考点25 高中数学-不等关系与不等关系-考点总结及练习题

考点25不等式与不等关系
【命题趋势】
解不等式一直贯穿于其他知识点的考查中，比如一元二次不等式的求解常与集合结合考查，以及函数式的大小比较，在导数的应用中都常有体现，要密切关注：
【重要考向】一、比较大小二、求范围的问题
比较大小
（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.
（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：
①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值.②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.（4）利用单调性比较大小.
（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.
（1）实数的大小顺序与运算性质的关系
①a >b ⇔0a b ->；②0a b a b =⇔-=；③a <b ⇔0a b -<.
（2）不等式的性质
①对称性：a b b a >⇔<；(双向性)②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性)③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性)a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性)
⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)
⑦乘方法则：()0,1n
n
a b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)
⑧开方法则：a >b >0>
n ∈N ，n ≥2)．(单向性)
注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.
（2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号.【巧学妙记】
1.若=22+1，=2+2，=−−3，试比较，，的大小.【解析】∵=22+1，=2+2，=−−3，
∴−=(22+1)−(2+2p =2−2+1=(−1)2≥0，即≥，
−=(2+2p −(−−3)=2+3+3=(+32
)2+34
>0，即>，综上可得：≥>.
2.已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11
a b
<；③22ac bc >，则使得a b >成立的充分而不必要条件的是A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②③
【答案】C
【解析】对于①，由22a b >，得||||a b >，不一定有a b >成立，不符合题意；对于②，当1,1a b =-=时，有
11
a b
<，但a b >不成立，所以不符合题意；对于③，由22ac bc >，知c ≠0，所以有a b >成立，当a b >成立时，不一定有22ac bc >，因为c 可以为0，符合题意.
3.若a >b ，则
A ．ln(a −b )>0
B ．3a <3b
C ．a 3−b 3>0
D ．│a │>│b │
【答案】C
【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；
由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.
求范围的问题
求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.
在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误.【巧学妙记】
4.设实数x ，y 满足2
12xy ≤≤，223x y ≤≤，则4
7x y
的取值范围是______.
【答案】[]
2,27
【解析】因为()
3
242
72
x y x y xy ⎛⎫
⎪
⎝⎭=，()
322
2
82714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，,所以47827
[,][2,27]41
x y ∈=.
5.若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围.
【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.
易知()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f f b f f ⎧
=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤
⎣
⎦⎪⎩.
则()2423)()11(f a b f f =---=+.∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.方法二：由题意设2(0())f x ax bx a =+≠，则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ，∴42m n m n +=⎧⎨
-=-⎩，∴1
3
m n =⎧⎨=⎩.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).
∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.
6.已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182y
x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
的取值范围是A ．82,2⎡⎤⎣⎦
B ．8
1,22⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦
D ．7
1
,22
⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
【答案】C
【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-，
则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12
s t =⎧⎨=⎩，∵13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤，①又11x y -≤+≤，②∴①+②得137x y ≤-≤．
则371822,22y
x
x y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦
⎝⎭
．故选C ．
一、单选题
1．下列结论正确的是（）
