浙江省绍兴市柯桥中学2014届高三10月月考数学(理)试题

浙江省绍兴市柯桥中学2014届高三10月月考（理）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ
2的值为 ( )
A.3
5
B.45
C ．±35
D ．±45
2．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值为 ( ) A ．π，0
B ．2π，0
C ．π，2－ 2
D ．2π，2－ 2
3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10个单位长度，再把所得各点的横
坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π
20 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( ) A ．66
B ．65
C ．61
D ．56
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6． 已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
1a n 的前4项和为 ( )
A.15
8
或4
B.40
27
或4
C.40
27
D.158
7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π
6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是 ( ) A.⎣⎡⎦
⎤0，π
3
B.⎣⎡⎦⎤
π12，7π12
C.⎣⎡⎦⎤
π3，5π6
D.⎣⎡⎦⎤
5π6，π
8． 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于
( )
A ．20
B ．17
C ．19
D ．21
9． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
10．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3
B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π
6 C.⎣⎡⎭⎫π6，π2
D.⎣⎡⎭⎫π3，π2
二、填空题：本大题共小题，每小题3分，共18分。

11.． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π
3－θ的值是________． 12．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π
3，2π
3上单调递增，则ω的最大值为________．
13.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n +1＝3S n (n ≥1)，则S 100等于________. 14.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为_______.
15．将数列{3n -1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．
16. 已知{n a }是公差不为0的等差数列,{n b } 是等比数列,其中112242,1,,2a b a b a b ====,且存在常数α、β ,使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则β
α= .
三、解答题：（本大题共5小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的边长分别是c b a ,,，已知3
π
=C .
（Ⅰ）若,3,2==b a 求ABC ∆的外接圆的面积；
（Ⅱ）若A A B C c 2sin 2)sin(sin ,2=-+=,求ABC ∆的面积.
18．在等比数列{}n a 中，已知13a =，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足
114213b a b a b a ===，，.（Ⅰ）求数列
{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n n n a b c +-=)1(，求数列{}n c 的前n 项和n S .
19．已知向量m =(2sin ,1)x ，n =2,2cos )x x ，函数()f x =m ⋅n t -． (Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2
x π
∈上有解，求t 的取值范围；
(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，当（Ⅰ）中的t 取最大值且
()1,2f A b c =-+=时，求a 的最小值．
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,4
a =*1()16n n t
a S t +=+∈n N ,为常数.
I ()若数列{}n a 为等比数列，求t 的值；
II ()若14,lg n t b a +>-=n ，数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当n=6时n T 取最小值，求实
数t 的取值范围．
21.已知二次函数)()(2R a ax x x f ∈+=
（1）若函数的最小值；，求的最大值为)(3
16
))(cos 3(sin x f R x x x f y ∈+= （2），，是，设当)
3(3)13(13)1(1)(n 2*
n f n n f n n f n n f n S N a +--+⋅⋅⋅++++=
∈= 求证：.24
3
<<S
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共分．）．
二、填空题（本大题共小题，每小题 分，共分）
11. 0 12.
4
3 13. 99
4
14. 6:5:4 15. 4950
3
16. 4
17．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对边的边长分别是c b a ,,，已知3
π
=C .
（Ⅰ）若,3,2==b a 求ABC ∆的外接圆的面积；
（Ⅱ）若A A B C c 2sin 2)sin(sin ,2=-+=,求ABC ∆的面积. 17．解：（Ⅰ）由余弦定理 ：
ab b a c 22
22-+=cos C
得7=c ，令ABC ∆的外接圆的半径为R 由C c R sin 2=
，得3
21
=R ， 所以ABC ∆的外接圆的面积为3
7π
=
S ……………………6分 （Ⅱ）由题意：A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++
即A A A B cos sin 2cos sin =
1：当0cos =A 时，;3
3
2;6
,2
=
=
=
b B A π
π
此时 3
3
221=
=
∆bc S ABC ……………………8分 2：当0cos ≠A 时，则A B sin 2sin =
由正弦定理得a b 2=，又4cos 22
2222=-+=-+=ab b a C ab b a c
解得3
3
4,332=
=
b a ，此时332sin 21==∆C ab S ABC ， 综上可知：ABC ∆的面积为
3
3
2……………………14分 18．在等比数列{}n a 中，已知13a =，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足
1142
13b a b a b a ===，，.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n n n a b c +-=)1(，求数列{}n c 的前n 项和n S .
