos sin f x a x x =-，当263x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，时,求函数()y f x =的最小值.
21．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)[)[)90,100,100,110,,140,150 后得到如下部分频率分布直方图．观察
图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[)120130
,内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将
该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130
,内的概率． 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】 由正弦定理可得． 【题目详解】 ∵，∴
．
故选B ． 【题目点拨】
本题考查正弦定理，解题时直接应用正弦定理可解题，本题属于基础题． 2、D 【解题分析】
本题首先可根据数列{}n a 是各项均为正数的等比数列以及1916a a 计算出5a 的值，然后根据对数的相关运算以及等比中项的相关性质即可得出结果． 【题目详解】
因为等比数列{}n a 的各项均为正数，1916a a ， 所以219
516a a a ，54a =，
所以9
9
18212229
2522log log log log log 4log 218a a a a ，
故选D ． 【题目点拨】
本题考查对数的相关运算以及等比中项的相关性质，考查的公式为log log log a a a b c b c 以及在等比数列中有2
n n
m
n
m
a a a ，考查计算能力，是简单
题． 3、C 【解题分析】
利用3
y x =的单调性直接判断即可。

【题目详解】
因为3y x =在R 上递增， 又a b >，所以33a b >成立。

故选：C 【题目点拨】
本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题。

4、D 【解题分析】 试题分析：1
1y x
=
-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.
考点：函数增减性 5、C 【解题分析】
运用等差数列的性质求得公差d ，再运用通项公式解得首项即可． 【题目详解】 由题意知634226333a a d --===-，所以1342
2233
a a d =-=-=. 故选C. 【题目点拨】
本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题． 6、C 【解题分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD 与CE 所成的角． 【题目详解】
∵平面ABCD ⊥平面EDCF ，且四边形ABCD 和四边形EDCF 都是正方形， ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝1，则B （1，1，0），D （0，0，0），C （0，1，0），E （0，0，1）， BD =（﹣1，﹣1，0）
，CE =（0，﹣1，1）， 设异面直线BD 与CE 所成的角为θ， 则cosθ11
2
22BD CE BD CE
⋅=
=
=⨯⋅，
∴θ3
π
=
．
∴异面直线BD 与CE 所成的角为3
π． 故选：C ．
【点评】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、B 【解题分析】
先求平均值，再结合方差公式求解即可. 【题目详解】 解：由题意可得12810911
105
x ++++=
=，
由方差公式可得：
2222221
[(1210)(810)(1010)(910)(1110)]25
S =-+-+-+-+-=，
故选：B. 【题目点拨】
本题考查了样本数据的方差，属基础题. 8、D 【解题分析】
根据正弦函数的性质，sin y t = 对任意,i j t t （i ，j=1，2，3，…，n ），
都有()()max
min ()
()2-≤-=i j
f t f t f t f t ，因此要使得满足条件
()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的n 最小，则尽量让更
多的取值对应的点是最值点，然后再对应图象取值. 【题目详解】
22()sin cos sin ,
224π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭f x x x x [0,4]4x ππ+∈， 因为正弦函数sin y t = 对任意,i j t t （i ，j=1，2，3，…，n ），
都有()()max
min ()
()2-≤-=i j
f t f t f t f t ，
要使n 取得最小值，尽可能多让i t （i =1，2，3，…，n ）取得最高点， 因为[0,4]4
x π
π+
∈，
所以要使得满足条件()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的n 最小， 如图所示
则需取1104
π
+
==t x ，222
4
π
π
+
==
t x ，332
32π
π+
==
t x ，44452
ππ
+==t x ，
554
72π
π+
==
t x ，664
4π
π+==t x ， 即取14x π
=-，24x π=
，354x π=，494x π=，5134x π=，6154
x π
=，即6n =． 故选：D
【题目点拨】
本题主要考查正弦函数的图象，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 9、D 【解题分析】
对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，若x <0，则x ＋
4x ＝－4x x ⎛
⎫-+ ⎪-⎝
⎭ ≤－＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 选项不成立；对于C ，取a ＝－1，b
＝－2，2b a ＋2
a b
＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 选项不成立；对于D ，若x <0，则2x ＋2
－x
>2成立．
故选D. 10、D 【解题分析】
由正弦定理，求得sin sin b
B A a
=，再由a b <，且(0,180)B ∈，即可求解，得到答案.
