2019版高考数学(理科)一轮复习达标检测(五)函数的单调性、奇偶性及周期性

高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性
一、选择题
1．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x
，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数
解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，
所以f (－x )＝3－
x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[ 3x －
⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x
在R 上是减函数， 所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．
2．(2018·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln (1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数
解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln3＝0，即m ＝1， 则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，
因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1
y
>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0
解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1
y <0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所
以有⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．
4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞1
2
时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0
D ．2
解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >1
2时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1
＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.
5．(2018·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π
7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭
⎫tan 5π
7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a
D ．a <b <c
解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π
7<0，
又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos 5π7<sin 2π
7
.
∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )是R 上的增函数，∴c <b <a ，故选B.
6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－11
3，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3]
解析：选B 由函数f (x )为R 上的偶函数知，只需考虑f (x )在(0，＋∞)上的单调性，由题意可知f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，则只需函数y ＝x 2＋ax ＋2的对称轴x ＝－a
2∈[2,3]即可，故a ∈[－6，
－4]，选B.
7．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－1
1＋x 2
，则使f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
3∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭
⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭
⎫1
3，＋∞ 解析：选A 由题意知，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，
当x ≥0时，易得函数f (x )＝l n (1＋x )－
1
1＋x 2
是增函数， 所以不等式f (x )>f (2x －1)等价于|2x －1|<|x |，解得1
3<x <1，
则x 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫1
3，1. 8．(2018·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当 x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1
5
，则f (log 220)＝( )
A ．1 B.4
5
C ．－1
D ．－45
解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数， 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4. 所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋1
5 ＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选C. 二、填空题
9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a
－1|
)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2
|a －1|
)＞f (2)，∴2
|a －1|
＜2＝21
2
，
∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜3
2.
答案：⎝⎛⎭⎫
12，32
10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5
2＋f (1)＝________.
解析：∵f (x )为奇函数，周期为2， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，
∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－41
2＝－2. ∴f ⎝⎛⎭
⎫－5
2＋f (1)＝－2.
答案：－2
11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对于任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，均有f (x 2)－f (x 1)
x 1－x 2
>0.
若f ⎝⎛⎭⎫－13＝12，2f ⎝⎛⎭
⎫log 18x
<1，则x 的取值范围为________． 解析：由f (－x )＝f (x )可知，函数f (x )是偶函数， 因为对于任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，均有f (x 2)－f (x 1)x 1－x 2>0，即f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
<0，
所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数．
又因为f ⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以2f ⎝⎛⎭⎫log 18x
<1＝2f ⎝⎛⎭⎫－13， 所以|log 18
x |>13，即log 18
x >13或log 18
x <－1
3
，
所以0<x <1
2
或x >2，
即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1
2∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭
⎫0，1
2∪(2，＋∞) 12．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1
e x ，其中e 是自然对数的底数．若
f (a －1)＋f (2a 2)≤0，
则实数a 的取值范围是________．
解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1
e x ，
得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1
e x －e x ＝－
f (x )，
所以f (x )是R 上的奇函数．
又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1
e x ≥3x 2－2＋2
e x ·1
e
x ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤1
2，
故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，1
2 三、解答题
13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x .
(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.
解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12
(－x )．
因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩
⎨⎧
log 12x ，x >0，
0，x ＝0，
log 12
(－x )，x <0.
(2)因为f (4)＝log 12
4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．
14．(2018·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x
4x ＋1.
(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－2
－x
4－x ＋1＝－2x
4x ＋1
.
由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.
∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎨⎧
2x
4x ＋1
，x ∈(0，1)，－2x 4x
＋1
，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.
(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x
4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1
4 x 1＋1－2x 2
4x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)
(4 x 1＋1)(4 x 2＋1)
，
∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0，
∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．
1．已知奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2.给出下列命题： ①D ＝[－1,1]；
②对∀x ∈D ，|f (x )|≤2；
③∃x 0∈D ，使得f (x 0)＝0；④∃x 1∈D ，使得f (x 1)＝1. 其中所有正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选A 由奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；
对于②，可能f (3)＝－3，|f (3)|＝3>2，故②错误；
对于③，当0不在D 中，且x 轴为渐近线时，则不满足③； 当y ＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.
2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，若∀x ∈R ，f (x －
1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎡⎦⎤－13，13
B.⎣⎡
⎦⎤
－33，
33 C.⎣⎡⎦
⎤－16，16 D.⎣
⎡⎦
⎤
－
66，
66 解析：选D 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ，0≤x <a 2
，－a 2，a 2
≤x <2a 2
，
x －3a 2，x ≥2a 2，
作出函数图象，再根据函数为奇函数画出x <0时
的图象如图所示，由题意，要满足∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )恒成立，所以应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈
⎣⎡⎦⎤－66
，66.。