【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 锁定128分 强化训练七

锁定128分强化训练(7)
标注“★”为教材原题或教材改编题.
一、 填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1. ★已知0<a<2,复数z 的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是 .
2. ★已知集合A={3,2a
},B={a,b},若A ∩B={2},则A ∪B= .
3. ★执行如图所示的流程图,输出的结果是
.
(第3题)
4. ★如图所示是某小组学生在一次数学测验中得分的茎叶图,则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是
.
(第4题)
5. “x>y>0”是“x
y >1”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或
“既不充分也不必要”)
6. 已知曲线y=12
x 在点(4,2)处的切线l 与两个坐标轴分别交于点A,B,O 为坐标原点,那么S △
AOB
= .
7. 已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120°,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为
.
(第7题)
8. 根据下面一组等式:
S 1=1, S 2=2+3=5, S 3=4+5+6=15, S 4=7+8+9+10=34, S 5=11+12+13+14+15=65, S 6=16+17+18+19+20+21=111,
……
可得S 1+S 3+S 5+…+S 2n-1= .
9. 已知抛物线y 2
=2ax(a ≠0)的准线与圆(x+3)2
+y 2
=16相切,那么实数a 的值为 .
10. 若变量x,y 满足约束条件x 1,y x,
3x 2y 15,≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
则w=log 3(2x+y)的最大值为 .
11. 设△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S=a 2-(b-c)2
,则
sinA
1-cosA = .
12. 定义在R 上的函数f(x)满足(x+2)f'(x)<0,又a=f(lo 12g 3),b=f
0.313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, c=f(ln3),则a,b,c 的大小关系为 .
13. 若函数f(x)=sin(2x+φ)π|φ|2⎛⎫< ⎪⎝⎭向左平移π6个单位长度后是奇函数,则函数f(x)在
π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 .
14. 已知函数f(x)=ax 2
+bx+1
4与直线y=x 相切于点A(1,1),若对任意x ∈[1,9],不等式f(x-t)≤x
恒成立,则所有满足条件的实数t 组成的集合为 .
二、 解答题(本大题共4小题,共58分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. (1) 若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,求角A 的大小; (2) 若c=10,A=45°,C=30°,求b 的值.
16. (本小题满分14分)如图,在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中,已知E,F,G 分别为棱AB,AC,A 1C 1的中点,∠ACB=90°,A 1F ⊥平面ABC,CH ⊥BG,H 为垂足. (1) 求证:A 1E ∥平面GBC; (2) 求证:BG ⊥平面ACH.
(第16题)
17. (本小题满分14分)据行业协会预测:某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品,可售出该产品1 000 t,若将该产品每吨的价格上涨x%,则销售量将减少mx%,且该化工产品每吨的价格上涨幅度不超过80%(其中m为正常数).
(1) 当m=1
2时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售额最大?
(2) 如果涨价能使销售额比原销售额大,求实数m的取值范围.
18. (本小题满分16分)设函数f(x)=1
3x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1.
(1) 若曲线y=f(x)与y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线,求实数a,b的值;
(2) 当b=1-a
2时,若函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求实数a的取值范围.
锁定128分强化训练(7)
【解析】由题知z=a+i,所以
因为0<a<2,所以|z|∈
2. {1,2,3} 【解析】由A∩B={2},得a=1,所以A={3,2},B={1,2},A∪B={1,2,3}.
3. 231 【解析】由流程图知,当x=231时满足题意.
4. 1.5 【解析】男生的所有成绩的个位上数字之和为47,所以男生的总成绩为47+90×3+80×2+70×2+60×2+50×1=787,因此男生的平均成绩为78.7,同理得女生的平均成绩为77.2,所以男生的平均成绩与女生的平均成绩之差是1.
5.
5. 充分不必要【解析】当x>y>0时,x
y>1成立;反之不成立,x<y<0时也可得到
x
y>1.
6. 2 【解析】 y'=1-21x 2,所以斜率k=12×1-24=14,切线方程是y-2=14(x-4).令x=0,y=1;令y=0,x=-4,所以三角形的面积是S=1
2×1×4=2.
【解析】 设母线长为l,则2π3l=2π,即l=3,所以高
,V=π3r 2
.
8. n 4
【解析】 S 1=1,S 1+S 3=16,S 1+S 3+S 5=81,…,猜想S 1+S 3+…+S 2n-1=n 4
.
9. 14或-2 【解析】 抛物线的准线方程为x=-a 2,由于抛物线的准线与圆相切,所以
a -3--2⎛⎫ ⎪⎝⎭=4,解得a=14或-2.
10. 2 【解析】 画出约束条件下的可行域如图中阴影部分所示,平移直线2x+y=0至点M 时,函数
z=2x+y 取得最大值,此时目标函数w=log 3
(2x+y)也取得最大值.由3x 2y-150,x-y 0,+=⎧⎨=⎩得x 3,
y 3,=⎧⎨=⎩
即点M(3,3),此时w max =log 3(2×3+3)=log 3
9=2.
(第10题)
11. 4 【解析】 S=a 2-(b-c)2=a 2-b 2+2bc-c 2
,由余弦定理得S=-2bccos A+2bc.又S=1
2bcsin A,从而有-2bccos A+2bc=1
2bcsin A,所以sinA 1-cosA =4.
