广西柳州高级中学2016届高三4月高考热身模拟演练数学(

理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设i 为虚数单位，则复数
32i
i
+的虚部是（ ） A ．3i B ．3i - C ．3 D ．-3
2.记集合{|0}A x x a =->，{|sin ,}B y y x x R ==∈，若0A B ∈，则a 的取值范围是
（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,0]-∞
C ．[0,)+∞
D ．(0,)+∞
3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱
4.二项式5(2)x -展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．16 C ．80 D ．-80
5.已知函数(),()1x
f x e
g x x ==+，则关于(),()f x g x 的语句为假命题的是（ ）
A ．,()()x R f x g x ∀∈>
B ．1212,,()()x x R f x g x ∃∈<
C ．000,()()x R f x g x ∃∈>
D ．0x R ∃∈，使得00,()()()()x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ）
A ．10种
B ．60种
C ．125种
D ．243种
7.某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：
则当年宣传费为15万元时，年销售量的预报值为（ ）
A ．45万件
B ．48万件
C ．50万件
D ．55万件
参考公式：在回归直线方程^
^
^
y b x a =+中，^
122
1
()n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
n x ==-=
-∑∑，^
^^
a y
b x =-.
（
6
1
1000i i
i x y
==∑，6
21
200i i x ==∑）
8.函数1
sin(
)32
y x π
=-
，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]33ππ- B ．[2,]3ππ-- C ．5[,2]3ππ D ．5[2,][,2]33
ππ
ππ-- 9.非负实数,x y 满足ln(1)0x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-2
10.
如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ） A ．0.7 B ．0.75 C ．0.8 D
．0.9
11.已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=
，则棱锥S ABC -的体积为（ ）
A ． B
． C D ．1
12．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点1F 作曲线222
2:C x y a +=的切线，设切
点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13,C C 有一个共同的焦点，若1||||MF MN =，则曲线1C 的离心率为（ ）
A B 1 C 1 D 第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
1
x
e dx =⎰ .
14. ABC ∆的周长等于2(sin sin sin )A B C ++，则其外接圆半径等于 .
15. ,M N 分别为双曲线
22
143
x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则||MN v ∙的最小值为 .
16.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2014F x x b f x b =--+，若b 是,a c 的等差中项，则()()F a F c += .
三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足12
122
n n
a a a n
++
++
=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和. 18. （本小题满分12分）
空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图．
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，
1
12
BC AD =
=，CD =. （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）若二面角M BQ C --大小为30，求QM 的长.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，(2,1)P -是1C 上一点.
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设,,A B Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 轴围成的三
角形是等腰三角形. 21. （本小题满分12分） 已知函数2
1()ln 2
f x a x x ax =+
-（a 为常数）有两个极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）设()f x 的两个极值点分别为12,x x ，若不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求
λ的最小值.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，,C D 是以AB 为直径的半圆上两点，且弧AD =弧CD . （1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；
（2）作DE AB ⊥交AC 于E ，证明：2
CD AE AC =∙.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=，[0,2)θπ∈. （1）求1C 的直角坐标方程；
（2）曲线2C 的参数方程为cos 6
sin 6x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数.
（1）证明：|cos()||cos ||sin |αβαβ+≤+；|sin()||cos ||cos |αβαβ+≤+；
（2）若0αβγ++=，证明：|cos ||cos ||cos |1αβγ++≥.
参考答案
DABCA BCDDA CD 13. 1e - 14.1 15.4 16.4028
17.解：（1）当1n =时，由题设知，14a =； 当2n ≥时，由题设12
122
n n
a a a n
++++
=， 知1
2
122
1
n n a a a n -+
++
=-， 两式相减得：
122n n n
a n
+=-，
（2）设{}n a 的前n 项和为n S .
2212222n n S n =⨯+⨯++⨯，
33121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+
+-⨯+⨯，
两式相减得：1232(222)n n n S n +=⨯-++
+
1124(21)n n n +-=⨯-⨯- 1(1)24n n +=-∙+.
18．（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该
样本中空气质量优良的频率为
63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为3
30185
⨯=. （2）由（1）估计某空气质量优良的概率为3
5
，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
328(0)()5125P ξ===，12
33236(1)()55125P C ξ===，2233254(2)()()55125P C ξ===，
3327
(3)()5125
P ξ===，
显然ξ～3(3,)5B ，3
3 1.85
E ξ=⨯
=. 19．（1）证明：∵//AD BC ，1
2
BC AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴//CD BQ ， ∵90ADC ∠=，
∴90AQB ∠=，即QB AD ⊥，
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，
∴BQ ⊥平面PAD ， ∵BQ ⊂平面PQB ， ∴平面PQB ⊥平面PAD .
