有限自动机理论05章下推自动机(简化)

接收语言L={(ab)n|n≥0}
< q1，a，Z0，q2，AZ0> < q2，b，A，q1，ε> < q1，ε，Z0，q1，ε > 规则是不确定的。
n 接收语言L={(ab) |n>0}
< q0，a，Z0，q0，AZ0> < q0，b，A，q1，ε> < q1，a，Z0，q2，AZ0> < q2，b，A，q1，ε> < q1，ε，Z0，q1，ε> 规则是不确定的。
NFA：δ(q，x)= {q1，q2，… qn｝ 单态的PDA： <x，q， q1 > <x，q， q2 > … <x，q， qn >
NFA：
若 q ∈δ*(q0，w) 单态的PDA： 有 （*，w，q0）=>*（*，ε，q）
NFA：
若q∈F 则 单态的PDA： <ε，q，ε>
q0∈Q是开始状态 Z0∈Г是栈底符号 FQ是接收状态集合
δ：Q×(∑∪{ε})×Г→Q×Г* 对于确定的PDA，有 δ(q，x，D）=( q′，V) 对于不确定的PDA，有 ( q′，V) ∈δ（q，x，D）
一般
使用 <q，x，D，q′，V> 表示δ函数
定义5-2 PDA格局(或瞬间描述ID) 格局代表某个时刻PDA的情况 PDA的格局是一个三元式 (q，w，ζ)
不确定 PDA 对于某一格局可 能会有不同的下一格局。
+ 用=> 代表格局的多次变换
* 用=> 代表格局的任意次变换
5.1.3 PDA接收语言的两种方式
定义 5-3 PAD 以空栈方式接收的语 言为L(M），且 L(M)={w|(q0，w，Z0) =>*(q ， ε ， ε) q∈Q}
接收格局与接收状态无关 只要当串w扫描结束，而栈为空 则串w被PDA以空栈方式所接收。
δ：Q×(∑∪{ε})×Г+→Q×Г* <q，x, B1B2… Bk，q′，C1C2… Cn> 对于确定的PDA，有 δ(q,x，B1B2… Bk )=( q′, C1C2… Cn) 对于不确定的PDA，有 (q′, C1C2… Cn) ∈δ（q，x， B1B2… Bk )
一般的PDA，栈顶只是一个符号 广义PDA的栈顶可以为多个符号。
规则< ε，Z0，ε> 表示将w扫描结束后，将栈置成空 也表示该PDA可以接收空串ε
思考：
如何接收语言 L={w|w∈(a,b)+,且a和b个数相等}?
n n 例：语言L={a b |n≥0}
<a，Z0，AZ0> <a，A，AA> <b，A，ε> <ε，Z0，ε>
存在问题
还可以接收语言 {(ab)n|n≥0}，或 {ambm(ab)n|m≥0,n≥0} 等语言。
注意 PDA在两种情况下停机： 串扫描结束 没有对应的规则
串扫描结束
栈如果为空 就接收扫描过的串。
对于非正式的算法， 用形式化的方式进行描述：
特殊的符号Z0表示栈底 初始化时先压入栈
<x，D，V>规则 (指令)
若x是w的当前符号 D是栈顶符号 则用符号串V代替D 即将D弹出栈，而将串V压入栈
不确定的PDA （情况1）
①<q，x，A，q1，A1A2… Ak> 则 (q,xw,Aζ)=> (q1，w,A1A2… Akζ) ②<q，ε，A，q2，B1B 2…Bj > 则(q,xw,Aζ)=> (q2，xw， B1B 2…Bjζ)
不确定的PDA （情况2）
①<q，x，A，q1，A1A2… Ak> 则 (q,xw,Aζ)=> (q1，w，A1A2… Akζ) ②<q，x，A，q2，B1B 2…Bj> 则 (q,xw,Aζ)=> (q2，w， B1B 2…Bjζ)
定义5-4
PAD以终态方式接收的语言为F(M)， 且 F(M)={w|(q0 ， w，Z0) =>*(q′ ， ε ， ζ) q′∈F ， ζ∈Г*}
接收格局与栈是否为空无关 只要当串 w 扫描结束，而 PDA 处于 某个接收状态 则串w被PDA以终态方式所接收。
定理5-1
语言L被PDA以终态方式所接收 当且仅当 它被PDA以空栈方式所接收。 即终态接收与空栈接收方式等价。
