最优化方法练习题答案修改建议版本--删减版

最优化⽅法练习题答案修改建议版本--删减版
练习题⼀
1、建⽴优化模型应考虑哪些要素 ?
答：决策变量、⽬标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。

min f (x)
答：针对⼀般优化模型 s.t. g i x 0,i 1,2,L m ，讨论解的可⾏域 D ，若存在⼀点 X * D ，对 h j x
0, j 1,L , p
于 X D 均有 f(X *
) f(X)则称 X *
为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代
所得到的序列 X (1),X (2),L ,X (K)L ，满⾜ f(X (K 1)) f (X (K))，则迭代法收敛；收敛的停⽌准则有
等。

练习题⼆
1、某公司看中了例 2.1中⼚家所拥有的 3种资源 R 1、R
2、和R 3，欲出价收购(可能⽤于⽣产附
加值更⾼的产品) 的对偶问题)。

如果你是该公司的决策者，对这 3 种资源的收购报价是多少？ (该问题称为例 2.1
解：确定决策变
量
对 3种资源报价 y 1,y 2, y 3作为本问题的决策变量。

确定⽬标函
数
问题的⽬标很清楚——“收购价最⼩” 。

确定约束条件资源的报价⾄少应该⾼于原⽣产产品的利润，这样原⼚家才可能卖。

因此有如下线性规划问题： min w 170y 1 100y 2 150y 3
5y 1 2y 2 y 3 10 s.t. 2y 1 3y 2 5y 3 18
y 1, y 2,y 3 0
2、研究线性规划的对偶理论和⽅法(
包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法) 答：
略。

3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：
x (k 1) x (k)
x (k 1)
x (k)
x (k) min z
x
1
x
2
x
3
min
z4
x
2
x
3
x
1 x
2
2x 3
2
x
1
2x
2 x
3
2
（1） s.t. 2x1
x
2 x
3 3
x
2
2x 3
x 4
2 x
1
x
3
4
x
2
x
3
x 5 5
x 1,x 2,x 3 0
x i 0
（i 1,2, ,5）
解：(1)引⼊松弛变量 x 4， x 5，x 6
min z x 1 x 2
x
3
0*
x 4
0* x 5 0* x 6
x 1 x 2
2x 3 x
4
=2
2x 1 x 2 x 3
x5
=3
x6=4
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
因检验数σ2<0，故确定 x 2 为换⼊⾮基变量，以 x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值
所在⾏对应的基变量 x 4 作为换出的基变量
因检验数σ3<0，故确定 x 3 为换⼊⾮基变量，以 x 3的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量 x 5
作为换出的基变量。

因检验数σj>0，表明已求得最优解：X* (0,8/ 3,1/ 3,0,0,11/ 3) ，去除添加的松弛变量，原问题的
最优解为：X* (0,8 /3,1/ 3)。

(2)根据题意选取x1，x4，x5，为基变
量：
min z 4 x2 x3
x1 2x2 x32
x2 2x3 x42
s.t.
x2 x3x5 5
x i 0 (i 1,2,,5)
因检验数σ2<0 最⼩，故确定x2 为换⼊⾮基变量，以x2 的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量x4作为换出的基变量。

因检验数σ3<0 最⼩，故确定x3 为换⼊⾮基变量，以x1 的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量x5作为换出的基变量。

因检验数σj>0，表明已求得最优解：X * (9, 4,1,0,0) 。

8、某地区有A、B、C 三个化肥⼚，供应本地甲、⼄、丙、丁四个产粮区。

已知各化肥⼚可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各⼚到各区每吨化肥的运价如表2-28 所⽰。

