2019年北师大版必修四第三章三角恒等变形单元练习题

2019年北师大版必修四第三章三角恒等变形单元练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若1
sin 3
α=，则cos2α= A ．89 B ．79 C ．79
-
D ．89
-
2．已知a ∈（0，π
2
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A ．
15 B
C ．3
D ．
5
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，
，()2B b ，，且2
cos23α=
，则a b -=
A.
15
D.1
4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，
a =2，c ，则C =
A.
π
12
B.π6
C.π
4 D.
π3
5．已知4
sin cos 3
αα-=，则sin 2α=（ ）．
A ．79-
B ．29
- C ．29
D ．
79
6．tan255°=
A.－2
B.－
C.2
7．已知
sin 3cos 22cos sin αα
αα
+=-，则2sin sin cos 1ααα++等于
A.115
B.2
5 C.85
D.7
5
8．若1sin 63πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭则2cos 23πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
( )
A.
79 B.79
-
D.
二、填空题
9．当x θ=时，函数()2cos f x sinx x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
________． 10．已知51
tan 45
πα⎛
⎫-=
⎪⎝⎭，则tan α=__________． 11．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________. 12．已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π
4
）= .
三、解答题
13．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5
αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．
14．设常数R a ∈，函数()2
sin 22cos f x a x x =+．
（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；
（2）若π14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求方程()1f x =[]ππ-，上的解．
参考答案
1．B 【解析】 【详解】
分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.
详解：2
27
cos2α12199
sin α=-=-= 故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】
2sin 2cos21α=α+，2
4sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭
．
sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，221
5sin 1,sin 5
∴α=α=，又
sin 0α>，sin 5
α∴=
，故选B ． 【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 3．B 【解析】 【分析】
首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2
cos23
α=，利用倍角公式以及余弦函
数的定义式，求得2
15a =
，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到
2a b a a -=-=
，从而确定选项. 【详解】
由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，
因为2
2
2cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，
解得2
15a =
，即a =
所以25
a b a a -=-=，故选B. 【点睛】
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4．B 【解析】 【详解】
试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，
∵
π
2
＜A ＜π， ∴A= 3π4
，
由正弦定理可得
c sin sin a
C A
=，
∵a=2，
，
∴sinC=sin c A a
=12=22
， ∵a ＞c ， ∴C=
π
6
， 故选：B ．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．A 【解析】 【详解】
()2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--==
=--.
所以选A. 【点睛】
本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】
详解：0
tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=
00
00
1
tan45tan30
2
1tan45tan30
+
+
==
-
【点睛】
三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．7．D
【解析】
【分析】
先由条件得到
1
tan
3
α=，然后将2
sin sin cos1
ααα
++添加分母后化为用tanα表示的形式，代入后可得所求值．
【详解】
sin3cos
2
2cos sin
αα
αα
+
=
-
∵，
1
tan
3
α=
∴，
2
2
22
sin sin cos
sin sin cos11
sin cos
ααα
ααα
αα
+
++=+=
+
∴
2
2
tan tan7
1
tan15
αα
α
+
+=
+
．
故选D．
【点睛】
关于sin,cos
αα的齐次式在求值时，往往化为关于tanα的式子后再求值，解题时注意“1”的利用．
8．B
【解析】
∵
1
sin()cos[()]cos
62633
ππππ
ααα⎛⎫
-=--=+=
⎪
⎝⎭
，
∴2
217
cos22cos121
3399
ππ
αα
⎛⎫⎛⎫
+=+-=⨯-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．选B．
9
．
10
-
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】
由函数()2cos )f x sinx x x α=+=+，
其中cos αα=
=且α为锐角， 当x θ=
)θα+=，即sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 令32πθα+=
，即32
π
θα=
-，
故31sin()sin(
)cos()cos 3
2332π
πππθαααα+
=-+=--=--
12210-=-=
. 【点睛】
本题主要考查了辅助角公式，以及两角差的余弦公式公式的化简、求值问题，其中解答中熟练使用辅助角公式，求得cos ,sin αα的值，以及准确使用两角差的余弦公式运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 10．
32
. 【解析】 【分析】
利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2
α=. 【详解】
5tan tan
5tan 114tan 541tan 51tan tan 4
π
απααπαα--⎛⎫-=== ⎪
+⎝
⎭+⋅，解方程得3tan 2α=. 【点睛】
本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确. 11
【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可． 【详解】
解：函数f （x ）＝2cos x +sin
x =
5cos
x 5
+sin x
）=sin （x +θ），其中tanθ＝2，
【点睛】
通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解
题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值． 12．4
3
-
【解析】 【分析】
由题求得θ4π+的范围，结合已知求得cos （θ4π+），再由诱导公式求得sin （4
πθ-）及cos （4πθ-），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan （θ4
π-）的值． 【详解】
解：∵θ是第四象限角， ∴222
k k π
πθπ-
+＜＜，则224
44
k k k Z π
π
π
πθπ-
++
+∈＜＜，，
又sin （θ4π+）35
=， ∴cos （θ4π+
）45===． ∴cos （
4π
θ-）＝sin （θ4π+
）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）4
5
=． 则tan （θ4π-）＝﹣tan （4
πθ-）4
445335
4sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=-
=-
=-⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
故答案为43
-． 【点睛】
本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 13．（1）7
25
-；（2）211-
【解析】
分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为4tan 3α=
，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以2
9cos 25α=，
因此，2
7cos22cos 125
αα=-=-．
（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．
又因为()cos αβ+=()sin αβ+==， 因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=
，所以22tan 24
tan21tan 7
ααα==--，
因此，()()()()
tan2tan 2
tan tan 21+tan2tan 11
ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+=
=-
⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 14．(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424
x x 或==-. 【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】
（1）∵()2
sin22cos f x a x x =+，
∴()2
sin22cos f x a x x -=-+，
∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，
∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；
（2）∵π14f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
∴2ππsin
2cos 1124a a ⎛⎫
+=+= ⎪⎝⎭
，
∴a =
∴()2
π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭，
∵()1f x =
∴π2sin 2116x ⎛
⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
∴πsin 26x ⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭ ∴ππ22π64x k +
=-+，或π5
2π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24
x k k =+∈，， ∵[]
ππx ∈-，
，
∴
5
π
24
x=-或
19
π
24
x=或
13π11π
2424
x x
或
==-
【点睛】
本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
答案第9页，总9页。