A ．若a b >，则ac bc >
B ．若a b >，则
11a b
<C ．若22ac bc >，则a b
>D ．若a b >，则22
a b >2．已知a >b ，c >d ，则下列关系式正确的是（）
A ．ac +bd >ad +bc
B ．ac +bd <ad +bc
C ．ac >bd
D ．ac <bd
3．若0a b <<，则下列不等式中，不能成立的是（）
A ．
11a b
>B ．
11
a b a
>-C ．a b
>D ．22
a b >4．已知a ＞c ，b ＞d ，则下列结论正确的是（）A ．ab ＞cd B ．a －b ＞c －d C ．ab ＋cd ＞ad ＋bc
D ．||||
a b c d +>+
二、多选题
5．下列推导过程，正确的为（）
A ．因为a 、b 为正实数，所以2b a a b +≥=
B ．因为x ∈R ，所以21
11
x >+
C ．0a <，所以
44a a +≥=
D ．因为x 、y R ∈，0xy <，所以
2x y
x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=--+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦6．已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（）
A ．31
x y ->B ．2
xy y <C ．x x y y
<D ．
11x y
>7．已知0a b c <<<，且lg lg a c =，则（）
A ．2
a c +>B ．a a
cb bc >C ．log log a a c b b c <D ．e e
a c <8．已知实数a ，
b ，
c ，则下列命题为真命题的是（）
A ．若0a b >>，则11a b
>B ．若0,0,21a b a b >>+=，则
21
a b
+的最小值为8
C ．若0a b >>，1ab =，则
12a b a b
<+D ．若0a b >>，则sin sin a b
>9．已知ln ln 0x y >>，则下列结论正确的是（
）
A ．11x y
<
B ．1133x
y
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．log log y x x y
>D ．()
2
4
8
x y x y +
≥-10．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1，则下列结论正确的是（）
A ．(2
a b +≥B ．
222111
a b c a b c
++≤++C ．若0<c ≤1，则(a +1)(b +1)<4
D ．2
2223
a b c b
+≥
三、双空题
11．已知13a b <<<，则a b +的取值范围是_________，
a
b
的取值范围是________．12．已知14x y -<+<，23x y <-<，则x 的范围是_________，32x y +的范围是________．四、解答题
13．已知0a b c >>>，比较a b c a b c 与()
3
a b c abc ++的大小
一、单选题
1．（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab
+<<D ．0ab a b
<<+2．（2008·江西高考真题（理））若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是A ．1122
a b a b +B ．1212
a a
b b +C ．1221
a b a b +D ．
1
2
3．（2014·山东高考真题（文））已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是A ．33x y >B ．sin sin x y >C ．22ln(1)ln(1)x y +>+D ．
2211
11
x y >
++4．（2008·广东高考真题（文））设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（）A ．0
b a ->B ．330
a b +<C ．220
a b -<D ．0
b a +>5．（2012·北京高考真题（文））已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是
A ．132
2a a a +≥B ．222
132
2a a a +≥C ．若13a a =，则12
a a =D ．若31a a >，则42
a a >6．（2014·四川高考真题（文））若0,0,a
b
c
d >><<则一定有A ．
a b
c d
>B ．
a b c d
<C ．
a b d c
>D ．
a b d c
<7．（2015·浙江高考真题（文））设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．（2016·北京高考真题（理））已知,x y R ∈，且0x y >>，则A ．
11
0x y
->B ．sin sin 0x y ->C ．1
1()()02
2
x
y
-<D ．ln ln 0
x y +>9．（2016·浙江高考真题（文））已知a ，b ＞0，且a≠1，b≠1.若log >1a b ，则A ．(1)(1)0a b --<B ．(1)()0a a b -->
C ．
D ．(1)()0
b b a -->10．（2007·上海高考真题（理））已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22
a b <B ．22ab a b
<C ．
2211ab a b
<D ．
b a a b
<11．（2015·浙江高考真题（文））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A ．ax by cz ++
B ．az by cx ++
C ．ay bz cx ++
D ．ay bx cz
++12．（2016·全国高考真题（理））若1a b >>，01c <<，则A ．c
c a b <B ．c c
ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c
<13．（2017·山东高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
A ．21log ()2a b
a a
b b +<<+B ．
21
log ()2a b a b a b
<+<+C ．21log ()2
a
b
a a
b b +<+<D ．21log ()2
a
b
a b a b +<+<二、填空题
13．（2017·北京高考真题（文））能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.
14．（2011·江西高考真题（理））对于实数x ，y ，若，
，则
的
最大值为___________.