试制定个使总运费最少的化肥调拨⽅案。

表2- 1
运价/ 产粮区(元/
吨) 化肥⼚
甲⼄丙丁各⼚供应量/ 万吨
A158737
各区需要量/万吨6633
解：设A、B、C 三个化肥⼚为A1、A2、A3，甲、⼄、丙、丁四个产粮区为B1、B2、B3、B4；
c ij为由 A i运化肥⾄B j的运价，单位是元/吨；x ij为由A i运往B j的化肥数量( i=1,2,3;j=1,2,3,4)单位是吨；z表⽰总运费，单位为元，依题意问题的数学模型为：
34
min z
i
1 j 1c
ij x ij
x 11x
21
x
316
x 12x
22
x
326
x 13x
23
x
333
s.t. x x
24
x
343
x 11x
12
x
13
x
147
x 21x
22
248
x 31x
32
x
33
x
347
该题可以⽤单纯形法或matlab ⾃带⼯具箱命令( linprog )求解。

9、求解下列不平衡运输问题(各数据表中，⽅框内的数字为单位价格c ij ，框外右侧的⼀列数为各发点的供应量a i ，框底下⼀⾏数是各收点的需求量b j )：
75 20 50
20 10
要求收点 1 的需求必须由发点 4 供应
要求收点 3 的需求必须正好满⾜
10 80 15
7 5 2 15
9 6 0 15
5 10 15 解答略。

练习题三
1、⽤0.618 法求解问题
min (t) t32t 1
t0
的近似最优解，已知(t)的单⾕区间为[0,3] ，要求最后区间精度0.5。

答：t=0.8115；最⼩值-0.0886.(调⽤golds.m函数)
2、求⽆约束⾮线性规划问题
min f (x1,x2,x3)=x12 4x22 x32 2x1 的最优解解⼀：由极值存在的必要条件求出稳定点：
f2x1 2，f8x2，f2x3 ，则由 f x 0得x1 1，x2 0，x3 0 x1 x2 x3
再⽤充分条件进⾏检验：
2 f 2，2f2f 2f 2f2
，
f0
2 ，220，0
x12x22x32x1 x2 x1 x3x2x3
200
解⼆：⽬标函数改写成
2 2 2 min f(x1,x2,x3)=(x1 1) 4x2 x
3 1 易知最优解为( 1,0,0)，最优值为-1。

3、⽤最速下降法求解⽆约束⾮线性规划问题。

22
min f (X) x1 x2 2x1 2x1x2 x2 其中X (x1,x2)T，给定初始点X0 (0,0)T。

解⼀：⽬标函数f(x) 的梯
度
f(x)
(x1)
f (x) 1 f(x)
(x2)
1 4x1 2x2
1 2x1 2x2
f(X (0)
)
1
1令搜索⽅向d(1)
1
f (X
(0)
)再从X(0)
出发，
量为，最优步长为则有X(0)d(1)
故 f (x) f (X
(0)
d(1))2( )22(令1'( ) 2 20可得X(1) X(0)1d(1)
d(1)⽅向作⼀维寻优，令步长变
1( )
求出X (1)点之后，与上类似地，
进⾏第⼆次迭代：f (X
(1))
令步长变量为，最优步长为则有
X(1) d(2)
11
11
故 f (x) f (X(1)d(2))1)1)2(1)22(1)(1)
2( ) 10 2 0 可得21X
5
(2)X(1)
2d(2)
( 1)2 5 2 2 1 2( ) 令
0.8
1.2
f(X(2))0.2
0.2此时所达到的精
度
f (X (2)) 0.2828
本题最优解1，f(X ) 1,25
1.5
练习题四
1、⽯油输送管道铺设最优⽅案的选择问题：考察⽹络图4-
6，
设 A 为出发地， F 为⽬的地，
B ，
C，D，E 分别为四个必须建⽴油泵加压站的地区。

