会宁县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

会宁县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）
A．B．C．D．
2．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：2：4 D．3：1：2
3．空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5）C．（4，﹣3，1）D．（﹣5，3，4）
4．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
5．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞）D．（2，+∞）
6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2
8．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，则f（2）+g（2）=（）
A．16 B．﹣16 C．8 D．﹣8
9．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
10．过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
11．已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9
[,6]5 B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]
12．如图，在平面直角坐标系中，锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O 交于A ，B ，C 三点．分别作AA'、BB'、CC'垂直于x 轴，若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形，则此三角形的外接圆面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．π
二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤当
tanB ﹣1=
时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．
14．已知,a b 为常数，若()()22
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________. 15．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
16．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
17．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），
=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
18．1785与840的最大约数为 ．
三、解答题
19．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，2
ABD π
∠=
，AD =22AB DC ==，F
为PA 的中点．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PB PD ===P BDF -的体积．
20．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]． （1）求图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
A
B
C
D
P
F
21．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．
22．已知椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2=4x 的焦点，离心率是．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）已知动直线y=k （x+1）与椭圆E 相交于A 、B 两点，且在x 轴上存在点M ，使得与k 的取值无
关，试求点M 的坐标．
23．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力． 24．已知
，且
．
（1）求sin α，cos α的值；
（2）若，求sin β的值．
会宁县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C
2．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
5．【答案】C
【解析】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
6．【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，
得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴1+x A=3
∴x A=2，
∴y A=±2，
∴△AOF的面积为=．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
9．【答案】B
【解析】
考点：空间直线与平面的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
10．【答案】A
【解析】解：∵x2=2y，∴y′=x，
∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，
∴B（1，），
∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，
∴直线l的方程为y=，
∴|AF|=1．
故选：A ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，
(1,6)B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用． 12．【答案】 A
【解析】（本题满分为12分）
解：由题意可得：|AA'|=sin α、|BB'|=sin β、|CC'|=sin （α+β）， 设边长为sin （α+β）的所对的三角形内角为θ， 则由余弦定理可得，cos θ= =
﹣cos αcos β
=﹣cosαcosβ
=sinαsinβ﹣cosαcosβ
=﹣cos（α+β），
∵α，β∈（0，）
∴α+β∈（0，π）
∴sinθ==sin（α+β）
设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得2R==1，
∴R=，
∴外接圆的面积S=πR2=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则6tan 3A=6tanA ，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当
tanB ﹣1=
时，
tanA •tanB=tanA+tanB+tanC ，即tanC=
，C=60°，
此时sin 2C=
，
sinA •sinB=sinA •sin （120°﹣A ）=sinA •（cosA+sinA ）=
sinAcosA+
sin 2A=
sin2A+
﹣
cos2A=
sin （2A ﹣30°）
≤
，
则sin 2C ≥sinA •sinB ．故⑤正确； 故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
14．【答案】 【解析】
试题分析：由()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，，得22()4()31024ax b ax b x x ++++=++，
即2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得1,7a b =-=-或
1,3a b ==，则5a b -=.
考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简()f ax b +的解析式是解答的关键. 15．【答案】49 【解析】解：
=
=7a 4 =49． 故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
16．【答案】[，3]．
【解析】解：直线AP的斜率K==3，
直线BP的斜率K′==
由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
17．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
18．【答案】105．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0． ∴840与1785的最大公约数是105． 故答案为105
三、解答题
19．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当E 为PB 的中点时，//CE 平面PAD ． （1分） 连结EF 、EC ，那么//EF AB ，1
2
EF AB =． ∵//DC AB ，1
2
DC AB =
，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． （3分） 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分）
（Ⅱ）设O 为AD 的中点，连结OP 、OB ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥， 在直角三角形ABD 中，1
2
OB AD OA =
=, 又∵PA PB =，∴PAO PBO ∆≅∆，∴POA POB ∠=∠,∴OP OB ⊥，
∴OP ⊥平面ABD ． （10分）
2PO ===
，2BD ==
∴三棱锥P BDF -的体积1112
222233
P BDF P ABD V V --==⨯⨯⨯=． （13分）
20．【答案】 【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a 的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
A
B
C
D
P
O
E F
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
21．【答案】（1）(][),06,-∞+∞；（2）[]1,0-. 【解析】
试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上
恒成立，即10a -≤≤.
试题解析：
（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧
⎨-+-≥⎩或24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4426x x x ≥⎧
⎨-+-≥⎩，
解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞+∞；
考
点：不等式选讲． 22．【答案】
【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且a=，…1分
c=e •a=
×
=
，
故b===，…4分
所以，椭圆E 的方程为
，即x 2+3y 2=5…6分
（2）将y=k （x+1）代入方程E ：x 2+3y 2=5，得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2﹣5=0；…7分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （m ，0），则 x 1+x 2=﹣，x 1x 2=
；…8分
∴=（x 1﹣m ，y 1）=（x 1﹣m ，k （x 1+1）），
=（x 2﹣m ，y 2）=（x 2﹣m ，k （x 2+1））；
∴
=（k 2+1）x 1x 2+（k 2﹣m ）（x 1+x 2）+k 2+m 2
=m 2+2m ﹣﹣
，
要使上式与k 无关，则有6m+14=0，解得m=﹣； ∴存在点M （﹣，0）满足题意…13分
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率2
13111324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.
（4分）
24．【答案】
【解析】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα=﹣=﹣；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（，），
∵sin（α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos（α+β）=﹣=﹣，
则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．。