函数在区域内解析的条件及应用(1)

目录
摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Keywords (1)
引言 (1)
1.函数解析的定义 (1)
1.1定义 (1)
1.2初等函数的解析性 (2)
2. 函数解析的理论 (3)
2.1函数在区域D内解析的定理 (3)
2.2函数在区域D内解析的第一个等价定理 (4)
2.3函数在区域D内解析的第二个等价定理 (5)
2.4函数在区域D内解析的第三个等价定理 (5)
2.5函数在区域D内解析的第四个等价定理 (7)
结语 (8)
参考文献 (8)
函数在区域内解析的条件及应用
学生姓名：杨玉亲 学号：20095031161
数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
指导教师:张萍 职称：讲师
摘 要：本文总结了函数解析的5种等价定理，研讨了它们的应用
关键词：初等函数；解析函数；函数在区域D 内解析
Function in the region and application of analytical conditions
Abstract: This paper summarizes the analysis of five kinds of function equivalence theorem, and discusses their applications. Key Words ：Elementary Functions ；Analytic functions ；Analytic function within the regional D.
引言
在区域上处处可导的复变函数，我们称这类函数为解析函数，这类函数具有一系列非常重要的特征.虽然单变量复函数可导的概念与单变量实函数可导的概念在形式上完全一样，但在区域上处处可导的复函数与在区间上处处可导的实函数相比较，前者所具有的特征比后者更为深刻和丰富.本课题主要研究了函数在区域D 内解析的条件及应用问题，以下从六个方面给予了分析与概括.
1. 函数解析的定义
1.1定义 若()f z 在0z 点的某一个邻域0()u z 内处处可导，则称()f z 在0z 点解析，并称0z 是()f z 的解析点.
由定义可以推出：若函数()f z 在0z 点解析，则一定存在一个邻域0()u z ，在0()u z 内任意一点1z 处()f z 解析，事实上1z 是0()u z 的内点，因而存在邻域1()u z 0()u z ，使()f z 在1()u z 内处处可导，于是按定义()f z 在1z 点解析.
由以上结果进而可以推出：若函数()f z 在一区域D 内处处可导，则根据定义，()f z 在D 内每一点都解析，这样的函数我们称之为解析函数，而D 称为()f z 的解析
性区域，按照这一称呼，()f z 若在一点0z 解析，则()f z 是0z 的某一邻域0()u z 上的解析函数.
更一般的说，若()f z 是点集E 上的解析函数，按定义()f z 应在复盖点集E 的一个领域集上处处解析，例如E 是某一光滑曲线L ，则“()f z 在L 上解析”实际上表明()f z 在包含L 的一个区域上处处解析.再如E 是一闭区域D ，则“()f z 在闭区域D 上解析”实际上表明()f z 在包含D 的一个区域D '上处处解析.
1.2 初等函数的解析性
由解析定义及导数性质可知：区域D 上两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是解析函数.另外解析函数的复合函数仍是解析函数；单叶解析函数的反函数一定是解析函数.
（1）多项式，指数函数z e ，正弦和余弦函数sin z ，cos z 等函数在整个复平面上处处可导，因而按定义它们在整个复平面上处处解析，在整个复平面上解析的函数称之为整函数.
（2）既约分式函数()()()
P z R z Q z =显然在整个复平面上除去的全部零点处处解析。

即在其定义域上解析，其他单值初等函数也都在其定义域上解析，例如sin tan cos z
z z =
则在整个复平面除去使cos z 为零的点之处处处解析，以后称使函数()f z 不解析的点为的奇点.
（3）对于初等多值函数，我们已知其每一个单值连续分支在其可单值分解区域上处处可导，因而由定义可知多值函数在其可单值分解区域中的每一个单值连续分支都是解析函数，我们称之为多值函数的单值解析分支，例如Lnz ω=在沿负半实轴 割开的平面区域D 上可划分为单值解析分支
()ln ||arg 2(0,1,1,)k Lnz z i z k i k ωπ==++=-+⋅⋅⋅ 它们的导函数都相同，为1z
ω'=. 显然负半实轴上的点都是每一个单值解析分支的奇点，在0z =的任一领域内Lnz ω=不可能划分为单值连续分支，当然也不能划分为单值解析分支，我们称0z =为函数的多值性奇点.