（2）∵PA PD =，Q 为AD 的中点， ∴PQ AD ⊥.
∴平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD
平面ABCD AD =，
∴PQ ⊥平面ABCD .
如图所示，
以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QC 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则(0,0,0),(1,0,0),(1Q A P B C -， ∵M 是PC 的中点，
∴1(,
)222
M -. 平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =， 由(1)QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤，
得(1)QM λλ=--，
又QB =，
∴平面MBQ 的法向量为1(3,0,)m λ
λ
-=，
∵二面角M BQ C --为30，
∴3
cos30|
|||||
n m n m ∙==
14λ=，
∴||QM =
.
20．（1）因为1C 22
4a b =， 从而1C 的方程为：22
2214x y b b
+=.
代入(2,1)P -，解得：2
2b =， 因此2
8a =.
所以椭圆1C 的方程为：22
182
x y +=. （2）由题设知,A B 的坐标分别为(2,1),(2,1)--. 因此直线l 的斜率为
12
. 设直线l 的方程为：1
2
y x t =
+. 由22
12182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得： 222240x tx t ++-=，
当0∆>时，不妨设1122(,),(,)C x y D x y ， 于是122x x t +=-，21224x x t =-， 分别设直线,PD PE 的斜率为12,k k ， 则21212112212111(1)(2)(2)(1)
22(2)(2)
y y y x x y k k x x x x ------+++=
+=
+-++-， 则要证直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证2121(1)(2)(2)(1)0y x x y ---++=，
而212121122112(1)(2)(2)(1)2()()4y x x y y y x y x y x x ---++=--++--
21121212()4x x x x t x x x x =---++-- 1212()4x x t x x =--+-
222424t t =-++- 0=
所以直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形.
21．解：（1）2'
()(0)a x ax a
f x x a x x x
-+=+-=
>， 于是()f x 有两个极值点需要二次方程2
0x ax a -+=有两正根，
设其两根为12,x x ，则21212
4000a a x x a x x a ⎧∆=->⎪
+=>⎨⎪=>⎩，解得4a >，不妨设12x x <，
此时在1(0,)x 上'()0f x >，12(,)x x 上'()0f x <，2(,)x +∞上'()0f x >. 因此，12,x x 是()f x 的两个极值点，符合题意. 所以a 的取值范围是(4,)+∞. （2）221211122211()()ln ln 22
f x f x a x x ax a x x ax +=+
-++- 22
1212121ln ()()2a x x x x a x x =++-+
2121212121
ln ()()2a x x x x x x a x x =++--+
1
(ln 1)2
a a a =--
于是
1212()()1
ln 12
f x f x a a x x +=--+，
令1()ln 12a a a ϕ=-
-，则'11
()2
a a ϕ=-， 因为4a >，所以'
()0a ϕ<，
于是1
()ln 12
a a a ϕ=--在(4,)+∞上单调递减， 因此
1212()()()(4)ln 43f x f x a x x ϕϕ+=<=-+，且
1212
()()
f x f x x x ++可无限接近ln 43-. 又因为120x x +>，故不等式1212()()()f x f x x x λ+<+等价于1212
()()
f x f x x x λ+<+，
所以λ的最小值为ln 43-.
22．解：（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠， 因为弧AD =弧DC ，所以DAC DCA ∠=∠， 从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠.
（2）由DE AB ⊥知，90ADE DAB ∠+∠=，
因为AB 为直径，所以90DBA DAB ∠+∠=，
从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠，
所以ADE ACD ∠=∠，
因此ADE ∆∽ACD ∆，
所以2
AD AE AC =∙，而AD DC =，
所以2CD AE AC =∙. 23．（1）将222
cos x y x
ρρθ⎧=+⎨=⎩，代入24cos 30ρρθ-+=，得：22(2)1x y -+=. （2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为
6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，
将6π
θ=代入1C ：230ρ-+=，解得：ρ=.
同理，将76
πθ=代入1C 得：ρ=.
故1C ，2C 公共点的极坐标为)6π
.
24．（1）|cos()||cos cos sin sin ||cos cos ||sin sin |αβαβαβαβαβ+=-≤+ |cos ||sin |αβ≤+
|sin()||sin cos cos sin ||sin cos ||cos sin |αβαβαβαβαβ+=+≤+
|cos ||cos |αβ≤+.
（2）由（1）知，|cos(())||cos ||sin()||cos ||cos ||cos |αβγαβγαβγ++≤++≤++， 而0αβγ++=，故|cos ||cos ||cos |1αβγ++≥.。