图中的线段表⽰管道可铺设的位置，线段旁的数字表⽰铺设这些管线所需的费⽤。

问如何铺设管道才能使总费⽤最⼩？
图 4- 1
解：
第五阶段： E1— F 4；E2—F 3；
第四阶段： D1—E1 —F 7； D2— E2—F 5；D3—E1—F 5；
第三阶段： C1—D1—E1 —F 12；C2—D2—E2—F 10；C3—D2—E2—F 8；C4—D3—E1—F 9；第⼆阶段： B1— C2—D2—E2—F 13； B2—C3—D2— E2—F 15；第⼀阶段： A —B1—C2—D2—E2— F 17；最优解： A —B1—C2— D2—E2—F 最优值： 17
2、⽤动态规划⽅法求解⾮线性规划
max f (x) x 1 x 2 x 3
3、⽤动态规划⽅法求解⾮线性规划
max z 7x 12 6x 1 5x 22 s.t. x 1 2x 2 10
x 1 3x 2 9 x 1,x 2 0
解：⽤顺序算法
阶段：分成两个阶段，且阶段 1 、2 分别对应 x 1,x 2 。

决策变量： x 1,x 2
状态变量： v i , w i 分别为第 j 阶段第⼀、第⼆约束条件可供分配的右段数值。

* 2 2 2
f 1 (v 1,w 1) max{7 x 1 6x 1} min{7 v 1 6v 1,7 w 1 6w 1}
0 x 1 v 1
0 x 1 w
1
x1 min{ v1 , w1}
*2 f2(v2,w2) max{5 x2
max{5 x22
* f1 (v2 2x2,w2 3x2)}
22
min{7( v2 2x2)2 6(v2 2 x2 ),7( w2 3x2)2 6(w2 3x2)}}
由于v2 10,w2 9 ，* * 2 2
f2* (v2,w2) f 2* (10,9) max{min{33 x22 292x2 760,68 x22 396x2 621}
可解的x1 9.6, x2 0.2 ，最优值为702.92。

4、设四个城市之间的公路⽹如图4-7。

两点连线旁的数字表⽰两地间的距离。

使⽤迭代法求各地到城市 4 的最短路线及相应的最短距离。

解：城市1到城市4路线——1-3-4 距离10；城市 2 到城市 4 路线——2-4 距离8；城市
3 到城市
4 路线——3-4 距离4。

5、某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每⽉可得到的利润如表4-19 所⽰。

试问在各地区如何设置销售点可使每⽉总利润最⼤。

表4- 1
解：
将问题分为3个阶段，k=1，2，3；决策变量x k表⽰分配给第k 个地区的销售点数；状态变量为s k 表⽰分配给第k 个⾄第 3 个地区的销售点总数；状态转移⽅程：s k+1=s k－x k，其中s1=4；
允许决策集合： D k （s k ）={x k |0≤x k ≤ s k }
阶段指标函数： g k （x k ）表⽰ x k 个销售点分配给第 k 个地区所获得的利润；
g k (x k ) f k 1(s k x k )]
k 3,2,1
0 x k s k
f 4(s 4) 0
k=3 时，
f 3(s 3) max[
g 3 (x 3 )]
x 3 s
3
k=2时， f 2(s 2) 0m x 2
ax s 2
[g 2(x 2) f 3(s 2 x 2)]
k=1时， f 1(s 1) 0m x ax s [ g 1 (x 1) f 2(s 1 x 1)]， f 1(s 1) 0m x ax 4[g 1(x 1) f 2(4 x 1)]
动态
最优解为： x 1* =2， x 2* =1，x 3*
=1， f 1(4)=47，即在第 1个地区设置 2 个销售点，第 2 个地区设置
1
个销售点，第 3 个地区设置 1 个销售点，每⽉可获利润 47
6、设某⼚计划全年⽣产某种产品 A 。

