结合坐标变换的GM(1,1)模型及其变形预测应用

第52卷第4期
2021年4月
㊀
㊀
人㊀民㊀长㊀江
Yangtze㊀River
㊀
㊀
Vol.52,No.4Apr.,2021
收稿日期:2020-02-22
基金项目:国家自然科学基金项目(91638203);河北省高校百名优秀创新人才支持计划资助项目(SL -RC2017033);河北省教
育厅2020年度河北省高等学校科学研究项目(Z2020222);张家口市科技计划项目(2021028D )
作者简介:邱利军,男,讲师,注册测绘师,研究方向为变形监测数据处理㊂E -mail :qiuljun@ 通讯作者:张㊀波,女,讲师,研究方向为工程结构抗震及变形研究㊂E -mail :xiaobotd@
㊀㊀文章编号:1001-4179(2021)04-0209-05
结合坐标变换的GM (1,1)模型及其变形预测应用
邱利军1,2,张㊀波1,2,周占学1,2,张京奎3
(1.河北建筑工程学院,河北张家口075000;㊀ 2.河北省土木工程诊断㊁改造与抗灾重点实验室,河北张家口075000;㊀3.中国电子科技集团公司第54研究所,河北石家庄0500813)
摘要:传统GM (1,1)模型以指数函数预测,而其一次累加序列的拟合函数曲线与实测序列的一次累加序列曲线并不重合,存在相近㊁相交或相离的趋势,导致后期预测的一次累加值存在误差㊂基于此,提出以序列下标(时间)为横轴,以序列值为纵轴建立平面直角坐标系,在坐标系内对一次累加序列拟合预测值进行先平移后旋转的坐标变换㊂变换后的点形成新的折线,则将原横坐标在新的折线或折线延长线上对应的纵坐标值作为一次累加最终预测值,累减还原后即可得到建模序列后期预测值㊂以两个工程实例对变形预测数据进行了验证,证实该方法可有效提高预测精度,对实际工程具有参考价值㊂关㊀键㊀词:沉降变形;变形预测;GM (1,1)模型;坐标变换中图法分类号:TV698㊀㊀㊀文献标志码:A
DOI :10.16232/ki.1001-4179.2021.04.033
㊀㊀建筑物在施工建设过程中需要进行变形监测以观测其变形状态,同时确保其建设期间的安全,该项工作一般会延续至运营期间㊂在获得变形数据后,变形分析则显得尤为重要,而变形预测是变形分析的一项重要内容㊂精确的变形预测能够对后期变形量有准确的判断,并对可能发生的危险情况提前制定应对策略,以避免危险发生,从而达到降低损失的目的㊂常用的变形预测方法有回归分析法㊁时间序列分析法㊁灰色系统分析模型㊁神经网络模型等[1]㊂由我国邓聚龙教授所提出的GM(1,1)模型是灰色系统理论的基本模型[2],其 小样本㊁贫信息 的建模特点能够做到建模预测的及时性㊂GM(1,1)模型在变形数据预测领域的应用研究与实践已经展开,并取得了诸多成果㊂其中,王艳艳[3]等㊁王朝阳[4]等结合工程实践分别针对传统均值GM(1,1)模型和新陈代谢GM(1,1)模型进行了应用研究㊂而由于模型建模存在优势建模维数,因此选取合适的等维或非等维
优势建模维数对GM(1,1)模型进行改进能够提高建模预测的精度[5-7];同时,由于传统GM(1,1)模型在建模机理上存在固有缺陷,因此,从初始值选取[8-9]㊁背景值重构[10-11]㊁光滑比优化等[12-14]一个或多个方面对其进行改进,能够提高预测精度㊂文建华[15]等采用函数对原始数据进行数据重构以剔除原数据中干扰因子;蔡小辉[16]等通过分解原始序列以提取单调序列,从而建立GM (1,1)模型进行变形预测;高宁[17]等引入半参数理论构建滑坡半参数GM(1,1)模型;胡华[18]等则以摩擦学理论为基础推导出边坡演化的非线性动力学模型,结合灰色系统理论构建了以速率为参量的GM(1,1)模型并应用于滑坡时间预测㊂而针对数据序列波动频繁等复杂数据预测问题,许多学者采用人工神经网络模型㊁灰色马尔科夫模型㊁自回归模型㊁Kalman 滤波等与GM (1,1)模型组合进行组合预测研究,取得了较好的效果[19-20]㊂
㊀㊀人㊀民㊀长㊀江2021年㊀
但是在传统GM(1,1)模型㊁原始数据变换改进的
GM (1,1)模型
[21-23]
以及基于建模机理缺陷改进的
GM(1,1)模型中,其本质依然是指数函数预测,无论拟合精度多高,建模序列的一次累加序列和拟合函数序列在后期依然出现相近㊁相交或相离的趋势,并不重合[24-26]㊂基于这种情况,提出采用平面坐标变换的方法对模型进行了改进,并以实测变形数据进行预测验证㊂
1㊀结合坐标变换的GM (1,1)模型
设原始数据序列为非负离散序列X (0)=(x (0)
