2019学年高一下学期第二次月考数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的未命名
1.已知是第二象限角，则点在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合角的范围首先确定的符号，然后确定点P所在象限即可.
详解：是第二象限角，则，
据此可得：点在第四象限.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查象限角的三角函数符号问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.已知向量，，若∥，则锐角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵，∥，
∴，
又为锐角，
∴。

选C。

3.已知，，则可以表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
已知，，则可以表示为，故选B.
4.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．
详解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，
而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，
则1＞cos＞cos＞0，
即0＜a＜b＜1，
tan＞tan=1，
即，
故选：B．
点睛：本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．
5.已知，，且，则（）
A. -2
B. 2
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
观察角之间的关系，拆角，，利用差角公式展开，可以求得.
【详解】因为sin，，所以；
又
所以，
，，故选A.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，一般求解思路是先观察已知角和所求角的关系，再利
用三角恒等变换公式求解.注意积累常见的拆角方法.
6.在边长为2的正方形ABCD，E为CD的中点，则=（）
A. B. C. -1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算，可以求得结果.
【详解】以为坐标原点，建系如图：
，
则,,所以,故选D.
【点睛】平面向量运算有两种方式：坐标运算和基底运算，坐标运算能极大减少运算量，是我们优先选用的方式.
7.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
再把图象上所有的点向右平移个单位，，由
,则，故选C.
考点：1.三角函数的拉伸变换；2.三角函数的平移变换；3.三角函数的单调性.
8.已知x∈[0，π]，f(x)＝sin(cos x)的最大值为a，最小值为b，g(x)＝cos(sin x)的最大值为c，最小值为d，则( )
A. b<d<a<c
B. d<b<c<a
C. b<d<c<a
D. d<b<a<c
【答案】A
【解析】
，又，则
则b<d<a<c
9.已知是边长为2的正三角形，，分别是边和上两动点，且满足，设
的最小值和最大值分别为和，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设时，，
同理，
，当时，
或时，，，故选B.
10.在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为：
，，则这两个声波合成后（即）的声波的振幅为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为，，
所以. 则函数振幅为.
故选D.
11.函数的图像如图所示，A为图像与x轴的交点,过点A的直线与函数的图像交于C、B两点.则（）
A. -8
B. -4
C. 4
D. 8
【答案】D
【解析】
试题分析：因为函数可化为，所对称中心是.所以A 点的坐标是（2,0）.因为A点是对称中心，所以点A是线段BC的中点，所以.
所以.故选D.
考点：1.正切函数的诱导公式.2.函数的对称性.3.向量的加法.4.向量的数量积.
12.已知函数, 则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：若时，即时，有
，即恒有，且，则
，故选：D．
考点：函数的性质．
【思路点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键．根据式子特点，判断当时，，且，由此可知
，由此即可得到结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分
13.若函数，则f（x）的值域为___________．
【答案】[，1]．
【解析】
函数f（x）=sinπx，∵x∈[，]，∴，结合正弦函数的图象可知sin xπ≤1．即f（x）的值域为[，1]，故答案为：[，1]．
14.设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
分析：两个向量在不共线的条件下，夹角为钝角的充要条件是它们的数量积小于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为实数的取值范围.
详解：由题意，可得且，
所以且，故实数的取值范围为，
故答案为.
点睛：该题考查的是利用向量数量积的定义式得到向量夹角为钝角的条件，即为向量的数量积小于零，但是需要注意的是，向量数量积小于零时，还包括了反向共线的时候，所以注意对反向共线这种情况要排除.
15.下列说法中，所有正确说法的序号是______________．
①终边在轴上的角的集合是；
②函数在第一象限是增函数；
③函数的最小正周期是；
④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
【答案】③④
【解析】
【分析】
综合三角函数的性质特征，结合图像变换得出结论.
【详解】对于①，当时，，终边在轴上，所以不对；
对于②，，而，所以不对；
对于③，，周期为，所以正确；
对于④，把函数的图象向右平移个单位长度得到的图像，所以正确.
【点睛】本题综合考查了三角函数的性质及图像变换，周期的求解一般先化简目标式，利用周期公式求解；图像变换需要注意自变量的系数的影响，避免错误.
16.在中，，满足的实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
中，，即则；∴由|得：
整理得：解得
∴实数的取值范围是.
故答案为.
三、解答题：解答应写出文字说明或演算步骤
17.设，满足.
(1)求的夹角；
(2)求
【答案】(1).
(2).
【解析】
试题分析：(1)根据(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7,可得a·b＝,再根据数量积的定义可求出cos θ＝,进而得到夹角.
(2)先求(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，从而得到|3a＋b|＝.
(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝
又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为.
(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
∴|3a＋b|＝..
考点：考查了向量的数量积，以及利用数量积求模，夹角等知识.
点评：掌握数量积的定义：,
求模可利用:来求解.
18.已知函数的部分图像如图.
（1）求函数的解析式.
（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
试题分析：（1）根据图像得到，，，从而得到解析式；（2）根
据第一问得到的表达式知，结合三角函数的图像可得到最值.
解析：
（）由图像可知，
又，故．
周期，
又，
∴．
∴，
，
，．
．
（），
，
∴，
．
当时，
，．
当时，，
．
所以，
．
点睛：已知函数的图象求解析式:(1)
;(2)由函数的周期求;(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
19.作出函数y＝tan x＋|tan x|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：
化简函数的解析式可得，画出函数的图象，根据图象解答问题即可．
试题解析：
由题意得，
画出函数的图象如图所示，
由图象可知，函数的定义域是 (k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；最小正周期T＝π.
视频
20.在平面直角坐标系中，已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，，则
，结合三角函数的关系式即可求出的值。

（2）本题考察的向量的数量积的问题，若向量与向量的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求出的值。

试题解析：（Ⅰ）由题意知∵，∴
由数量积坐标公式得∴，∴
（Ⅱ）∵与的夹角为
，∴
又∵，∴
∴，即．
考点：平面向量数量积的运算
21.已知，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在，使得下列两个式子：①；②同时成立？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，满足①②两式成立的条件.
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由题意结合同角三角函数基本关系可得，，然后利用两角和的余弦公式可得
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知，则，满足题意时
，则，是方程的两个根，结合二次方程的特点
计算可得存在，满足①②两式成立的条件.
试题解析：
（Ⅰ）∵，，，
∴，.
∴
（Ⅱ）∵，∴，∴.
∴，
∵，∴.
∴，是方程的两个根.
∵，∴，∴，.
∴，.即存在，满足①②两式成立的条件.
22.已知，，，且，其中
（1）若与的夹角为，求的值；
（2）记，是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)1;(2)不存在
【解析】
【分析】
（1）利用条件，两边平方转化为向量数量的运算，结合向量的模长和夹角可得.
（2）先把数量积求出，转化为不等式恒成立问题，通过减少变量可得结果.
【详解】（1），由，
得，即
.
（2）由（1）得，
,即可得，
，因为对于任意恒成立，又因为，所以，即对于任意恒成立，构造函数
从而由此可知不存在实数使之成立.
【点睛】本题主要考查平面向量的运算及恒成立问题.向量模长的处理技巧一般是“见模长，就平方”；恒成立问题转化为最值问题求解，结合求解最值的方法处理.。