一、单选题
1．（2021·浙江高一期末）已知,,a b c ∈R ，且a b >，那么下列各式中正确的是（）
A ．
1a
b
>B ．
11a b
<C ．22ac bc >D ．33
a b >2．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）若0a >，0b >，且1
1a b
+=，则下列不等式错误的是（）
A ．
1
22a
b
+≥B
+
≤C ．
2
6b a
+≥D ．22log log 2
a b -≤-3．（2021·浙江高二期末）已知0a b >>，给出下列命题：
①若1a b -=，则1->；
②若1a b -=，则331a b ->；
③若1a b -=，则1a b e e ->；④若1a b -=，则ln ln 1a b ->．
其中真命题的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（）
A ．
11
x y
<B ．--+<+x y y x
e e e e C ．11022x
y
⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．22x y >5．（2021·惠来县第一中学高三月考）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A ．大于10g
B ．小于10g
C ．大于等于10g
D ．小于等于10g
6．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）实数x ､y ､z 满足244x x z y =+--且
220x y ++=，则下列关系成立的是（
）
A ．y x z >≥
B ．z x y ≥>
C ．y z x
>≥D ．z y x
≥>7．（2021·河南郑州市·高二期末（文））已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（
）
A ．a a m b b m
+>
+B ．22m m
a m a
b m b ++<
++C ．()()()()
22a m b m a m b m ++<++D ．
1
21
313b a ->-8．（2021·全国高三其他模拟）已知：0a b >>，且333()a b a b -=-，有以下4个结论：
①1a >，②1ab <，③2a b +>，④log log 2a b b a +>中，其中正确结论的个数是（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、多选题
9．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（）
A ．若0a b >>，则22ac bc >
B ．若0a b <<，则22
a a
b b >>C ．若0a b >>，且0
c <，则
22
c c
a b >D ．若a b >，则
11a b
<10．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）已知1x <-，那么下列不等式中，成立的是（）
A ．210x ->
B ．1
2x x
+
<-C ．sin 0
x x ->D ．cos 0
x x +>11．（2021·江苏高三其他模拟）已知g b 糖水中含有g a 糖(0b a >>)，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（
）
A ．a a m b b m
+<
+B ．22m m
a m a
b m b ++<
++C ．()()()()
22a m b m a m b m ++<++D ．
1
21
313b a -<-12．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）下列命题正确的是（）
A ．若0a b >>，0c <，则
c c
a b
>B ．若0a >，0b >，0c >，则
a a c
b b c
+≤
+
C ．若0a b >>，则
2+<D ．若1a >-，0b >，22a b +=，则
12
1a b
++的最小值为313．（2021·山东高三其他模拟）已知0a >，0b >，且1a b -=，则（）
A ．e e 1a b ->
B ．e e 1a b -<
C ．
91
4a b
-≤D ．222log log 2
a b -≥14．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知c a >，若函数2()2f x x x b =-+有两个零点
,c d ，()|ln |g x x d =-有两个零点,a b ，则下列选项正确的有（
）
A ．1
d b <<B ．2a b cd
+>C ．ad bc
>D ．log log a b c d
>15．（2021·河北高三其他模拟）已知,0,1a b a b >+=，则（）
A ．22a b ->
B ．12
log ()2
ab ≥C ．(2)b b
a a >-D ．2
3
4
a b +≥
参考答案
跟踪训练
1．C 【分析】
根据不等式的性质，对四个选项一一验证：对于A ：利用不等式的可乘性的性质进行判断；对于B ：取1,1a b ==-进行否定；
对于C ：利用不等式的可乘性的性质进行证明；对于D ：取1,1a b ==-进行否定.【详解】
对于A ：当a b >时，若取0c ≤，则有ac bc ≤.故A 不正确；对于B ：当a b >时，取1,1a b ==-时，有11
a b
>.故B 不正确；对于C ：当22ac bc >，两边同乘以
2
1
c ，则a b >.故C 正确；对于D ：当a b >，取1,1a b ==-时，有22=a b .故D 不正确.故选：C.【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：
①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.2．A 【分析】
利用作差法可判断A 、B ，利用特值法可判断C 、D .【详解】解：对于A 、B ：
a >
b ，
c >
d ，
∴ac +bd -(ad +bc )=(a -b )(c -d )>0，故A 正确，B 错误；
对于C ：当b =0，c <0时，ac <0，bd =0，故C 错误；对于D ：当a >b >0，c >d >0时，ac >bd ，故D 错误；故选：A.3．B 【分析】
利用基本不等关系判断数的大小即可.【详解】若0a b <<，则
110b a
a b ab --=>，即11a b
>，A 成立；11()0()()a a b b a b a a a b a a b ---==<---，即11a b a