(1),x (0)(2), ,x (0)(n )),X (1)=(x (1)(1),x (1)(2), ,x (1)(n ))是X (0)的1-AGO 序列,那么X (1)的紧邻均值生成序列是Z (1)=(z (1)(2),z (1)(3), ,z (1)(n ))㊂则GM(1,1)模型为
x (0)(k )+az (1)(k )=b (1)d x (1)
d t
+ax (1)=b (2)式(2)称为式(1)的白化方程㊂
设㊀㊀Y =x (0)(2)x (0)(3)︙x (0)(n )éëêêêêêùûúúúúú,B =-z (1)(2)1-z (1)(3)1︙︙-z (1)(n )1éëêêêêêùû
úúúúú用最小二乘法可求解得:
a
^=a
b []T
=(B T B )-1B T Y
(3)
将求得的a
^代入式(2)并求解,得到累加值的预测值:x
^(1)(k +1)=x
(0)
(1)-
b a
[]
e -ak
+b a
(4)
㊀㊀式(4)即为X (1)序列预测公式;若k +1ɤn ,即为拟合值;若k +1>n ,即为预测值㊂
由于建模数据序列已知,主要目的是得到k +1>n 情况下的后期较精确的预测值㊂一般认为建模数据序列中最后两项x (1)(n -1)和x (1)(n )表示了累加序列后期的趋势信息,而其对应公式(4)得到的预测值x
^(1)(n -1)和x ^(1)(n )与实测累加值趋势并不重合,因此考虑将公式(4)的预测值先平移,使得平移后的x ^(1)(n )与x (1)(n )重合,再对平移后数据序列绕点(n ,x
(1)
(n ))旋转,以旋转后折线或折线延长线上对应原
横坐标的点作为一次累加预测值,以此来降低一次累加预测值的误差,从而提高预测值的精度㊂具体步骤如下:
(1)坐标系横轴表示时间(或序号),而纵轴表示
数据序列值(X (1)和X ^(1))㊂横坐标不平移,而纵坐标平移量为
Δ=x
^(1)(n )-x (1)(n )(5)
㊀㊀若Δ>0,公式(4)的计算值则下移,反之,则上移㊂平移后公式为
x
^(1)(k +1)=x
(0)
(1)-
b a
[]
e -ak
+b a -Δ(6)
㊀㊀(2)计算旋转角θ值㊂通过(n -1,x (1)(n -1))
和(n ,x (1)(n ))构造直线l 1,(n -1,x
^(1)(n -1))和(n ,x ^(1)(n ))构造直线l 2,旋转角为两直线夹角,计算公式为
θ=arctan[x
^(1)(n )-x ^(1)(n -1)]-arctan[x (1)(n )-x (1)(n -1)]
(7)
㊀㊀若θ>0,则平移后进行顺时针旋转;若θ<0,则在平移后进行逆时针旋转㊂
(3)计算旋转后坐标㊂坐标系中任一点(x ,y )可
绕点(x 0,y 0)旋转θ角,得到新的坐标点(xᶄ,yᶄ),其对应转换公式为
xᶄ=(x -x 0)cos θ+(y -y 0)sin θ+x 0
yᶄ=-(x -x 0)sin θ+(y -y 0)cos θ+y 0
{
(8)
㊀㊀公式(6)的计算值对应的任一点(i ,x
^(1)(i ))(i >n ),经过旋转后的对应点为(x i ,y i ),则形成新的横纵坐标序列,增加点(n ,x (1)(n ))到横纵坐标序列,则横坐标序列为x =(n ,x n +1,x n +2, ,x n +m ),纵坐标序列为y =(x (1)(n ),y n +1,y n +2, ,y n +m ),m 为对应的n 期建模序列后的预测期数㊂根据所求一次累加预测序列横坐标n +i (i ɪN +)的大小,确定其所在的由x 序列相邻值构成的区间[x h ,x l ],其中x h <n +i <x l ,则可在该区间对应两端点所连直线上取得对应的预测值x ^(1)
(n +i )㊂其计算公式如下:
x ^(1)(n +i )=y l -y h x l -x h (n +i )+y l
-y l -y h x l -x h x l
(9)㊀㊀注意,若n +i >x n +m ,则以对应的x n +m -1和x n +m 两点连线延长线上的值为预测值㊂
对得到的预测序列累减还原,即可得到建模序列X (0)的m 期预测序列㊂若序列建模前进行了预处理,则需要进行反向还原处理㊂
模型原理如图1所示,建模序列与拟合序列对应的第n 个值以及第n -1个值所构成折线段趋势可能是相近(图1中n =5,n -1=4)㊁相交(图1中n =6,n -1=5)㊁相离(图1中n =7,n -1=6)的趋势,平移使
得第n 个值重合(图中采用n =6示意),计算夹角并进行绕点旋转的坐标变换,然后取横轴为定值时旋转后折线上对应的纵坐标值作为一次累加序列预测值(图1中虚线与旋转后折线交点)㊂由图1可知,旋转0
12
