八年级数学上册全等三角形 . 三角形全等的判定 用“hl”判定直角三角形全等

解：∵AD⊥AC，BE⊥AC， ∴∠A =∠CBE =90°， ∴∠D +∠ACD =90°. 又∵∠DCE = 90°， ∴∠ACD +∠BCE = 90°，∴∠D =∠BCE.
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在△ACD和△BEC中，
A CBE，
D
BCE，
C D E C ，
∴△ACD≌△BEC(AAS).
内容(nèiróng)总结
No 12.2 三角形全等的判定
第4课时用“HL” 判定直角三角形全等。（1） 画∠MC′N =90°。（3） 以B′为圆心，AB为半径画 弧，。B′。斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或 “HL”）．。又∵两人同时同速度出发，并同时到达(dàodá)D，E两地.。证明：∵CE = BF，。∴∠B =∠C，AB∥CD.。又∵∠DCE = 90°，。又∠BAC = 90°，。在△ABE和△CAF中，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′（HL）．
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C＇
B＇
知识点2 “HL”判定方法(fāngfǎ)的运用
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别(fēnbié)为C， D，AC =BD．求证 BC =AD．
∵ 证明(zhèngmíng)： AC⊥BC，BD⊥AD， ∴ ∠C 和∠D 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴AD = BC，AC = BE，
∴AD+AB = BC+AB = AC = BE.
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拓展(tuò zhǎn)
延3伸.如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB=AC，EF是 过点A的直线，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，试探求线段
(xiànduàn)BE、CF、EF之间的关系，并加以证明.
BC = EF， AC = DF， ∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）．
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例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高 AC 度(gāodù) 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑 梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
证明(zhèngmíng)：∴∠ABC =∠DEF
E
AB
FC
A，
A B C A，
∴△ABE≌△CAF(AAS).
∴BE = AF，AE = CF，
∴BE+CF = AF+AE = EF.
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课堂小结
N A′
M B′
C′
斜边和一条直角边分别(fēnbié)相等的两个直角三角形全
等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
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解：BE + CF = EF，证明(zhèngmíng)如下： ∵BE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠BEA =∠AFC =90°. 又∠BAC = 90°， ∴∠EAB +∠CAF =180°-∠BAC = 90°，
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∴∠EAB =∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
BEA AFC，
Image
12/13/2021
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AB = BA，
AC = BD， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）． ∴ BC =AD（全等三角形对应边相等）．
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变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要(xūyào)添加一个什么条件？请说明理 由．
（1）AD = BC
（HL ）；
（2） AC = BD
BE，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).
∴AE = DF.
D
FE
A
B
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3 练习(liànxí) 如图，B、E、F、C 在同一直线上，
AF⊥BC 于F，DE⊥BC与E，AB = DC，BE = CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
解：平行(píngxíng).
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例2 如图，有两个长度(chángdù)相同的滑梯，左边 滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两 个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为 什么？
证明(zhèngmíng)：∵AC⊥AB，DE⊥DF， ∴∠CAB =∠FDE =90°． 在Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
即CF = BE.
又∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠DFC =∠AEB =90°.
D
FE
A
B
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练习2 如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足(chuízú) 分别为E，F，CE = BF．求证：AE = DF．
C
在Rt△DFC与Rt△AEB中，
DC AB，
C
F
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画法 ： (huà fǎ)
（1） 画∠MC′N =90°； （2）在射线C′M上取B′C′=BC； （3） 以B′为圆心，AB为半径(bànjìng)画弧，
交射线C′N于点A′； （4）连接A′B′．
现象：两个(liǎnɡ ɡè)直角三角形能重 合．
说明：这两个直角三角形全等． M B′
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA = EB，
C
E
即D、E与路段AB的距离(jùlí)相等.
B
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练习2 如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分 别(fēnbié)为E，F，CE = BF．求证：AE = DF．
C
证明(zhèngmíng)：∵CE = BF， ∴CE - EF = BF–EF，
12.2 三角形全等的判定(pàndìng)
第4课时用“HL” 判定直角三角形全
等
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新课导入
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了 美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但 每个三角形都有一条(yī tiáo)直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具(gōngjù)，你能解
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AFB 和∠DEC 都是直角， 又 BE = CF， ∴BE+EF=CF+EF，即 BF = CE.
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在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中，
AB=CD，
BF=CE， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)， ∴∠B =∠C，AB∥CD.
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N A′
C′
归纳概括(gàikuò)“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别(fēnbié)相等的两个直角三角形
全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
A
几何(jǐ hé)语言：
∵ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
AB =A′B′，
A＇ C
B
BC =B′C′(或AC=A′C′)，
决这个问题吗？
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如图，舞台背景(bèijǐng)的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等， 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你 能帮工作人员想个办法吗？
（2）如果只用直尺，你能解决(jiějué)这个问题吗？
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• 学习目标：
D
解：D、E与路段AB的距离相等.
理由：∵C是路段AB的中点，
A
∴AC = BC，
又∵两人同时同速度(sùdù)出发，并同
时到达D，E两地.
C
E
∴CD = CE，
B
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又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B =90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
D
AC BC，
C
D
CE，
A
1．探究直角三角形全等的判定方法(fāngfǎ). 2．能运用三角形全等的判定方法判断两个直角
三角形全等.
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推进新课
知识点1 探索(tàn suǒ)“HL”判定方法
探究 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°. 再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .然后(ránhòu)把 画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
（全等三角形对应角相等）．
∵ ∠DEF +∠DF
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练习1 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时
出发，以相同的速度分别(fēnbié)沿两条直线行走，并同
时到达D，E 两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E 与路段AB的
距离相等吗？为什么？
随堂演练
基础(jīchǔ)巩 固
1. 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB = B′A′，则下列(xiàliè) 结论正确的是（ ） C
A.AC = A′C′
B.BC = B′C′
C.AC = B′C′
D.∠A′=∠A
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综合 应 (zōnghé) 用 2.如图，∠DCE = 90°，CD = CE，AD⊥AC， BE⊥AC，垂足(chuízú)分别为A、B，试说明AD + AB = BE.
（HL ）；
（∠3D）AB = ∠CBA
（AAS ）；
（∠4D）BA = ∠CAB
A（AS ）．
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例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的
高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的
倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小(dàxiǎo)有什么关系？为什么？
∠ABC +∠DFE = 90°