<-，B 不成立；a b >，C 成立；22a b >，D 成立；
故选：B 4．C 【分析】
取2,1,1,2a c b d ===-=-，则可判断A 、B 、D 错误.则可选出答案.【详解】
若2,1,1,2a c b d ===-=-,此时2ab cd ==-，3a b c d -=-=，1a b c d +=+=.A 、
因为b d >，所以0b d ->，又因为a c >，所以()()a b d c b d ab cd ad bc ->-⇒+>+，C 正确.故选C.5．AD 【分析】
利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用不等式的性质可判断B 选项的正误.【详解】
对于A 选项，因为a 、b 为正实数，则
b a 、a
b
为正实数，
由基本不等式可得
2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，211x +≥ ，所以，2
1
011
x <≤+，B 选项错误；
对于C 选项，当0a <时，
()444a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，当且仅当2a =-时，等号成立，C 选项错误；对于D 选项，因为x 、y R ∈，0xy <，则
y x
、x
y 均为负数，
由基本不等式可得2x y
x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=--
+-≤-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当x y =时，等号成立，D 选项正确.故选：AD.【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．AC
对四个选项一一验证：
对于A ：利用=3x y 为增函数直接证明；对于B ：取特殊值判断；
对于C ：若0x y <<时，利用同向不等式相乘判断；若0x y <<时，有0x x <y y <，直接判断；若0x y <<时，利用不等式的乘法性质进行判断对于D ：取特殊值判断；【详解】
对于A ：因为两个不为零的实数x ，y 满足x y <，所以0x y ->，而=3x y 为增函数，所以033=1x y ->，即31x y ->；故A 正确；对于B ：可以取2,1x y =-=-，则有22,1xy
y ==，所以2xy y >；故B 不正确；
对于C ：若0x y <<时，则有0,0,x y x y ->->>>根据同向不等式相乘得：
x x y y ->-，即x x y y <成立；
若0x y <<时，有0x x <y y <，故x x y y <成立；
若0x y <<时，则有2
=x x x ，2
=y y y ，因为0x y <<，所以22y x >，即x x y y <成立；故C 正确；
对于D ：可以取2,1x y =-=，则有
111,12x y
=-=，所以11
x y <；故D 不正确；故选：AC 【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
【分析】
由于已知得1ac =，即1a c a a +=+利用基本不等式可判断A ；由1111a
a a a a c
b
c c bc b b ---⎛⎫
==> ⎪
⎝⎭
，
可判断B ；令1
2
a =，2c =，1
b =，可判断C ，D ．【详解】
由于0a b c <<<，且lg lg a c =，所以1
lg lg lg
a c c
=-=，所以1ac =，且1c >，01a <<，1
2a c a a
+=+
>，A 正确；因为1111a
a a a a c
b
c c bc b b ---⎛⎫==> ⎪
⎝⎭
，即a a cb bc >，B 正确；
令1
2
a =
，2c =，1b =，则log 0log a a c b b c =>，e e a c =>，C ，D 错误．故选；AB ．【点睛】
本题考查了比较大小，解题的关键点是由已知得出1ac =，考查了学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.8．ABC 【分析】
作差法可判断A ；由基本不等式1的代换可判断B ；由已知可得
11122,222
a a
b a a b a +
=>=<⋅，从而可判断C ；举出反例可判断D .【详解】选项A 中
110b a a b ab --=>，则A 正确；B ，214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫
++=+
+≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当4b a a b =，即11
,24
a b ==时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为1,0ab a b =>>，所以10>>>a b ，则111
22,222
a a
b a a b a +=>=<⋅，所以1
2a b a b <+，则C 正确；若,2
a b ππ==，满足0a b >>，而sin sin a b <，D 不正确，
故选:ABC ．【点睛】
方法点睛:
判断不等式是否成立常用方法：1、举反例可说明其不成立；2、利用基本不等式可判断；3、作差、作商法；4、利用函数的单调性；5、放缩法.9．ACD 【分析】
由ln ln 0x y >>，得到1x y >>，根据不等式的性质，可判定A 正确；根据1(3
x
y =的单
调性，可判定B 错误；根据对数的运算性质，可判定C 项正确；结合基本不等式，可判定D 正确.【详解】
因为ln ln 0x y >>，可得1x y >>，所以
11
x y
<，所以A 正确；又由函数1()3x y =为单调递减函数，所以1133x
y
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以B 错误；由log log 1y y x y >=，log log 1x x y x <=，所以log log y x x y >，所以C 项正确；
由()()2
2
24y x y x y x y +-⎡⎤-≤=⎢⎣⎦
，所以()2224168x x y x y x +≥+≥-，当且仅当2x =，1y =时等号成立，所以D 项正确.故选：ACD.10．ABD 【分析】
对于A ，根据a b +≥可得A 正确；对于B ，利用1abc =以及基本不等式可得B 正确；对于C ，利用1
1ab c
=
≥和基本不等式可得C 错误；对于D ，利用2
222
2222121a a b a a b b c b b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
和基本不等式可得D 正确.