其四个季度的订货量分别为 600 公⽄，700公⽄，500公⽄
和 1200 公⽄。

已知⽣产产品 A 的⽣产费⽤与产品的平⽅成正⽐，系数为 0.005。

⼚内有仓库可存放产品，存储费为每公⽄每季度 1 元。

求最佳的⽣产安排使年总成本最⼩。

解：四个季度为四个阶段，采⽤阶段编号与季度顺序⼀致。

设 s k 为第 k 季初的库存量，则边界条件为 s 1=s 5=0
设 x k 为第 k 季的⽣产量，设 y k 为第 k 季的订货量； s k ，
x k ，y k 都取实数，状态转移⽅程为
sk+1=sk+xk - yk 仍采⽤反向递推，但注意阶段编号是正向的⽬标函数为：
4
2 f 1
(x) min (0.005 x i s i )
x 1
,x 2
,x 3
第⼀步： (第四季度 ) 总效果 f 4(s 4,x 4)=0.005 x 42+s 4
由边界条件有： s 5= s 4 + x 4 –y 4=0，解得： x 4*=1200 –s 4 将 x 4* 代⼊ f 4(s 4,x 4)得：f 4*( s 4)=0.005(1200 –s 4)2+s 4=7200 –11 s 4+0.005 s 42 第⼆步：
(第三、四季度 ) 总效果 f 3(s 3,x 3)=0.005 x 32
+s 3+ f 4*( s 4)
将 s 4= s 3 + x 3 – 500 代⼊ f 3(s 3,x 3) 得：
2
f 3(s 3,x 3) 0.005x 32
s 3 7200 11(x 3 s 3 500)
0.005(x 3 s 3 500)2
22
0.01x 32
0.01x 3s 3 16x 3 0.005s 32
15s 3 13950
解得 x 3 800 0.5 s 3 , 代⼊ f 3(s 3,x 3)得
2
f 3 (s 3) 7550 7s 3 0.0025s 32
第三步： (第⼆、三、四季度 ) 总效果
f 2(s 2,x 2)=0.005 x 22+s 2+ f 3*( s 3)
将 s 3= s 2 + x 2 700 代⼊ f 2(s 2,x 2) 得：
2
f 2(s 2,x 2) 0.005x 22
s 2 7550 7(x 2 s 2 700)
f 3(s 3,x 3)
x
3
0.02 x 3 0.01s 3 16
2
0.0025(x 2 s 2 700)2
f 2(s 2,x 2)
0.015x 2 0.005(s 2 700) 7 0 x 2
解得 x 2 700 (1 3)s 2, 代⼊f 2 (s 2, x 2 )得
f 2(s 2) 10000 6s 2 (0.005 3)s 22 第四步： (第⼀、⼆、三、四季度 ) 总效果
f 1(s 1,x 1)=0.005 x 12+s 1+ f 2*( s 2)
将 s 2= s 1 + x 1 – 600= x 1 – 600 代⼊ f 1(s 1,x 1) 得：
2
f 1(s 1,x 1) 0.005x 12
s 1 10000 6(x 1 600)
(0.005 3)(x 1 600)2
f 1(s 1,x 1)
(0.04 3)x 1 8 0 x 1
解得 x 1 600, 代⼊f 1 (s 1, x 1 )得
f 1 (s 2) 11800
由此回溯：得最优⽣产 –库存⽅案
x 1*=600 ，s 2*=0 ； x 2*=700 ，s 3*=0 ； x 3*=800 ，s 4*=300 ； x 4*=900。

7、某种机器可在⾼低两种不同的负荷下进⾏⽣产。

设机器在⾼负荷下⽣产的产量函数为 g=8u 1，
其中 u 1为投⼊⽣产的机器数量，年完好率 a=0.7；在低负荷下⽣产的产量函数为 h=5y ，其中 y 为投⼊⽣产的机器数量，年完好率为 b=0.9。

假定开始⽣产时完好机器的数量 s 1=1000。

试问每年如何安排机器在⾼、低负荷下的⽣产，使在 5 年内⽣产的产品总产量最⾼。

解：
构造这个问题的动态规划模型：设阶段序数 k 表⽰年度。

状态变量 s k 为第 k 年度初拥有的完好机器数量，同时也是第 k-1 年度末时的完好机器数量决策变量 u k 为第 k 年度中分配⾼负荷下⽣产的机器数量，于是 s k - u k 为该年度中分配在低负荷下⽣产的机器数量。