对于文法G S=>*w1A=>w1bB=>*w1bw2=w 对于单态PDA (*，w1bw2，S)=>*(*，bw2，A) =>(*，w2，B)=>*(*， ε， ε)
用下列的规则来描述PDA
< read，a，Z，read，AZ> < read，b，Z，read，BZ> < read，c，Z，match，Z> < match，a，A， match，ε> < match，b，B， match，ε> < match，ε，Z0，match，ε>
若串w是该语言的合法的串 当且仅当 w扫描结束后，栈为空。
第五章 下推自动机 PDA
FA识别正则语言(右线性语言)
PDA识别上下文无关语言
FA只能处理正则语言
正则文法生成无穷语言是由于
A->wA
不需要记录w的个数
无关文法生成无穷语言 A->αAβ 需要记录α和β之间的对应关系
无法用FA的有穷个状态来表示。
为FA扩充一个无限容量的栈
用栈的内容和 FA的状态结合起来 就可以表示无限存储。 这种模型就是下推自动机
因此
NFA： δ*(q0，w)∩F≠ф 单态的PDA： （*，w，q0）=>*（*，ε，ε） 即 L(NFA)=L(PDA)
右线性文法
G=（∑，V，S，P） 也可以对应一个单态的PDA，
产生式
A→bB A→b
PDA的规则 <b，A，B > <b，A，ε >
将文法的开始符号S
当作是单态PDA的栈底符号，则
定理5-4
若语言L能由广义PDA所接收 则L能够由一般的PDA所接收。
证明思路
广义的PDA的一条规则 就是 一般PDA的多条规则的组合
证明：
对于广义的PDA的任意一条规则
<q,x, B1B2… Bk，q′，C1C2… Cn> 增加状态r1，r2，…，rk-1，
< q，x，B1B2… Bk，q′，C1C2… Cn> 改造为： <q ， x， B1，r1，ε > < r1， ε，B2，r2，ε > … < rk-1，ε，Bk，q′，C1C2… Cn >
5.1.2 不确定的下推自动机
例5-3
T * 语言L={ww |w∈(a,b) }
没有中心点字符 在扫描过程中，就没有确定的位 置进行状态的变换 具有不确定性。
使用规则 〈read，ε，Z，match，Z> 来代替 〈read， c ，Z，match，Z> 即在 read 状态时，可随时改变为 match 状态（栈的内容和扫描符号不变）
< read，a，Z，read，AZ> < read，b，Z，read，BZ> < read，ε，Z，match，Z> < match，a，A， match，ε> < match，b，B， match，ε> < match，ε，Z0，match，ε>
该PDA是不确定的 处于状态read状态时 随时都可以进行选择: 继续扫描，或状态变换为match
得到一般的PDA′
且L=L(PDA′)。
定义5-6单态PDA
仅有一个状态的PDA
规则简化为 <x，D，V>
(等价性)问题
一个NFA是否可以转换为
一个单态PDA？
思路
NFA=（Q，∑ , δ，q0，F） 将NFA的状态当作PDA的栈内符号 构造单态的PDA =（{*}，∑，Q，δ′，*，q0，{*})
扫描到字母c时 PDA的状态转为match 开始处理整个串的后半部分，将栈 中的内容出栈。
规则<q，x，D，q′，V>
若PDA处于状态q w的当前字母是x 当前栈顶符号为D 则自动机的状态改变为q′ 并用符号串V代替D
（在本例中）用Z代表任意的栈顶符号 规则<read，a，Z，read，AZ> 可以表示以下3条规则： < read，a，Z0，read，AZ0> < read，a，A，read，AA> < read，a，B，read，AB>
具体
若x是w的当前符号，栈顶符号为D <x，D，ε> 表示将D弹出栈 <x，D，AD> 表示将A压入栈，成为新的栈顶
一般地
若x是 w的当前符号，栈顶符号为 D <x，D，A1A2… Ak>表示： 将D弹出栈 将串A1A2… Ak压入栈(A1为新栈顶)