【详解】
因为0,0,0a b c >>>，1abc =，
对于A
，因为a b +≥
，所以(2a b +≥=，故A 正确；
对于B ，222222
222111222
b c a c a b bc ac ab a b c a b c +++++=++≤+=++，故B 正确；
对于C ，由01c <≤，得1
1ab c
=
≥，
所以(1)(1)114a b ab a b ab ++=+++≥+≥，故C 错误；
对于D
，2
222
2222121021a a b a a b b c b b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=+=-++-≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3=，故D
正确.故选：ABD 11．()2,61,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
由不等式的性质运算即可求得结果.【详解】
13a b <<< ，即1a b <<，3a b <<，13a a b b ∴+<+<+，
又12a +>，36b +<，26a b ∴<+<；又
1113b a <<，13a a b ∴<<，又133a >，113a b
∴<<.综上所述：a b +的取值范围为()2,6；a b 的取值范围为1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故答案为：()2,6；1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
.
12．17,22⎛⎫
⎪⎝⎭323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】
利用不等式的基本性质可求得x 的取值范围，利用待定系数法可得
()()51
3222
+=
++-x y x y x y ，利用不等式的基本性质可求得32x y +的取值范围.【详解】
14x y -<+< ，23x y <-<，两个不等式相加可得127x <<，解得
1722
x <<，设()()()()32+=++-=++-x y m x y n x y m n x m n y ，
所以，32
m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得52m =，1
2n =，
因为()551022x y -
<+<，()13
122
x y <-<，由不等式的基本性质可得323
3222
x y -<+<
.故答案为：17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；323,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
.【点睛】
易错点点睛：本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，一般而言，不等式次数用得越多，所得代数式的取值范围越不准确，本题在求32x y +的取值范围时，可充分利用待定系数法得出()()51
3222
+=++-x y x y x y ，进而利用不等式的基本性质求解.13．()
3
a b c
a b c
a b c abc ++>【分析】
利用作商法比大小.【详解】
()
3
3
3
33
33
33
3
a b a c b c a b a c
b c b a
c a c b
a b c
a b c
a b c
a a
b a
b
c
b c c abc ---------+++++⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
,
1,03a a b b ->> 3
1a b
a b -⎛⎫
∴> ⎪⎝⎭
同理3
1a c a c -⎛⎫
> ⎪
⎝⎭，3
1b c b c -⎛⎫> ⎪
⎝⎭
,
从而
()
3
1a b c
a b c a b c abc ++>，
即a b c a b c >()
3
a b c abc ++.
真题再现
1．B 【详解】分析：求出
0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11
a b
+的范围，进而可得结果．详解：.0.30.3
log0.2,2a b log == 0.2211
log0.3,0.3log a b ∴
==0.311
0.4log a b ∴+=1101a b ∴<+<,即01
a b ab +<<又a 0,b 0
>< ab 0∴<即ab a b 0
<+<故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．2．A 【详解】
因为121212120,0,1
a a
b b a a b b <<<<+=+=22121212121
(
)(222
a a
b b a a b b +++<+=112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=-->11221221()
a b a b a b a b +>+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++<+11221
2
a b a b +>
，综上可得1122a b a b +最大，故选A.3．A 【详解】
由(01)x y a a a <<<知，,x y >所以，33x y >，选A.考点：指数函数的性质，不等式的性质.
