2022年江苏省连云港市高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2022年江苏省连云港市高考数学二模试卷
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则复数z的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬奥会冰壶比赛的赛程安
排如下，先进行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次，
循环赛结束后按照比赛规则决出前4名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整
个冰壶混双比赛的场数是( )
A. 48
B. 49
C. 93
D. 94
5.已知函数是偶函数，则m的值是( )
A. B. C. 1 D. 2
6.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是
( )
A. B. C. D.
7.一个二元码是由0和1组成的数字串…，其中…，称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误即码元由0变为1，或者由1变为已知
某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算④定义为：，
，，
已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么利用上述校验方程组可判定k等于( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.直线l：与抛物线C：交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是( )
A. 4
B. 10
C. 4或10
D. 4或12
9.一组数据
，
，…，
是公差为
的等差数列，若去掉首末两项，
后，则( )
A. 平均数变大
B. 中位数没变
C. 方差变小
D. 极差没变
10.是边长为2的等边三角形，已知向量
，
满足
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数
图象的一个对称中心
C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y 轴对称
D. 函数
在区间
上单调递减
12.在正四棱柱
中，
，
，
，其中
，
，则( )
A.
存在实数，，使得点
在平面CEF 内
B. 不存在实数，，使得直线EF 与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等
C. 存在实数，，使得平面CEF 截该正四棱柱所得到的截面是五边形
D. 不存在实数，，使得平面CEF 截该正四棱柱所得到的截面是六边形13.函数
的最小值是______.14.若双曲线经过点
，其渐近线方程为
，则双曲线的方程是______.
15.某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长，则2026年的利
润是______万元．结果精确到1万元16.曲线在
处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为
，则
__________，__________.
17.若数列
满足：
，
，对于任意的
，都有
证明：数列是等比数列；
求数列
的通项公式．
18.为研究某种疫苗的效果，对200名志愿者进行了试验，得到如下数据．
未感染病毒感染病毒合计
接种8020100
未接种6040100
合计14060200
根据200名志愿者的数据，问：能否有的把握认为疫苗有效？
现从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人，再从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率．
参考公式：，其中
参考数据：
19.在平面四边形ABCD中，，，，
求的面积；
求AC的长．
20.如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面BCD，，点E，F分别是BC，DC的中点．
证明：平面平面AEF；
若，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小．
21.已知函数
判断函数的单调性；
设，当时，，求实数b的取值范围．
22.已知圆M与圆：外切，同时与圆：内切．
说明动点M的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
设动点M的轨迹是曲线C，直线：与曲线C交于A，B两点，点P是线段AB上任意一
点不包含端点，直线过点P，且与曲线C交于E，F两点，若为定值，证明：
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合，，
故选：
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C
【解析】解：，
，
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D
【解析】解：由不等式，可得，不合题意，
要使得是的一个充分条件，
则满足，解得
故选：
求得不等式的解集为，结合题意，列出不等式组，即可求解．
本题考查了不等式的解法和充分必要条件的判断，考查了转化思想，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：巡回赛有场，
决出前4名后，分两组进行半决赛，半决赛举行2场，胜者决冠军举行1场，负者争铜牌举行1场，共举行场，
故选：
根据比赛规则，利用组合公式进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，根据比赛规则，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
由已知结合偶函数的定义可得恒成立，代入可求
【解答】
解：由题意得恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
整理得
故选：
6.【答案】B
【解析】解：如图所示，
圆台的母线长为，设上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为R，
由题意可得，，，
解得，；
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为
故选：
求出圆台的母线长，利用勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可．本题考查了圆台侧面展开图的理解与应用，以及圆台体积公式运用问题，是基础题．7.【答案】A
【解析】解：由已知得，
故，，，至少错误一个，
又，正确，故，，，均正确，
，正确，故，，，均正确，
综上，错误．
故选：
根据校验方程组分别判断各位码元的正误．
本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】D
【解析】解：可设，，由，
联立消去x可得，，
则，即，则，
可得AB的中点坐标为，
则，且AB的垂直平分线方程为：，
即，则可设圆M的圆心为，半径为r，
所以，则圆M的方程为，
即，
又圆心到直线l：的距离，且满足，
则，
又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以，
即，
由①②联立解得或
故选：
根据直线与抛物线相交，利用根与系数的关系可得A，B坐标间的关系，设圆M的圆心为，半径为r
，利用圆心在的中垂线上及圆心到准线的距离等于半径建立方程组求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的性质与平均数、中位数和方差、极差的定义应用问题，是基础题．
根据等差数列的性质，结合平均数、中位数和方差、极差的定义，判断正误即可．
【解答】
解：因为数据，，…，是公差为的等差数列，所以，
若去掉首末两项，后，则平均数不变，中位数不变，选项A错误，B正确；
因为、最偏离平均值，所以去掉，后，方差变小，极差变小，选项C正确，D错误．
故选：
10.【答案】AC
【解析】解：由题意可知，，则，故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，，则，故选项C正确：
对于选项D，，即，
故选项D错误．
故选：