这⾥ sk 和uk 均取连续变量，它们的⾮整数值可以这样理解，如 sk=0.6，就表⽰⼀台机器在 k 年度中
正常⼯作时间只占 6/10；u k =0.3，就表⽰⼀台机器在该年度只有 3/10 的时间能在⾼负荷下⼯作。

状态转移⽅程
s k 1 au k b(s k u k ) 0.7u k 0.9(s k u k ), k 1,2,L ,5
k 段允许决策集合为： D k (s k ) u k 0 u k s k 设v k (
s k ,
u k )
为第 k 年度的产量，则 v k 8u k 5(s k u k )
5
故指标函数为： V 1,5 v k ( s k ,u k )
k1
令最优值函数 f k(s k)表⽰由资源量 sk 出发，从第 k 年开始到第 5年结束时所⽣产的产品的总产量最⼤值。

因⽽有逆推关系式：
f 6(s 6) 0
k 1,2,3, 4,5
从第 5 年度开始，向前逆推计算当 k=5 时，有：
f 5(s 5)
max 8u 5 5(s 5 u 5) f 6 0.7u 5 0.9(s 5 u 5) 0 u5 s 5
max 0 u5 s 5
8u 5 5(s 5 u55)
max
3u 5 5s 5
0 u5 s 5
因 f 5 是 u5 的线性单调增
函数，故得最⼤解 u 5* ，相应的有：
f 5(s 5) 8s 5
当 k=4 时，有：
5(s 4 u 4) 8 0.7u 4 0.9(s 4 u 4)
max 13.6u 4 12.2( s 4
0 u 4 s 4
max 1.4u 4 12.2s 4
0 u 4 s 4
故得最⼤解， u 4*=s 4，相应的有
f 4(s 4) 13.6 s 4
依此类推，可求得
u 3*
s 3, 相应的 f 3(s 3) 17.5s 3 u 2* 0, 相应的 f 2(s 2) 20.8s 2 u 1* 0, 相应的 f 1(s 1) 23.7s 1
因 s 1=1000，故： f 1(s 1) 23700
f k (s k ) u k
m D a k
x (s k
) 8u k 5(s k u k )
f k 1 0.7u k 0.9(s k u k )
f 4(s 4) max 8u 4
0 u 4 s 4
5(s 4 u 4) f 5 0.7u 4 0.9(s 4 u 4)
max 8u 4
0 u 4 s 4
u 4)
计算结果表明：最优策略为
u1* 0,u*2 0,u*3 s3 , u*4 s4 , u5* s5
即前两年应把年初全部完好机器投⼊低负荷⽣产，后三年应把年初全部完好机器投⼊⾼负荷⽣产。

这样所得的产量最⾼，其最⾼产量为23700 台。

在得到整个问题的最优指标函数值和最优策略后，还需反过来确定每年年初的状态，即从始端向终端递推计算出每年年初完好机器数。

已知s1=1000 台，于是可得：
s
20.7u1*0.9(s1u1*)0.9s1900(台)
s
30.7u2*0.2(s2*u
2*)0.9s2
810(台)
s
40.7u*30.9(s3*u
3
*)0.7s3567(台)
s
50.7u*40.9( s4*
u4*)0.7s4397(台)
s
60.7u*50.9(s5*u*)0.7s5278(台)
8、有⼀辆最⼤货运量为10t 的卡车，⽤以装载 3 种货物，每种货物的单位重量及相应单位价值如表4-20 所⽰。