18． (Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d . 由已知得：2323,3q a q a ==，
d b d b b 123,23,31341+=+==
3411123333322=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q d
q d q d q d q 或 1=q (舍去)
所以， 此时 2=d
所以，n n a 3=， 12+=n b n . (Ⅱ) 由题意得：n n n n n n n a b c 3)12()1()1(++-=+-= n n c c c S +++= 21
n n n n n 333)12()1()12()
1()97()53(21
+++++-+--+++-++-=-
当n 为偶数时，2
3
23232311-+=-+=++n n S n n n 当n 为奇数时，2
7
232323)12()1(11--=-++--=++n n n S n n n 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=++)
(272
3)
(2
3
231
1为奇数时为偶数时n n n n S n n n .
19．已知向量m =)1,sin 2(x ，n =
(
)
x x 2cos 2,cos 3，函数t x f -∙=)(．
(Ⅰ)若方程0)(=x f 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 上有解，求t 的取值范围； (Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，当（Ⅰ）中的t 取最大值且
()1,2f A b c =-+=时，求a 的最小值．
19
．
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,4
a =
*1()16n n t
a S t +=+∈n N ,为常数.
I ()若数列{}n a 为等比数列，求t 的值；
II ()若14,lg n t b a +>-=n ，数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当n=6时n T 取最小值，求实
数t 的取值范围． 20．解：I ()
11....(1);....(2)1616
n n n n t t
a S a S +-=+
=+ 1(1)(2):2(2)n n a a n +-=≥得………2分
2141616t t a S +=+
=,数列{}n a 为等比数列, 21
2a
a ∴=….. 4分 42,44
t
t +=∴= ….. 6分 II ()2416t a +=，12(1)n n a a n +=>1
*142()16
n n t a n N -++∴=
⋅∈…….8分
1432,,+⋅⋅⋅n a a a a 成等比数列，1n a +n b =lg ,∴n 数列{b }是等差数列
数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当n=6时n T 取最小值, 6700b b ∴<>且 …… 10分 可得78011a a <<>且, ……12分
2
7
415:-<<-
t t 的范围是解得 …… 14分 21.已知二次函数)()(2R a ax x x f ∈+=
（1）若函数的最小值；，求的最大值为)(3
16
))(cos 3(sin x f R x x x f y ∈+= （2），
，是，设当)
3(3)13(13)1(1)(n 2*
n f n
n f n n f n n f n S N a +--+⋅⋅⋅++++=
∈= 求证：.24
3
<<S 21．
................2 ................4 . (6)
(
)2
2222sin 2sin()3
2 2.()24
162
024233
111()()().399
162
0242.33
11()()3 ()() 19t x x x x R t a a
y t at t a t y a a f x x f x a t y a a f x x π
==+∈-≤≤=+=+-<=-=-==-=--=-≥==+===+-最大值最小值最大值令．
因为，所以所以，
当，时，，解得，
此时，，所以当，时，，解ⅱ得此时，ⅰ1
().
91
().
9
x f x f -=-最小值，所以综上所述，的最小值时，为条件满足()1313)1)31)3)1111 233132
1111
()233132
1111
(1)343435
1111
2n n n n
S f n f n f n f n n n n n S n n n n n S n n n n n +-=+
+⋯+
+
+-=++⋯++++++=++⋯+++++++=++⋯++++++证明：
（（（（，
设，
则，
(9)
(12)
()()*47453
()1.
60604
1111233132
213
4
2
3
2222S n n N S S n S n n n n n S n S n ∈=≥=>=>>⋯>>+++++<=-<++<<所以在时单调递增，
所以又，所以，
综上有成立．。