4．D
【详解】
解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.
5．B
【详解】
设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据基本不等式可知B 选项正确．
6．D
【详解】
本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c
->->，所以a b d c ->-，故a b d c
<．故选D 7．D
【详解】
本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.
考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
8．C
【详解】
试题分析：A ：由，得，即，A 不正确；
B ：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C ：由，，得，故，C 正确；
D ：由
，得，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，
故选C.【考点】函数性质
【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
9．D
【详解】
试题分析：log log 1a a b a >=，
当1a >时，1b a >>，10,010,0a b a b a b ∴->->->-<，，
(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.
a b a a b b b a ∴-->----当01a <<时，01b a ∴<<<，10,010,0,
a b a b a b ∴-<-<--，(1)(1)0,(1)()0,(1)()0.a b a a b b b a ∴-->----观察各选项可知选D.
【考点】对数函数的性质.
【易错点睛】在解不等式log 1a b >时，一定要注意对a 分为1a >和01a <<两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．
10．C
【详解】
若a <b <0,则a 2>b 2
，A 不成立；若220{,ab a b ab a b >⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b a a b a b
==⇒>,所以D 不成立,故选C.
11．B
【详解】
由x y z <<，a b c <<，所以()()()
ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为
()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故
az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.
12．C
【详解】
试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3
211log log 22
>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a b b b a b a a b a b a c b c c c a b b a a b a b a
--=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a b
b a a b
c c a c b c b a
-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．【考点】
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
13．B
【详解】
因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2a
b a b a b ><<∴+=
1
2112log ()a b a a b a a b b b
+>+>+⇒+>+，所以选B.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
14．1,2,3
---【解析】
试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．
15．5
【解析】
此题，看似很难，但其实不难，首先解出x 的范围，
，再解出y 的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大，就去5
模拟检测
1．D
【分析】
对于A ，B ，C 三项通过已知条件举反例即可排除，D 选项则通过作差法因式分解即可判断.
【详解】
对于A 选项：举反例1,1a b ==-，则11a b
=-<，则A 不成立；对于B 选项：举反例1,1a b ==-，则
,1111a b ==-，所以11a b >，则B 不成立；对于C 选项：举反例0c =，则220,0a c b c ==，所以22a c b c =，则C 不成立；
对于D 选项：()()()23322
21324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∵a b >，∴0
a b ->又∵2213024a b b ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭∴330a b ->，即33a b >.则D 成立
故选：D.
2．C
【分析】
A 利用基本不等式结合已知即可判断正误，
B 完全平方公式得21
+
=+已知构造二次函数确定
a b 的范围，即可判断正误，C 应用基本不等式“1”的代换求最值即可，D 根据B 中
a b 的范围，结合对数的运算性质可判断正误.【详解】
A ：1
22
b a =+≥，当且仅当1a b =时等号成立，正确；
B ：211a
b =++=+，由11a b =-，则
2
2111111()244
a b b b b =-=--+≤，即22+≤，又0a >，0b >≤，当12a =
，2b =时等号成立，正确；
C ：2212()()333b b a ab
a a
b ab +=++=++≥+=+当且仅当ab =时
等号成立，而36+<，错误；
D ：由B 知14a b ≤，故22221log log log log 24
a a
b b -=≤=-，当12a =，2b =时等号成立，正确；
故选：C
3．B
举反例可以说明①④不正确，利用立方差公式可以证明②正确，利用指数函数的性质可以证明③正确．
【详解】
对于①，若1a b -=，取4,3a b ==21-=-<，①错误；
对于②，因为1a b -=，0a b >>，所以1a >，
()()()()()2
222331131+11a b a b a ab b a a a a a a =-++=+-+-=-->，②正确；对于③，因为0b >，所以1b e >，即有()111b b a b b e e e e e e +--=->=，③正确；对于④，若1a b -=，取,1a e b e ==-，则()ln ln 1ln 11a b e -=--<，④错误．所以真命题的个数是2．
故选：B ．
4．C
【分析】
选项A,D 举反例即可判断，选项B ，设x x y e e -=-，由其单调性可判断，选项C.由12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为R 上的减函数，可判断.