㊀第4期㊀㊀㊀邱利军,等:结合坐标变换的GM (1,1)模型及其变形预测应用
变换会导致拟合序列部分数据误差较大,但由于建模序列为已知序列,仅考虑预测阶段序列,则改进方法达到了提高预测序列精度的目的㊂需要说明的是:绕点旋转不改变旋转点至基准点(已知一次累加序列最后一项)的长度,图中长度不等是由于纵横坐标轴比例尺不同所致
㊂
图1㊀模型原理示意
Fig.1㊀Schematic diagram of model principle
2㊀工程实例
采用大坝沉降观测数据和基坑沉降观测数据进行算法验证,算法采用C#编程实现,中间变量均采用双精度(double)型数据,最后数据四舍五入取至小数点后两位㊂并采用4种不同模型对原始数据序列进行建模预测,以进行比较分析㊂所采用的模型如下:模型1,均值GM(1,1)模型;模型2,结合坐标变换的均值GM(1,1)模型;模型3,ln(x +c )预处理后均值GM(1,
1)模型;模型4,ln(x +c )预处理后再结合坐标变换的GM(1,1)模型㊂
实例1:取陆浑水库大坝坝顶P29测点11期沉降变
形观测数据[5-6],采用上述4种模型,以前9期数据作为原始序列进行建模,预测第10期和第11期数据㊂前9期实测建模数据序列如表1所列,后两期的预测数据与实测值及原文献方法的预测值如表2所列;后两期预
测数据与原文献方法预测值的相对误差如表3所列㊂
表1㊀实测建模数据序列值
表2㊀不同模型的预测值
Tab.2㊀The predicted values by different models
mm
周期实测值文献[4]文献[5]模型1模型2模型3模型41036.4636.7236.5936.9436.5236.9036.5011
37.60
37.38
37.44
38.28
37.66
38.17
37.64
㊀㊀由表2和表3可知:模型4的预测结果最好,其相对误差最小,仅为0.11%;模型2的预测精度次之,相对误差最大为0.16%;将模型1和模型2~4分别比较,可知坐标变换对模型预测精度有明显提高㊂4种模型自第9~11期的预测(第9期已知)与实测曲线如图2所示㊂
表3㊀不同模型预测值的相对误差
Tab.3㊀The relative error of models ’predicted values
%
周期文献[4]文献[5]模型1
模型2
模型3
模型410-0.71-0.36-1.31-0.16-1.22-0.1111
0.59
0.43
-1.80
-0.16
-1.52
-0.10
图2㊀不同模型建模预测曲线
Fig.2㊀The predicted curves by different models
㊀㊀由图2可知,坐标变换过程是对模型1以及模型
3预测值沿纵向向实测值的趋近和校正㊂
实例2:采用某基坑监测单个沉降观测点10期实测累计沉降数据[10],利用上述4种模型,以前7期数据作为原始序列进行建模,预测第8~10期数据㊂前
7期实测建模数据序列如表4所列,后3期预测数据与实测值如表5所示;后3期预测数据的相对误差如表
6所示㊂
表4㊀某基坑实测建模数据序列值
Tab.4㊀Sequence value of measured modeling data of a pit
表5㊀算例2不同模型的预测值
Tab.5㊀The predicted values of case 2by different models mm
周期实测累计沉降量
模型1模型2模型3模型488.17
9.27
7.788.22
8.20
9
10.3312.889.62
10.4610.371012.8217.9
11.6413.24
12.86
㊀㊀分析表5和表6可知:模型4的预测结果最好,其
相对误差均在0.4%以下;模型3的预测精度次之,其相对误差在0.5%~3.5%之间;分别比较模型1和模型2~4,可知坐标变换对模型预测精度提高明显㊂4种模型自第7期至第10期预测(第7期为已知值)结
1
12
㊀㊀人㊀民㊀长㊀江2021年㊀
果与实测曲线对比见图3㊂
由图3可明显发现:坐标变换过程虽然是对模型1及模型3预测值沿纵向向实测值的趋近和校正,但是可能出现图3中模型1与模型2的情况,即变换前后两条预测曲线分别位于实测曲线上方和下方,其原因在于以前期实测值与拟合值之间的夹角代替后期待测值与预测值之间的夹角误差较大,导致校正过大㊂
表6㊀不同模型预测值的相对误差
Tab.6㊀The relative error of models predicted values
%
周期模型1
模型2模型3
模型48-13.42 4.82-0.57-0.369
-24.68 6.91-1.30-0.3710-39.65
9.21
-3.24
-0.