例5-1 算法的形式化描述 <a，Z0，AZ0> < b，Z0，BZ0> < a，A，AA> < b，B，BB> < a，B，ε> < b，A，ε> < ε，Z0，ε>
Hale Waihona Puke 明：略5.1.4广义PDA和单态PDA
定义5-5 广义的PDA是七元式 PDA=(Q,∑，Г，δ，q0，Z0，F) （除了δ外，其余同一般的PDA） 其中
Q是一个有限状态的集合 ∑是输入串的字母集合 Г是栈内符号集合 q0∈Q是开始状态 Z0∈Г是初始的栈底符号 FQ是接收状态(终止状态)集合
其中，q为状态
w=x1x2…xn 还没有被扫描到的串(将扫描x1) ζ=Z1Z2…Zm 栈的内容(Z1在栈顶，Zm在栈底)
PDA
初始格局为 (q0，w，Z0) 接收格局为 (q，ε，ε) 其中: q∈Q （与接收状态无关）
格局的转换是 由于状态转换函数的作用引起的
确定的PDA
<q，x，A，q1，A1A2… Ak> 引起的格局转换为： (q，xw，Aζ)=> (q1，w，A1A2… Akζ)
串abbcbba的处理过程
B B A Z0
符号栈
read
=>
match
扫描到字母c
栈内的内容（从栈顶到栈底）是扫描 过的串的逆 与未扫描过的串的顺序相同 此时，不作出栈和入栈操作， 仅仅把 PDA 的状态从 read 改变到 match 。
n n 接收语言L={a b |n>0}
< q0，a，Z0，q0，AZ0> < q0，a，A，q0，AA> < q0，b，A，q1，ε> < q1，b，A，q1，ε> < q1，ε，Z0，q1，ε> 规则是确定的
Push-Down Automaton--PDA
PDA 作为形式系统最早于 1961 年 出现在 Oettinger 的论文中。 与上下文无关文法的等价性由 Chomsky于1962年发现。
与FA比较
PDA具有一个栈存储器 有两个操作： 入栈---将内容压入栈中 出栈---将栈顶元素移出
下推自动机物理模型
一个串w能够由PDA所识别： 仅当串是wwT的形式 且PDA状态在中心点进行了变换
对于不确定的PDA和串w 若存在至少一个扫描过程 使得当串w扫描结束时，栈为空 则称串w能够被PDA所识别。
不确定的PDA的两种情况 ①
<q，x，A，q1，V1> <q，ε，A，q2，V2> ②
<q，x，A，q1，V1> <q，x，A，q2，V2>
思考：如何接收语言
n n L={a b |n>0}
L={anbn|n≥0} L={(ab)n|n>0} L={(ab)n|n≥0}
例5-2 识别语言
T * L={wcw |w∈(a，b) }
思想：
将w的各个字符压入栈后 栈中的内容从栈顶到栈底的顺序 刚好是wT的顺序
为了区别压栈和出栈动作 增加两个状态----read 和match PDA处于read状态时， 处理整个串的前半部分，将对应 的符号压入栈
部分希腊字母及读音
Α α alpha Γ γ gamma Δ ε epsilon Ω ω omega Β β beta Γ δ delta ∑ ζ sigma
定义5-1
下推自动机PDA是一个七元式： M=(Q，∑，Г，δ，q0，Z0，F) Q是一个有限状态的集合 ∑是输入串的字母集合 Г是栈内符号集合
a1 a2 a3 … aj … an an+1 …
存储带
FSC
栈存储器
…
栈存储器 存放不同于字母的符号 只能对栈顶元素进行操作。
下推自动机动作
根据 FSC当前的状态 输入带上的当前字符 栈顶符号 状态改变 入栈或出栈操作 读头向右移动一个单元
进行
5.1.1 确定的下推自动机
例5-1 利用桟 识别语言 L={w|w∈(a,b)*，且a、b个数相等}
初始
栈为空 从左到右逐个扫描串w∈(a，b)*
入栈
若栈为空,当前符号是a,则A入栈 若栈为空,当前符号是b,则B入栈 若栈顶为A,当前符号是a,则A入栈 若栈顶为B,当前符号是b,则B入栈
出栈
若栈顶为A,当前符号是b，则A出栈 若栈顶为B,当前符号是a，则B出栈
若串w有相同个数的a和b 当且仅当 w扫描结束后，栈为空。