【详解】
解：A ：当2x =，3y =-时，11x y
>，∴A 错误，B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，
∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.
C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y
⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴C 正确，
D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误.
故选：C .
5．A
设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .根据天平平衡，列出等式，可得12,m m 表达式，利用作差法比较12m m +与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），先称得的黄金的实际质量为1m ，后称得的黄金的实际质量为2m .
由杠杆的平衡原理：15bm a =⨯，25am b =⨯．解得15a m b =，25b m a
=，则1255b a m m a b +=+.下面比较12m m +与10的大小：（作差比较法）
因为()()2125551010b a b a m m a b ab
-+-=+-=，因为a b ¹，所以()
250b a ab ->，即1210m m +>.
所以这样可知称出的黄金质量大于10g .
故选：A
6．D
【分析】
分别把两个等式转化，写成2244(2)0z y x x x -=-+=-≥及2(2)x y =-+的形式，从而比较数的大小.
【详解】
由244x x z y =+--知，
2244(2)0z y x x x -=-+=-≥，即z y ≥；
由220x y ++=知，2(2)x y =-+，则221
72()024
y x y y y -=++=++>，即y x >；
综上，z y x
≥>故选：D
7．B
【分析】
利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
对于A 选项，由题意可知a a m b b m
+<+，A 选项错误；对于B 选项，作出函数2x y =与y x =
的图象如下图所示：
由图可知，当0x >时，2x x >，0m > ，则2m m >，所以，()()()()()()()()()()
22220222m m m m m m m a b m a m b a b m a a m b b m b b m b b m ++-++--++-==>++++++，即22
m
m a m a b m b ++<++，B 选项正确；对于C 选项，()()()()()220a m b m a m b m m b a ++-++=->，
所以，()()()()22a m b m a m b m ++>++，C 选项错误；
对于D 选项，取1a =，2b =，则
1
21113143b a -=<=-，D 选项错误.故选：B.
8．B
【分析】
由已知可得223a ab b ++=，则结合0a b >>可得1a >，再根据222a b ab +>可得1ab <，由()2
22234a b a ab b ab +=++=+<可判断③，根据,a b 范围得出log 0,log 0a b b a <<.
【详解】
由立方差公式可得()()33223()a b a b a ab b a b -=-++=-，则223a ab b ++=，又0a b >>，222223a a a a ab b ∴++>++=，即21a >，1a >，故①正确；
222a b ab +≥Q ，当a b =时取等号，则222a b ab +>，则223a ab b ab ++>，即1ab <，故②正确；
()2
22234a b a ab b ab +=++=+<，2a b ∴+<，故③错误；1a >Q ，1ab <，01b ∴<<，则log 0,log 0a b b a <<，则log log 0a b b a +<，故④错误.
综上，正确的有2个.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是得出223a ab b ++=，进而得出1a >，1ab <.
9．BC
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A ：当0c =时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B:22,0
0a b a b a ab ab b a b ⎧<<⎧⇒>⇒>⎨⎨<<⎩⎩，22a ab b ∴>>，所以本命题是真命题；选项C:22
2211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，220,c c c a b
<∴> ，所以本命题是真命题；
选项D:若0,0a b ><时，
11a b
<显然不成立，所以本命题是假命题；故选：BC ．
10．ABC
【分析】根据不等式性质及基本不等式，以及三角函数的值域，逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A ，由1x <-可得21x >，所以210x ->，A 正确，
对B ，由1x <-，可得1x ->，所以11(2x x x x +=---<-=-，B 正确，对C ，1sin 1x -≤≤，1x ->，所以sin 0x x ->，C 正确，
对D ，当取2x =-时，而1cos 1x -≤≤，显然cos 0x x +>错误，
故选：ABC.