例1 函数()f z z =在平面上处处不可微.
证 很显然()f z 在z 平面上处处连续.
但 f z z z z z z z z z z z
∆+∆-+∆-∆===∆∆∆∆, 当0z ∆→时,上式极限不存在.因为让z ∆取实数而趋于零时,其极限为1;z ∆取纯虚数而趋于零时,其极限为-1.
例 2 试证:函数()n
f z z = (n 为正整数)在z 平面上处处可微,且1n
n dz nz dz -=. 证 设z 是随意固定的点,我们有
12100()(1)lim lim[()]2
n n n n n z z z z z n n nz z z z ---∆→∆→+∆--=+++∆∆ 1n nz -=.
如函数()f z 在区域D 内处处可微,则称在区域D 内可微.
2.函数解析的理论
2.1 函数在区域D 内解析的定理
定理2.4 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是:
(1) 二元函数(,)u x y ,(,)v x y 在区域D 内可微;
(2) (,)u x y ,(,)v x y 在D 内满足..C R -方程.
例3 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在何处可导?何处解析?
解 22()u x y x =--,2(2)v xy y =- 21u x x ∂=-∂, 2u y y
∂=-∂,2v y x ∂=∂ ,22v x y y ∂=-∂. 上述偏导在平面上连续,
令 u v x y
∂∂=∂∂⇒21x -22x y =-,12y =. u v y x
∂∂=-∂∂⇒2y -= 2y -
故当且仅当12y =
时, ..C R -条件成立,由定理知: ()f z 仅在直线12y =上可导.在直线12
y =上,不存在某点的一个领域,使得()f z 在此领域上可导,故由解析的定义知: ()f z 在复平面内处处不解析.
2.2函数在区域D 内解析的第一个等价定理
定理3.15 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是:
(1) x u , y u , x v y v 在D 内连续;
(2) (,)u x y , (,)v x y 在D 内满足..C R -方程.
证 充分性 即定理2.5,
必要性 条件(2)的必要性已由定理2.1得出,现在由于解析函数()f z 的无穷可微性, ()f z '必在D 内连续,因而x u , y u , x v y v 必在D 内连续.
例4 讨论函数2()||f z z =的解析性.
解 因 22(,)u x y x y =+,(,)0v x y =,
故 2x u x =,2y u y =,0x y v v ==.
这四个偏导数在z 平面上处处连续,但只在0z =处满足..C R -方程,故函数只在0z =可微,从而,此函数在z 平面上处处不解析.
例5 讨论函数2()f z x iy =-的可微性和解析性.
解 因 2(,)u x y x =,(,)v x y y =-,
故 2x u x =,0y u =,0x v =,1y v =-,
所以 0y x u v ==-.
要21x y u x v ===-,必须12x =-,故仅在直线12
x =-上, ..C R -方程成立,且偏导数连续.从而仅在直线12
x =-上可微,但在z 平面上, ()f z 却处处不解析. 注 上述两例,由于函数()f z 只在一个孤立点或只在一条直线上可微,各点都未形成由可微点构成的圆领域,故()f z 在其上都不解析,从而在z 平面上处处不解析.
2.3 函数在区域D 内解析的第二个等价定理
定理3.17 函数()f z 在区域G 内解析的充要条件是:
(1)()f z 在G 内连续;
(2) 对任一周线C ,只要C 及其内部全部含于G 内,就有()0c
f z dz =⎰. 证 必要性可由柯西积分定理导出.至于充分性,我们可在G 内任一点0z 的一个领域k : 0||z ξρ-<来证明,只要ρ充分小,就知道()f z 在圆k 内解析,特别说来,在0z 解析,因为0z 可在G 内任意取,故()f z 在G 内解析.
例6 如果函数()f z 为一整函数,且有使
Re ()f z M <
的实数M 存在,试证()f z 为常数.
证 令()()f z F z e =,则()F z 为整函数.又在z 平面上
Re ()|()|f z M F z e e =< ,
故有界,由刘维尔定理可见()F z 是常数,因此()f z 也是常数.
