北京市第四中学2024-2025学年高三上学期暑期测试数学试题(2024.7.29)

数 学 试 卷
（试卷满分为100分，考试时间为90分钟）
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1. 已知集合{|11}A x x =-≤≤，{,}B a a =-. 若A B A =，则实数a 的取值范围是 （A ）{|11}a a -≤≤
（B ）{|11}a a -<<
（C ）{|11a a -<<，且0}a ≠ （D ）{|11a a -≤≤，且0}a ≠
2. 若复数i 1i
a
z +=+是纯虚数，则实数a = （A ）1
（B ）1-
（C ）2
（D ）2-
3. 已知lg e a =，2e b =，1
ln 10
c =（e 2.71828=），那么
（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）b a c <<
（D ）c a b <<
4. 函数1
()x f x x
+=的图象的对称中心为 （A ）(0,0)
（B ）(0,1)
（C ）(1,0)
（D ）(1,1)
5. 已知幂函数()f x 满足(6)
4(2)
f f =，则1()3f 的值为
（A ）2
（B ）
1
4 （C ）1
4
-
（D ）2-
6. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则
24a a +的值为
（A ）30 （B ）10 （C ）9 （D ）6
7. 在下列函数中，导函数值不可能取到1的是 （A ）ln y x x =
（B ）cos y x =
（C ）2x y =
（D ）ln y x x =-
8. 已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“222a b +>”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
9. 在ABC ∆中，若cos cos a c B b c A -=-，则ABC ∆的形状是 （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形
（C ）等腰直角三角形
（D ）等腰三角形或直角三角形
10. 已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =--的极小值点，那么实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞
（B ）(1,)+∞
（C ）(,1]-∞
（D ）[1,)+∞
11. 已知函数()sin cos f x t x x ωω=+（0t >，0ω>）的最小正周期为π，最大值
，则函数()f x 的图象 （A ）关于直线π
4
x =-对称 （B ）关于点π
(,0)4-对称
（C ）关于直线π
8
x =
对称 （D ）关于点π
(,0)8
对称
12. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数a ，b ，c ，使得n n S a b c =⋅+，则以下结论不．正确的是 （A ）0a c += （B ）数列{}n a 的公比为b （C ）0ac <
（D ）数列{}n a 可能为常数列
13. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户. 如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：0()e kt R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为 参考数据：lg 20.3010≈ （A ）9
（B ）10
（C ）11
（D ）12
14. 已知函数21
()e 2x f x a x =-（a ∈R ），有如下3个结论：
① 当0a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递减； ② 当1
0e
a <<
时，()f x 有两个极值点； ③ 当1
e a ≥时，()
f x 有最大值.
其中，正确结论的个数是 （A ）0
（B ）1
（C ）2
（D ）3
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
15. 已知0a >，则关于x 的不等式22450x ax a --<的解集是_____.
16. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，且终边经过点(4,3)-，则
3π
cos(
)2
α-=_____. 17. 若2(i)2i x +=（x ∈R ），则x =_____. 18. 写出一个同时具有下列性质的函数()f x =_____. ① 函数(1)f x +是偶函数； ② 当(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.
19. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2
114,0,2
()121,.
2
x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩
（1）5
(())8
f f =_____；
（2）不等式3
(1)4
f x -≤的解集为_____.
20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得
n m S a =. 给出如下4个结论：
① {}n a 可能为等差数列； ② {}n a 可能为等比数列；
③ i a （2i ≥）均能写成{}n a 的两项之差； ④ 对任意*n ∈N ，总存在*m ∈N ，使得n m a S =. 其中正确命题的序号是_____.
三、解答题（本大题共2小题，共28分） 21.（本小题满分13分）
已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S （*n ∈N ），11a =，59a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{}n b 的前n 项和n T .
条件①：2n a n b =； 条件②：2n n n b a =+； 条件③：1
1
n n n b a a +=
⋅.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22.（本小题满分15分）
已知函数21
()e 2x f x x ax ax =--（0a >）.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若()f x 的极大值为1
1e
-，求a 的值；
（Ⅲ）当1
e
a >时，若1[1,)x ∀∈+∞，2(,0]x ∃∈-∞，使得12()()0f x f x +=，求a 的
取值范围.。