【题目详解】
由题意，在ABC ∆中，由正弦定理可得
sin sin a b A B
=，
即sin sin sin 3022
b B A a =
=︒=
， 又由a b <，且(0,180)B ∈，所以60B =︒或120B =︒，故选D. 【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、π
【解题分析】 由在区间
上具有单调性， 且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为
，
所以，，
即，所以，
解得
，故答案为π.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
12、3-【解题分析】
根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【题目详解】
解：2
22
sin 2cos 21sin 2cos 211y x a x a x x a a ⎫
=+=++++， 令2
cos 1a
θ=
+，则2
sin 1a
θ=
+
则)()221sin 2cos cos 2sin 12y a x x a x θθθ=+⋅+⋅=++. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12
x π
=对称，
所以2
sin 2cos 211212a a ππ⎛
⎫
⎛⎫⨯
+⨯=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 即2sin cos 166a a ππ⎛⎫⎛⎫+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则
21312a +=+ 平方得
22133144
a a ++=+.
整理可得()
2
3
0a -=，则3a =，
所以函数1
3sin 23cos 22sin 2cos 22sin 22
23y x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=+=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ， 当423
3
x π
π+
=
时，即2x π
=，函数有最小值为3-.
故答案为：3-. 【题目点拨】
本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键. 13、
1
3
【解题分析】
1113113lim lim 131333
n
n n n n n +→∞→∞-
-==++ ,故填13
.
14、
【解题分析】 解方程即得函数的定义域.
【题目详解】 由题得，解之得
故答案为.
【题目点拨】
本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 15、12或13 【解题分析】
令0n a ≥，求出n 的取值范围，即可得出n S 达到最大值时对应的n 值. 【题目详解】
令2260n a n =-+≥，解得13n ≤，因此，当12n =或13时，前n 项和n S 达到最大值.
故答案为：12或13.
【题目点拨】
本题考查等差数列前n 项和最值的求解，可以利用n S 关于n 的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.
16、()2,22k k k Z πππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦ 【解题分析】
求出函数y =
. 【题目详解】
由cos 0x ≥，解得2,222x k k ππππ⎡⎤∈-
++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈
令cos u x =，则y =函数cos u x =在区间()2,22k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间()2,22k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增
函数y =
∴函数y =()2,22k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ 故答案为：()2,22k k k Z πππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦ 【题目点拨】
本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1213-；（2）717
【解题分析】
（1）根据同角三角函数平方关系即可求得结果；
（2）利用同角三角函数商数关系可求得tan α，代入两角和差正切公式可求得结果.
【题目详解】
（1）α为第二象限角 cos 0α∴< 212cos 1sin 13αα∴=--=- （2）由（1）知：sin 5tan cos 12
ααα=
=- 5tan tan 17412tan 54171tan tan 1412παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+ 【题目点拨】
本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.
18、（1）见解析（2）
255（3）6 【解题分析】
（1）由SA ⊥平面ABCD ，得出BD SA ⊥，由菱形的性质得出BD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理得出BD ⊥平面SAC ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证出结论；
（2）先计算出三棱锥S ABD -的体积，并计算出SBD ∆的面积，利用等体积法计算出三棱锥A SBD -的高，即为点A 到平面SBD 的距离；
（3）由（1）BD ⊥平面SAC ，于此得知BEF ∠为直线BE 与平面SAC 所成的角，由BE SC ⊥，得出SC ⊥平面EFD ，于此计算出EF ，然后在Rt BEF ∆中计算出tan BEF ∠即可．
【题目详解】
（1）SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，SA BD ∴⊥，
四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，
,AC AS A BD ⋂=∴⊥平面SAC ；
又BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面SAC .