11．ABD
【分析】依题意得到
a a m
b b m +<+，再根据不等式的性质一一判断即可；【详解】
对于A ，由题意可知a a m b b m
+<+，正确；对于B ，因为2m
m <，所以2222m m
m m a m a m m a b m b m m b +++-+<=+++-+，正确；对于C ，
22a m a m m a m b m b m m b m ++++<=++++即()()()()22a m b m a m b m ++<++，错误；对于D ，1122131131311333b b b b a --+<==<--+，正确.故选：ABD
12．ACD
【分析】
对选项A ，利用不等式性质即可判断A 正确；对选项B ，利用特值法即可判断B 错误；对选项C ，利用基本不等式性质求解即可；对选项D ，首先根据题意得到123a b ++=，从而得到()1122112131a b a a b b ⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣+⎦+，再展开利用基本不等式求解即可.
【详解】
对选项A ，因为0a b >>，所以11a b <，又因为0c <，所以c c a b
>，故A 正确；对选项B ，因为0a >，0b >，0c >，设2a =，1b =，1c =，则2a b =，32a c b c +=+，a a c b b c
+>+，故B 错误；对选项C ，因为0a b >>
，所以()
22a b a b <+⇒<
+
2422a b +⇒<⇒C 正确；对选项D ，因为22a b +=，所以123a b ++=，所以()(
)(211211212155311313231a b a b a b a b a b +⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=+=++≥+=⎢⎥ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦+⎦+⎣，当且仅当()2121a b a b
+=+，即0a =，1b =时，取等号.故D 正确.故选：ACD
13．ACD
【分析】
对A ，化简可得()1a b b e e e e =--可判断；对B ，取特殊值可判断；对C ，由
()9191a b a b a b ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
展开根据基本不等式可得；对C ，化简可得2222log log log 12b b a b ⎛⎫++ ⎪⎝=⎭
-利用基本不等式可解.【详解】
对A ，由0a >，0b >，且1a b -=可得0a b >>，
则()()11b a a b b b e e e e e e -=-=--，
0b > ，1b e ∴>，又11e ->，()11b e e ∴->，即e e 1a b ->，故A 正确；
对B ，令2,1a b ==，则e e 211e a b =-->，故B 错误；
对C ，(
)9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当9b a a b =时
等号成立，故C 正确；
对D ，
()
22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭
-⎝=，当且仅当1b b
=，即1b =时等号成立，故D 正确.故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是巧妙利用已知条件1a b -=转化.
14．AB
【分析】
由已知分析得选项A 正确，利用基本不等式证明选项B 正确；利用不等式性质得到选项C 错误，利用作差法得到选出D 错误.
【详解】
因为函数2()2f x x x b =-+有两个零点,c d ，
所以440,1b b ∆=->∴<，所以2,1c d cd b +==<，
令()|ln |g x x d =-=0，所|ln |x d =有两个零点,a b ，
所以0,|ln ||ln |d a b d >==，所以1a >，
因为,1c a c >∴>，所以01d <<，因为b d b c
=<，所以选项A 正确；因为ln ,ln ,ln ln 0,ln()0,1b d a d a b ab ab -==∴+=∴=∴=，
所以2,a b +>=因为1,22cd b cd =<∴<，
所以2a b cd +>，所以选项B 正确；
因为0,0,c a b d bc ad >>>>∴>，所以选项C 错误；
11log log log log log log log log 0a b a a a
a a a c d c d c cd
b d
-=-=-==<，所以log log a b c d <，所以选项D 错误.
故选：AB
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在于证明10c a b d >>>>>.
15．BD
【分析】
对AC 选择，只需要举反例说明即可；对于BD 选项需要借助于不等式的性质以及函数的图像与性质进行证明.
【详解】
对A ：当12a b ==
时，02221a b -==<，即22a b -<，故A 错误；
对B ：因为1a b +=，a b +≥1≥，即104ab <≤，由于12log y x =在R 上单调递减，所以
()12log 2ab ≥，故B 正确；对C ：当12a b ==时，1
212b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11
22132(222b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，又由于12y x =在R 上单调递增，所以1
1221322⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即(2)b b a a <-，故C 错误；对D ：()
22213124431a a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭+-≥，故D 正确.故选：BD.。