【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第3部分 专题一 第三讲 “2道”

“2道”拉分题专练卷(一)
1．已知函数f (x )＝x (x 2
－ax －3)．
(1)若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－1
3
是f (x )的极值点，求f (x )在区间[1,4]上的最大值；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵f (x )＝x (x 2
－ax －3)， ∴f ′(x )＝3x 2
－2ax －3. ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′ (x )≥0， 即3x 2
－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 分离参数得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1x 在[1，＋∞)上恒成立．
∵当x ≥1时，32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥3
2(1－1)＝0，
∴a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]．
(2)由题意得f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝0， 即13＋2
3a －3＝0，∴a ＝4， ∴f (x )＝x 3
－4x 2
－3x .
令f ′(x )＝3x 2
－8x －3＝0，得x 1＝－13
， x 2＝3.
当x 在[1,4]上变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：
∴f (x )(3)函数g (x )＝bx 的图像与函数f (x )的图像恰有3个交点， 即方程x 3
－4x 2
－3x ＝bx 恰有3个不相等的实根． 显然x ＝0是其中的一个根，
∴方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零的不相等的实根．
∴
⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝16＋＋b ，
－3－b ≠0，
∴b >－7且b ≠－3.
∴存在满足条件的b ，b 的取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．
2．已知椭圆M ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为223
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构
成的三角形的周长为6＋4 2.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)设直线l 与椭圆M 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为6＋42， 所以2a ＋2c ＝6＋42，
又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝22
3a ，
所以a ＝3，c ＝22，所以b ＝1， 故椭圆M 的方程为x 2
9
＋y 2
＝1. (2)法一：不妨设BC 的方程为y ＝n (x －3)(n >0)，则AC 的方程为y ＝－1
n
(x －3)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝n x －，x 29
＋y 2
＝1，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫19＋n 2x 2－6n 2x ＋9n 2
－1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
因为3x 2＝81n 2
－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2
－39n 2＋1，同理可得x 1＝27－3n
2
9＋n 2，
所以|BC |＝ 1＋n 2
·69n 2＋1，|AC |＝1＋n 2
n ·6n
2
9＋n
2，
S △ABC ＝1
2
|BC ||AC |＝
2⎝
⎛⎭
⎪⎫n ＋1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋1n 2＋649，
设t ＝n ＋1n ≥2，则S △ABC ＝2t t 2＋649＝2t ＋
649t ≤38，当且仅当t ＝8
3
时等号成立，所以△ABC
面积的最大值为3
8
.
法二：不妨设直线AB 的方程为x ＝ky ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky ＋m ，x 29
＋y 2
＝1，消去x 得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2
－9＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2
－9k 2＋9. ①
因为以AB 为直径的圆过点C (3,0)，所以CA ·CB ＝0. 由CA ＝(x 1－3，y 1)，CB ＝(x 2－3，y 2)， 得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.
将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式， 得(k 2
＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2
＝0. 将①代入上式，解得m ＝12
5
或m ＝3(舍)．
所以m ＝125(此时直线AB 经过定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，0，与椭圆有两个交点)，
所以S △ABC ＝12|DC ||y 1
－y 2|＝12×3
5
×
y 1＋y 2
2
－4y 1y 2＝9
5
k 2＋－144
k 2＋2
.
设t ＝
1k 2＋9，0<t ≤19，则S △ABC ＝95
－
14425
·t 2
＋t . 所以当t ＝25288∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19时，S △ABC 取得最大值38
.。