点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
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例1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为 、
为 的中点
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
即 ，故所求直线的方程为 ，即 。
例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆 的一条弦的斜率为3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。
解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点 的坐标为 。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率．
定理在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则
证明：设M、N两点的坐标分别为 、 ，
则有
，得
又
则
同理可证，在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则 .
一、以定点为中点的弦所在直线的方程（5分钟完成）
【答案】 ，
[解析]根据椭圆定义知：4a=12,得a=3 ,又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为▲．
高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线
1.设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（）
2.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（）
4.椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（I）求椭圆的离心率。
【解析】(Ⅰ)点 在椭圆上
21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得
，∴ 。
由点 在椭圆上，得
∴椭圆的方程为 。
5.已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为▲．
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的实轴长为4，故选C.
4.椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B）
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用(内部资料)
高考使用范围：
1、以定点为中点的弦所在直线的方程
2、以动点为中点的弦，中点的轨迹方程
3、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
定义：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 、 ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数 ，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为 ，由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县 ，所以 。故选答案C
5.已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（A） （B） （C） （D）
（1）求椭圆的方程；
答案
1.设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故选C.
2.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（）
解：设直线与椭圆的交点为 、
为 的中点
又 、 两点在椭圆上，则 ，
两式相减得
于是
即 ，故所求直线的方程为 ，即 。
例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由 得 。
∴ ，即 ，解得 。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
【答案】
【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为
得： 又
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
\
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆 的一条弦的斜率为3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。
解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点 的坐标为 。
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：由题意可知， ，设 ，则 ，故 ， ，利用余弦定理可得 。
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。
三、解答题
20.【2012高考天津19】（本小题满分14分）
已知椭圆 （a>b>0）,点P（ , ）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率．
定理在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则
证明：设M、N两点的坐标分别为 、 ，
则有
，得
又
则
同理可证，在椭圆 （ ＞ ＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点 是弦MN的中点，弦MN所在的直线 的斜率为 ，则 .
一、以定点为中点的弦所在直线的方程（5分钟完成）
【答案】 ，
[解析]根据椭圆定义知：4a=12,得a=3 ,又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为▲．
高考文科试题解析分类汇编：圆锥曲线
1.设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（）
2.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（）
4.椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（I）求椭圆的离心率。
【解析】(Ⅰ)点 在椭圆上
21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得
，∴ 。
由点 在椭圆上，得
∴椭圆的方程为 。
5.已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（A） （B） （C） （D）
二、填空题
13.椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为▲．
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为： ，设等轴双曲线方程为： ，将 代入等轴双曲线方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的实轴长为4，故选C.
4.椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为
（A） （B）
点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用(内部资料)
高考使用范围：
1、以定点为中点的弦所在直线的方程
2、以动点为中点的弦，中点的轨迹方程
3、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
定义：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 、 ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（C） （D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数 ，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为 ，由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县 ，所以 。故选答案C
5.已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则
（A） （B） （C） （D）
（1）求椭圆的方程；
答案
1.设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为（）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.
【解析】∵△ 是底角为 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故选C.
2.等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（）