12. c<b<a 【解析】 当x ∈(-2,+∞)时,f(x)单调递减,当x ∈(-∞,-2)时,f(x)单调递增.因为
-2<lo
1
2
g
3<0<
0.3
1
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭<1<ln3,所以f(lo12
g
3)>f
0.3
1
3
⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭>f(ln3),故c<b<a.
【解析】函数f(x)=sin(2x+φ)
π
|φ|
2
⎛⎫
<
⎪
⎝⎭向左平移
π
6个单位长度后得到的函数为
f
π
x
6
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭=sin
π
2xφ
6
⎡⎤
⎛⎫
++
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦=sin
π
2xφ
3
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭,
因为此时函数为奇函数,所以π
3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-
π
3+kπ,k∈Z.因为|φ|<
π
2,所以当k=0时,
φ=-π
3,所以f(x)=sin
π
2x-
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭.因为0≤x≤
π
2,所以-
π
3≤2x-
π
3≤
2π
3,即当2x-
π
3=-
π
3时,函数
f(x)=sin
π
2x-
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭有最小值,且最小值为sin
π
-
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
14. {4} 【解析】因为函数f (x)=ax2+bx+1
4与直线y=x相切于点A(1,1),所以有
1
a b1,
4
2a b1,
⎧
++=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
解得a=1
4,b=
1
2,所以f(x)=
1
4(x+1)2,即f(x-t)=
1
4(x+1-t)2≤x对于任意x∈[1,9]恒成立,即
≤x+1-t≤
对于任意x∈[1,9]恒成立,即
-x-1≤-t≤
-x-1
∈
[1,3]恒成立.又
-x-1≤
-x-1≥-4,所以-t=-4,即t=4,故满足条件的实数t的取值
集合为{4}.
15. (1) 由已知得(b+c)2-a2=3bc,即a2=b2+c2-bc.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得cos A=1 2.
因为0<A<π,所以A=π3.
(2) 因为A+B+C=180°,
所以B=180°-45°-30°=105°.
由正弦定理
b
sinB=
c
sinC,得
b=
c
sinC·sin B=0
10
sin30·sin 105°=20×
16. (1) 取BC的中点M,连接EM,GM,
则EM=1
2AC,EM∥AC,又A
1G=
1
2AC,A
1G∥AC,
所以A1G∥EM,A1G=EM,
所以四边形A1GME是平行四边形,所以A1E∥GM,
因为A1E⊄平面GBC,GM平面GBC,
所以A1E∥平面GBC.
(第16题) (2) 在三棱柱A1B1C1-ABC中,G,F分别为A1C1,AC的中点, 所以A1G=FC且A1G∥FC,
所以四边形A1FCG为平行四边形,
所以A1F∥CG.
因为A1F⊥平面ABC,所以CG⊥平面ABC.
因为AC平面ABC,
所以CG⊥AC.
因为CB⊥AC,CG,CB平面GCB,CG∩CB=C,
所以AC⊥平面BCG,
又因为BG平面BCG,所以AC⊥BG,
因为CH⊥BG,且AC∩CH=C,AC,CH平面ACH,
故BG⊥平面ACH.
17. (1) 设该产品每吨的价格上涨x% 时,销售额为y万元, 由题意得y=10×1 000×(1+x%)×(1-mx%),
即y=-mx2+100(1-m)x+10 000(0<x≤80).
当m=1
2时,y=-
1
2(x-50)2+11 250,
故当x=50时,y max=11 250(万元).
即该产品每吨的价格上涨50%时,销售额最大.
(2) 由题意及(1)得
当0<x≤80时,y>10×1 000,
即-mx2+100(1-m)x+10 000>10 000,0<x≤80, 所以-mx+100(1-m)>0(0<x≤80)恒成立.
由m>0,则100(1-m)
m>x
max,
即100(1-m)
m>80,所以0<m<
5
9,
所以m的取值范围是
5
m0m
9
⎧⎫
<<
⎨⎬⎩⎭.
18. (1) 因为f(x)=1
3x3-ax,g(x)=bx2+2b-1,
所以f'(x)=x2-a,g'(x)=2bx.
因为曲线y=f(x)与y=g(x)在它们的交点(1,c)处有相同切线, 所以f(1)=g(1),且f'(1)=g'(1),
即1
3-a=b+2b-1,且1-a=2b,
解得a=1
3,b=
1
3.
(2) 当b=1-a
2时,
h(x)=1
3x3+
1-a
2x2-ax-a(a>0),
所以h'(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).
令h'(x)=0,解得x1=-1,x2=a>0.
当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
所以函数h(x)的单调增区间为(-∞,-1),(a,+∞),单调减区间为(-1,a). 故h(x)在区间(-2,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减.
从而由函数h(x)在区间(-2,0)上恰有两个零点,
可知当且仅当
h(-2)0,
h(-1)0,
h(0)0,
<
⎛
>
<
⎝即
8
-2(1-a)2a-a0,
3
11-a
-a-a0,
32
-a0,
⎛
++<
++>
<
⎝
解得0<a<1 3.
所以实数a的取值范围是
1 0,
3
⎛⎫ ⎪⎝⎭.。