35
图3㊀算例2不同模型建模预测曲线Fig.3㊀The predicted curve of case 2by
different models
㊀㊀综合实例1及实例2可知,坐标变换后模型能够提高原模型精度,其与ln(x +c )变换提高精度的原理不同,两者对精度提高的大小取决于原始已知序列,并不能单独认为某项改进较另一改进预测精度高,同时采用ln(x +c )变换和坐标变换的方法,会得到比单一改进方法更高的预测精度㊂而ln (x +c )变换与坐标变换组合改进模型的最终精度取决于变量c 能否取到较佳的估值㊂上述实例1所取c 为40,而实例2所取c 值为5.7㊂
3㊀结论
本文针对传统GM(1,1)模型的一次累加序列预测函数与实测累加序列存在趋势偏差这一情况,提出采用平面坐标变换的方式对模型进行改进,以此来提高预测精度㊂同时以实测变形监测数据来验证改进模型的精度,并对多种不同模型预测结果进行对比分析,得到以下结论:①坐标变换的改进模型精度较高,适用于短期变形预测,具有一定的工程实践应用价值;②该方法对本质为指数函数拟合预测的GM(1,1)系列模型具有适用性;③该方法依然需要
满足GM(1,1)模型建模序列要求,即序列近似指数增长,存在适用条件限制,对不满足建模条件的序列需要对原始序列进行预处理;④由于本质为指数函数预测,因此在处理频繁波动等复杂数据情况下难以独自进行,需要与其它模型进行组合处理;⑤坐标旋转变换的方法也可以向其它单一趋势外推预测模型推广㊂参考文献:
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2
12
㊀第4期㊀㊀㊀邱利军,等:结合坐标变换的GM(1,1)模型及其变形预测应用
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(编辑:胡旭东)
引用本文:邱利军,张波,周占学,等.结合坐标变换的GM(1,1)模型及其变形预测应用[J].人民长江,2021,52(4):209-213.
GM(1,1)model improved by coordinate transformation and
its application in deformation prediction
QIU Lijun1,2,ZHANG Bo1,2,ZHOU Zhanxue1,2,ZHANG Jingkui3
(1.Hebei University of Architecture,Zhangjiakou075000,China;㊀2.Hebei Key Laboratory of Diagnosis,Reconstruction and Anti
-disaster of Civil Engineering,Zhangjiakou075000,China;㊀3.54th Research Institute of CETC,Shijiazhuang050081,China) Abstract:㊀The traditional GM(1,1)model uses exponential function for prediction,and the fitting function curve of the first ac-cumulation data does not coincide with the first accumulation curve of the measured data,having a trend of closeness,intersection or separation between them,and it will lead to the error of first accumulated value of later prediction.Therefore,it was proposed to set up a plane coordinate system with sequence index(time)as the horizontal axis and sequence value as the vertical axis.In this coordinate system,the coordinate transformation of first translation and then rotation was carried out for the fitting prediction value of a cumulative sequence.After the transformation,the transformed points formed a new broken line,and then the ordinate value corresponding to the original abscissa on the new broken line or the broken line extension line was used as a cumulative final pre-diction value.After cumulative reduction,the late prediction value of the modeling sequence was obtained.The measured deforma-tion data of two cases were used to verify this method,which was proved that it can effectively improve the prediction accuracy,has
much reference value for practical engineering.
Key words:㊀settlement deformation;deformation prediction;GM(1,1)model;coordinate
transformation
312。