2.4函数在区域D 内解析的第三个等价定理
()(,)(,f z u x y i v x y =+在区域
D 内解析的充要条件是:在区域D 内(,)v x y 是(,)u x y 的共轭调和函数.
例 7 验证32(,)3u x y x xy =-是z 平面上的调和函数,并求以(,)u x y 为实部的解析函数()f z ,使得(0)f i =.
解 因在z 平面上任一点
2233x u x y =-, 6y u xy =-, 6xx u x =, 6yy u x =-.
故(,)u x y 在z 平面上为调和函数.
解法一 由 x y y x dv v dx v dy u dx u dy =+=-+
(,0)
(,)2222(0,0)(,0)(,)6(33)6(33)x x y x v x y xydx x y dy xydx x y dy c ⇒=+-++-+⎰⎰
220(33)y x y dy c =-+⎰ 233x y y c =-+,
故 3223()3(3)f z u iv x xy i x y y c =+=-+-+
33()x iy ic z ic =++++.
要合 (0)f i =, 必1c =, 故3()f z z i =+.
解法二 先由..C R -方程中的一个得 x y u v = 2233x y =-,
由 x y y x dv v dx v dy u dx u dy =+=-+
⇒ ()x v u dy x ϕ=+⎰
故 233()v x y y x ϕ=-+,
再由..C R -方程中的另一个得
6()6x y v xy x u xy ϕ'=+=-=,
故 ()0x ϕ'=,即 ()x ϕc =,
因此 23(,)3v x y x y y c =-+. (下同解法一)
例8 验证(,)arctan
(0)y v x y x x
=>在右半z 平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数()f z . 解 2222
21x y
y x v y x y x -
==-++(0)x >, 2222
21
1y x x v y x y x
==++(0)x >,2222()xx xy v x y =+ , 2222()
yy xy v x y =-+(0)x >, 于是 0xx yy v v +=(0)x >,
故在右半z 平面内, (,)v x y 是调和函数.
(,)()()x y u x y u dx y v dx y ϕϕ=+=+⎰⎰
22221()ln()()2
x dx y x y y x y ϕϕ=+=+++⎰,
两端对求导得 222212()2y x y y y u v x y x y ϕ'⋅+==-=++,
所以 ()0y ϕ'=,从而()y c ϕ= (任意常数),
(,)u x y =221ln()2
x y ++c , 故 ()f z =221ln()2x y c ++arctan (0)y i x x
+> ln ||arg z i z c =++
ln z c =+,
它在右半z 平面内单值解析.
2.5函数在区域D 内解析的第四个等价定理
定理4.15 函数在区域内解析的充要条件为:在内任一点的领域内可展成的幂级数.
例9 将1z
e z
-在0z =内展开成幂级数. 解 因1z
e z
-在||1z <内解析,故展开后的幂级数在||1z <内收敛. 已经知道 23
12!3!z
z z e z =++++ (||)z <+∞, 23111z z z z
=++++- (||1)z <, 在||1z <时,将两式相乘得
231111111(1)(1)(1)11!1!2!1!2!3!
z e z z z z =++++++++++- . 例 10 试将函数()2
z f z z =+按1z -的幂展开,并指明其收敛范围. 解 因()f z 是解析的,故
2()1122(1)3z z f z z z z ==-=-++-+ 2111
313
z =-⋅-+ 0211(1)()33
n n n z ∞=-=--∑ 1121()(1)333n n
n z ∞==---∑ (|1|3)z -<. 结语 以上对在区域D 内解析的条件及应用做了简单归纳,由于复变函数主要讨
论解析函数,因此判定一个函数是不是解析函数就十分重要.我们在学习的过程中,都要进行归纳总结,以便灵活运用.
参考文献:
[1] 复旦大学数学系.复变函数论[M ].上海:上海科学技术出版社,1987.
[2] 陈方权 蒋绍惠.解析函数论基础[M ].北京:北京师范大学出版社,1987.
[3] 钟玉泉.复变函数论(第三版)[M ].北京:高等教育出版社,2004.
[4] 复变函数学习指导书. 北京: 高等教育出版社,1996.
[5] 一个解析函数定理的推广.四川大学学报（自然科学版）,1990.。