应如何装载可使总价值最⼤？
表4- 2
解：建模设三种物品各装x1, x2 , x3件
max(4 x1 5x2 6x3)
3x1 4x2 5x3 10
x j 0,x j I, j 1,2,3
利⽤动态规划的逆序解法求此问题。

s1 c,D1(s1) {x1 |0 x1 s1} s2 s1 x1,D2(s2) {x2 |0 x2 s2}
状态转移⽅程为：s k 1 T k (s k,x k) s k x k ,k 3,2,1
该题是三阶段决策过程，故可假想存在第四个阶段，⽽x4 0 ，于是动态规划的基本⽅程为：
f k(s k) x k m D a K(x s k)[x k, f k 1(s k 1)],k
3,2,1 f4(s4) 0
s 3 s 2 x 2,D 3(s 3) {x 3 |0 x 3 s 3}
k 3,
f 3(s 3)
max 6x 3
x 3 0,1,L ,[s 3 /5]
3
k 2,
f 2(s 2)
max s [5x 2 x 2
0,1,L ,[
s2
]
4
f 3(s 3)]
max s [5x 2 x
2
0,1,L ,[
s2 ]
4
f 3(s 2 4x 2)]
k 1,
f 1(s 1) x 1
m 0a ,1x ,2,3[4 x 1 f 2(s 2)]
x 1m 0a ,1,x 2,3
[4 x 1 f 2(s 1 3x 1)]
计算最终结果为 x 1 2,x 2 1,x 3 0 ，最⼤价值为 13 。

9、设有 A ， B ，C 三部机器串联⽣产某种产品，由于⼯艺技术问题，产品常出现次品。

统计结
果表明，机器 A ，B ，C 产⽣次品的概率分别为 p A =30%, P B =40%, P C =20%, ⽽产品必须经过三部机器顺序加⼯才能完成。

为了降低产品的次品率，决定拨款 5 万元进⾏技术改造，以便最⼤限度地提⾼产品的成品率指标。

现提出如下四种改进⽅案：
⽅案 1：不拨款，机器保持原状；
⽅案 2：加装监视设备，每部机器需款 1 万元；⽅案 3：加装设备，每部机器需款 2
万元；
⽅案 4：同时加装监视及控制设备，每部机器需款 3 万元；采⽤各⽅案后，各部机器的次品率如表 4-21。

表 4- 3
问如何配置拨款才能使串联系统的可靠性最⼤？
解：为三台机器分配改造拨款，设拨款顺序为A, B, C，阶段序号反向编号为k，即第⼀阶段计算给机器 C 拨款的效果。

设s k为第k 阶段剩余款，则边界条件为s3=5 ；
设xk 为第k 阶段的拨款额；
状态转移⽅程为s k-1=s k-x k；
⽬标函数为max R=(1-PA)(1-PB)(1-PC)
仍采⽤反向递推
第⼀阶段：对机器 C 拨款的效果
R1(s1,x1)=d1(s1,x1) R0(s0,x0)= d1(s1,x1)
第⼆阶段：对机器B, C 拨款的效果
由于机器 A 最多只需 3 万元，故s2 2 递推公式：
R2(s2,x2)=d2(s2,x2) R1(s1,x1*)
例：R2(3,2)=d2(3,2) R1(1,1)=(1-0.2) 0.9=0.72 得第⼆阶段最优决策表
第三阶段：对机器A, B, C 拨款的效果
边界条件：s3 = 5
递推公式：
R
3
(s
3
,x
3
)=d
3
(s
3
,x
3
) R
2
(s
2
,x
2
*)
例：R3(5,3)=d3(5,3) R2(2,2)=(1-0.05) 0.64=0.608得第三阶段最优决策表
回溯：有多组最优解。

I：x3=1, x2=3, x1=1, R3=0.8 0.9 0.9=0.648
II ：x3=2, x2=2, x1=1, R3= 0.9 0.8 0.9=0.648
III：x3=2, x2=3, x1=0, R3= 0.9 0.9 0.8=0.648
练习题五
1、考察多⽬标规划问题
x 2, 2 x 1
其中f1(x) x2, f2(x) 1, 1 x 2 ，试画出个⽬标函数的图形，并求出R1,R2,R ab, R pa, R wp，这x 1, x 2
⾥R i 是min f i(x) 的最优解集。

2 x 4
解：。