自学初中数学资料 圆之垂径定理、圆心角、圆周角定理

自学资料
一、圆的相关定义
【知识探索】
1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
【说明】
（1）过平面上一点能作无数多个圆；
（2）过平面上两点能做无数多个圆，这些圆的圆心在两点连线的垂直平分线上；
（3）过平面上三点：
①三点不在同一直线上，能作唯一一个圆；
②三点在同一直线上，不能作圆．
【错题精练】
例1．下列命题正确的个数有（）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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例2．有下列四个命题，其中正确的有（）
①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
例3．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，0），⊙O与x轴的负半轴交于B（﹣2，0）．点P是⊙O上的一个动点，PA的中点为Q．当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于（）
A.
B.
C.
D.
例4．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10，腰AB=6，求圆的半径r．
【举一反三】
1．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 无数条
2．下列语句中，不正确的个数是（）
①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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3．有下列说法：①圆中最长的弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③任意三点确定一个圆；④圆的两条平行弦所夹的弧相等；⑤三角形的外心是三边中垂线的交点，其中错误的个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4．⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是__________ ．
5．已知：△ABC（如图）
（1）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法及证明）．
（2）若∠A=60°，BC=8√3，求△ABC的外接圆的半径．
二、圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角之间的关系
【知识探索】
年份题量分值考点题型
2015114圆内接四边形的
性质；点与圆的
位置关系
选择、简答
201613圆周角定理；填空
2017219弧长面积；切线
的性质；圆周角
定理选择、填空、简答
201824圆周角定理；填空
2019216扇形面积；切线
长定理；圆心
角、圆周角、垂
径定理
填空、解答
【错题精练】
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例1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向
行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）
A. 51.5°
B. 60°
C. 72°
D. 76°
例2．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
̂的度数．
（1）若∠A=25°，求BD
（2）若BC=9，AC=12，求BD的长．
̂的度数为（）例3．已知如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，则CD
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
例4．已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，∠A=50°，∠B=70°，连接DO，CO，DC （1）如图①，求∠OCD的大小：
（2）如图②，分别过点C，D作OC，OD的垂线，相交于点P，连接OP，交CD于点M已知⊙O的半径为2，求OM及OP的长．
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̂的中点．例5．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为BD
（1）求证：DE=EC；
（2）若DC=2，BC=6，求⊙O的半径
例6．如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥OC．
（1）求证：∠ACB+∠BOC=90°；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长度．
例7．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，∠CAB=60∘，若AB=6cm．
（1）求弦AC的长；
（2）点P从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，到点B停止，过点P作PQ∥AC，交半圆O于点Q，设运动时间为t（s）．
①当t=1时，求PQ的长；
②若△OPQ为等腰三角形，直接写出t（t＞0）的值．
例8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
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（2）已知半圆的半径为5，BC =12，求sin∠ABD 的值．
【举一反三】
1．
如图，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB ̂=BC ̂=CD ̂，若∠AED=80°，则∠ACD 的度数
为（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 15°
2．已知△ABC 内接于⊙O ，点D 平分弧BmC
̂．
（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC ．求证：AC=CD ；
（2）如图②，若BC 为⊙O 的直径，且BC=10，AB=6，求AC ，CD 的长．
3．如图，在⊙O 中，点C 是优弧ACB 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 上的点，且AD=BE ，弦CM 、CN 分别过点D 、E ． （1）求证：CD=CE ．
（2）求证：AM
̂=BN ̂．
4．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC相交于点D，过点D作⊙O的切线与AC交于点E．
的值．
（1）求BD
BC
（2）判断DE与AC的位置关系，并证明你的结论．
（3）已知BC:AB=2:3，DE=4√2，求⊙O的直径．
5．已知直径CD⊥弦BF于E，AB为ʘO的直径．
̂=AĈ；
（1）求证：FD
（2）若∠DAB=∠B，求∠B的度数．
6．如图，⊙O的半径为2，弦BC=2√3，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC=45∘时，AE=EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED=√3；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
7．圆O的直径为10cm，A是圆O内一点，且OA=3cm，则圆O中过点A的最短弦长=__________cm
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8．如图，在圆O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________°
1．如图，AB圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，AB=4，则弧BC的长为（）π
A. 10
3
π
B. 10
9
π
C. 5
9
π
D. 5
18
2．如图，将钢珠放在一个边长AB=8mm的正方形的方槽内，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个钢珠的直径为______mm．
3．如图，AB是半圆的直径，E是弦AC上一点，过点E作EF⊥EB，交AB于点F，过点A作AD∥EF，
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交半圆于点D ．若C 是BD
̂的中点，AF AE =√5
4，则EF
AD
的值为 ．
4．在⊙O 的内接△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，
（1）①图1中，若作直径AP ，求证：AB.AC=AD.AP ；
②已知AB+AC=12，AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x ．求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（2）图2中，点E 为⊙O 上一点，且弧AE=弧AB ，求证：CE+CD=BD ．
5．在⊙O 的内接△ABC 中，AB+AC=12，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AD=3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x 。

（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大，并求出⊙O 的最大面积。

6．如图所示，MN 是圆O 中一条固定的弦，劣弧MN 的度数为120°，点C 是圆O 上一个动点（不与M 、N 重合）。

连接MC 、NC ，D 、E 分别是NC 和MC 的中点，直线DE 交圆O 于点A 、B 。

已知圆O 的半径为
，那么在点C 的运动过程中AE+BD 的最小值为__________ 。

● 在圆中遇到线段、周长以及面积的计算问题，将会用到的方法：垂径定理和母子型相似！涉及到角度
的计算，将运用到中间量弧！
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