（2）设AC BD F ⋂=，连结SF ，则SF BD ⊥，
2,AB =四边形ABCD 是菱形，,2,3ABC AC BD π
∠=∴==
1,2,AF SA SF ∴==∴==，
11
22BDS
S BD SF ∴=⨯⨯=⨯= 设点A 到平面SBD 的距离为,h SA ⊥平面ABCD ，A BDS S ABD V V --∴=， 111
222sin120332h ︒∴=⨯⨯⨯⨯⨯，解得5
h =
即点A 到平面SBD ； （3）由（1）得BD ⊥平面SAC ，BEF ∴∠为BE 与平面SAC 所成角，
,,BD SC BE SC SC ∴⊥⊥∴⊥平面,,2
BED SC EF EF ∴⊥∴=，
3,tan BF BEF =∴∠=BE ∴与平面SAC ．
【题目点拨】
本题考查平面与平面垂直的证明、点到平面的距离以及直线与平面所成的角，求解点到平面的距离，常用的方法是等体积法，将问题转化为三棱锥的高来计算，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题．
19、（1）证明见解析；（2）0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解题分析】
（1）根据函数()y f x =的解析式化简计算可得出()()110f x f x ++-=； （2）由（1）得()()11f x f x +=--，由()()2sin cos 0f f αα-+>，可得(2sin )(2cos )f f αα->-，并推导出函数()y f x =为R 上的增函数，可得出sin cos αα<，由α为锐角可得出tan 1α<，由此可得出锐角α的取值范围.
【题目详解】
（1）()2222
x x f x -=+， ()()1111222221212112110222221212112
x x x x x x
x x x x x x f x f x +--+--------++-=+=+=+=++++++；
（2）任取1x 、2x R ∈，且12x x >，
()()()()()()()()
12211212121222222222222222222222x x x x x x x x x x f x f x -+--+---=-=++++()
()()12124222222x x x x -=++，
12x x >，12220x x ∴>>，()()120f x f x ∴->，
所以，函数()y f x =是R 上的增函数，
由（1）知：()()110f x f x ++-=即()()11f x f x +=--，
由()()2sin cos 0f f αα-+>，得()()2sin cos f f αα->-，
又()()()cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
即有()()2sin 2cos f f αα->-，故有2sin 2cos αα->-，即sin cos αα<， α为锐角，则cos 0α>，0tan 1α∴<<，α的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
本题考查利用解析式化简计算，同时也考查了利用函数的单调性解不等式，涉及三角不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.
20、当12a ≥时， ()min 2334f x f a π⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
， 当1a ≤-时， ()()min 02f x f a ==， 当112
a -<<时， ()2min 1f x a =--. 【解题分析】
将函数的解析式化成二次函数的形式，然后把cosx 作为整体，并根据cosx 的取值范围，结合求二次函数在闭区间上的最值的方法进行求解即可．
【题目详解】
由题意得2222()2cos sin cos 2cos 1(cos )1f x a x x a x a a x x +=-=-=+--． ∵263x ππ-
≤≤， ∴1cos 12
x -≤≤． 当12a -≤-，即12a ≥时，则当12
cosx =-，即23x π=时，函数取得最小值，且()min f x
23()34f a π==--； 当1a -≥，即1a ≤-时，则当cos 1x =，即0x =时，函数取得最小值，且()min f x (0)2f a ==；
当112a -<-<，即112
a -<<时，则当cos x a =-，函数取得最小值，且()min f x 21a =--．
综上可得()2min 31,4211,122,1a a f x a a a a ⎧--≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪≤-⎪⎪⎩
． 【题目点拨】
解答本题的关键是将问题转化为二次函数的问题求解，求二次函数在闭区间上的最值时要结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系求解，体现了数形结合的应用，属于基础题．
21、 (1) 0.3，直方图见解析；(2)121；(3) .
【解题分析】
（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求
出分数在[)120130,内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常
用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出
本次考试的平均分；（3）先计算[110120，）、[120130，）分数段的人数，然后按照比例
进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120130，）为事件A ，然后列出
基本事件空间包含的基本事件，以及事件A 包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.
【题目详解】
(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，0.3==0.0310
频率组距，补全后的直方图如下：
(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.
(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；
在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a，b，c，d；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．
事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，
b)，(n，c)，(n，d)共9种，∴()
93 155
P A==.。