根据向量的线性运算，模的性质，数量积的定义、运算律，向量垂直的数量积表示，逐项分析即可求解．
本题考查了数量积的性质和运算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：，
的最小正周期为，故A错误；
，故B正确；
将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数，为偶函数，故C正确；
由，可得，则在区间上单调递减，故D正确．
故选：
由二倍角的正弦公式、余弦公式和两角和的余弦公式，化简，再由周期公式和对称中心、奇偶性和单调性，可得结论．
本题考查三角函数的恒等变换，以及余弦函数的性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档
题．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了异面直线所成角，空间几何体的截面问题，属于中档题．
可用赋值法，取，即可判断选项A，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线夹角，即可判断B，根据平面CEF截四棱柱的平面与平面ABCD只有一个交点C，即可判断选项C与
【解答】
解：如图：
对于A，取，则四边形为平行四边形，则在平面CEF内，故A正确，
对于B，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以，，，，，，
，，，，
若直线EF与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等，
则EF与直线DA，DC，所成的角均相等，可设所成的角为，
则，
即，化简整理可得，，即，
故存在实数，u，使得直线EF与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等，故B错误，
对于C，D，平面CEF截四棱柱的平面与平面ABCD只有一个交点C，故截面最多为五边形，故C，D正确，
13.【答案】
【解析】解：
当且仅当，即，时等号成立．
函数的最小值是
故答案为：
把已知函数解析式变形，再由基本不等式求最值．
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为，则可以设其方程为，
又由其经过点，则有，
解得，
则其方程为：，
其标准方程为：
由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，双曲线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】147
【解析】【分析】
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．
由题意可知，万元，即可求解．
【解答】解：由题意可知，万元，
故2026年的利润是万元
故答案为：
16.【答案】；；
【解析】解：的导数为，
可得曲线在处的切线方程为，
当时，，
当时，，
则；
设，
，
上面两式相减可得，③
，④
③-④可得
故答案为：；
由导数的几何意义和直线的点斜式方程可得在处的切线方程，求得切线与坐标轴的交点，可得，再
由错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力，属于
难题．
17.【答案】证明：由，得，
即，又，，得，
所以是以2为首项，以3为公比的等比数列；
解：由可知，故，
所以，又，
所以是以为首项，以为公差的等差数列，
，
故
【解析】本题考查数列的递推公式，考查学生的逻辑推理和数学运算的能力，属于中档题．
由可得，结合，即可证明是以2为首项，以3为公比的等比数列；
由可知，故，从而，又，
进一步可得是以为首项，以为公差的等差数列，从而可得的通项公式．
18.【答案】解：由题意得
，
因为，
所以有的把握认为疫苗有效．
由题意可得从接种的100名志愿者中按分层抽样方法取出15人中，有人未感染病毒，有人感染病毒，
记事件A为“从这15人中随机抽取3人中至少有1人感染”，则事件为“从这15人中随机抽取3人中没有1人感染”，
由题意得，
所以，
所以从这15人中随机抽取3人，求至少有1人感染的概率
【解析】本题主要考查了独立性检验的实际应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．根据公式，求解，然后与临界值表中的数据比较可得结论，利用分层抽样的定义求出15人中有12人未感染病毒，有3人感染病毒，然后求出抽取的3人中没有1人感染的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果．
19.【答案】解：中，由余弦定理得，
，
即，
所以，
的面积
；
中，由正弦定理得，，
所以，
同理，中，由正弦定理得，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以
【解析】由已知结合余弦定理先求出CD，然后结合三角形面积公式可求；
由已知结合正弦定理及同角平方关系可求
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角平方关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为是正三角形，点E是BC中点，所以，
又因为平面平面BCD，平面平面，平面ABC，
所以平面BCD，
又因为平面BCD，所以，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以，
又因为，所以，又因为，，
平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，
又因为平面ACD，所以平面平面
在平面BCD中，过点E作，垂足为H，
设，则，，
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，
则，
设，则，，设平面AEG的法向量为，
由，令，故，
设平面ACD的法向量为，
由，令，则，
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为，
则，
当，最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小．
【解析】由面面垂直可得平面BCD，得出，再由可得平面AEF，即可得出平面平面AEF；
建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当，最大，最小，即可得出此时点G为BD的中点．
本题主要考查面面垂直的证明，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
21.【答案】解：因为，
且仅有时，，
故在单调递增；
，
得，
令，其对称轴为，
当时，即时，在上单调递增，且恒成立，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，恒成立，
当时，即时，
因为，且，
所以存在，使得时，，
所以在上恒成立，即在上单调递减，
所以，不满足题意，
综上所述，b的取值范围是
【解析】求导，可得，因此可得在上单调递增；
求得，求导，构造，利用二次函数的性质，当时，求得
，显然成立，当时，根据单调性可得，不满足题意，即可求得b 的取值范围．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值与最值，考查二次函数的性质，函数的隐零点问题，考查函数思想，构造法，考查计算能力，属于难题．
22.【答案】解：设圆M的半径为r，由圆M与圆：外切，得：，由圆M与圆：内切，得：，故，
则动点M的轨迹是，为焦点，长轴长为8的椭圆，
故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为
证明：设，则，由得，，
则，
当直线的斜率不存在时，，
此时，不为定值，故不合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，则：，即，
设，，由得：
，
则，
所以，
，
，
故，
若为定值，则，解得，
此时，代入得，
故点P是EF的中点，因此
【解析】根据动圆分别和两圆内切、外切的条件及椭圆的定义，可判断M轨迹为椭圆，再由条件得出a，b，即可求出轨迹方程；
设，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，根据为定值知斜率不存在时不合题意，斜率存在时由上述定值可得，据此计算点P的位置为EF中点即可得证．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．。