青岛版2020九年级数学上册1.1相似多边形自主学习培优测试题(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册1.1相似多边形自主学习培优测试题（附答案详解） 1．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为2300cm ，其中一条边的长度为5cm ．经测量，这条边的实际长度为15m ，则这块草坪的实际面积是（ ）
A ．2100m
B ．2270m
C ．22700m
D ．290000m 2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，15B
E =，那么CE 的长等于（ ）
A ．9
B ．6
C ．152
D ．92
3．如图所示：ABC 中，DE //BC ，AD 5=，BD 10=，AE 3=．则CE 的值为（ ）
A ．9
B ．6
C ．3
D ．4
4．如图，////AB CD EF ，4AD =，3BC DF ==，则BE 的长为（ ）
A ．9
4 B ．21
4 C ．4 D ．6
5．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，//DE BC ，AD CE =．若:3:2AB AC =，10BC =，则DE 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图，下列能判断BC ∥ED 的条件是（ ）
ED AD ED AE AD AE AD AC
7．下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ）
A ．a 2=，b 5=，c 5=，d 12.5=
B ．a 5=，b 0.02=，c 0.7=，d 0.3=
C ．a 30=，b 2=，4c 5=，d 12=
D ．a 5=，b 3=，c 5=，d 3= 8．将如图所示的箭头缩小到原来的12
，得到的图形是下图中的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若15x y x y -=+，x y =________；若34x y =，则232x y x y
+=-________． 10．已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，
35AD AB =，那么AE CE
的值等于________． 11．如图，ABCD 是正方形，E 、F 是AB 、BC 的中点，连接CC 交DB 、DF 于G 、H ，则:EG GH =________．
12．已知35x y =，则y x y x
+-=_______. 13．已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中3a cm =，4b cm =，12d cm =，则c =________．
14．如图，在ABC 中，DE //BC ，若AD:AB 1:3=，AC 9=，则EC 的长为________．
15．如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=__．
16．如图，在直线m上摆放着三个三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=1
2
CE，F、
G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S2，S3，若S1+S3=20，则S2=_____．
17．如果
312
234
x y z
+--
==，且x＋y＋z＝18，求x，y，z的值．
18．如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB 交于点F，FG∥BE交AE于点G．
（1）求证：GF=BF；
（2）若EB=1，BC=4，求AG的长；
（3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．
19．如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？
20．如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部．AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a，b，c，d满足什么条件？请说明理由．
21．计算或求值：
（1）00122cos 60(2018)π-+-；
（2）已知342x y x y -+=12，求x y
的值． 22．ABC 中，D 为BC 上的一点，
2BD DC =，E 是AD 上一点，14AE ED =，求BE EF ，AF FC
的值．
23．在ABC 中，AD 是角平分线．
（1）求证：BD AB DC AC
=； （2）探究若AD 为ABC 外角的平分线，交BC 延长线于点D ，上面的结论是否成立？说明理由．
24．如图所示，AD 是ABC 的中线．
（1）若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求
AF BF ； （2）若E 为AD 上的一点，且1AE ED k =，射线CE 交AB 于F ，求AF BF
．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
实际图形与设计图是相似图形，相似比是5：1500=1：300，相似多边形面积的比等于相似比的平方，就可求出这块草坪的实际面积．
【详解】
解：设草坪的实际面积是x平方米，
则有
2 0.031
300
x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
解得x=2
2700m.
故选C.
【点睛】
考查相似多边形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方. 2．B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例得到
3
155
BC
=，然后利用比例性质计算出BC，然后利用计算BE-BC
即可．
【详解】
∵AB∥CD∥EF，
∴BC AD
BE AF
=，即
3
155
BC
=，
∴BC=9，
∴CE=BE-BC=15-9=6．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．B
【解析】【分析】
由DE∥BC，用平行线分线段成比例定理即可得到AD AE
BD CE
＝，又由AD=5，BD=10，AE=3，
代入即可求得答案．【详解】
∵DE∥BC，
∴AD AE BD CE
＝，
∵AD=5，BD=10，AE=3，
∴
53
10CE
＝，
∴CE=6．
故选B
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用．
4．B
【解析】
【分析】
先根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求得CE的长，最后计算BE的长即可．【详解】
∵AB∥CD∥EF，
∴BC AD CE DF
=，
又∵AD=4，BC=DF=3，
∴
34
3 CE
=，
∴CE=9
4
，
∴BE=BC+CE=3+9
4
=
21
4
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：三条平行线截两条直线，所
得的对应线段成比例．5．B
【解析】
【分析】
根据AD AE
AB AC
=及AD=CE转化求出
AE
AC
即可.
【详解】
∵DE∥BC，
∴AD AE AB AC
=，
∵AD=CE，
∴CE AE
AB AC
=，即
AB CE
AC AE
==
3
2
，
∴
22
235 AE
AC
==
+
，
∵BC=10，
∴DE=2
4 5
BC=.
【点睛】
转化求解是解题的关键.
6．C
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，对每一项进行分析即可得出答案．【详解】
∵AD AE AB AC
=，
∴BC∥ED；
故选C．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例，找准对应关系，列出正确的比例式是解题的关键．7．B
【解析】
【分析】
根据成比例线段概念，对选项一一分析，选择正确答案．
【详解】
A 、2×12.5=5×5，故选项正确；
B 、0.02×5≠0.3×0.7，故选项错误；
C 、45
×30=2×12，故选项正确； D 、3×5=3×5，故选项正确．
故选B ．
【点睛】
考查应用比例的基本性质判断成比例线段．将所给的四条线段长度按大小顺序排列，如：a ＞b ＞c ＞d ，若最长a 和最短d 两条线段之积ad 与另两条线b 、c 之积bc 相等，则说明线段a 、b 、c 、d 成比例．
8．A
【解析】 箭头缩小到原来的
12得到的图形应该是形状不变，大小为原来的一半，故选A. 9．32 116
【解析】
【分析】
根据比例的性质，可得等式，根据等式的性质，可得答案；
根据等式的性质，可用x 表示y ，根据分式的性质，可得答案．
【详解】 解：由x y x y -+＝15
，得 5x-5y=x+y ，
移项，合并同类项，得
4x=6y ，
两边都除以4y ，得
32
x y =； 由3x=4y ，得
y=34
x ， 3112x 2+1144=333-26
3242x x
x y x x x y x +
==-⨯， 故答案为
32，116． 【点睛】
本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，等式的性质．
10．32
【解析】
【分析】 由35AD AB =可知32AD DB =，由DE//BC 可证明AD AE DB EC
= 即可得答案. 【详解】 ∵35
AD AB =， ∴
32AD DB =， ∵DE//BC， ∴
AE AD EC DE ==32
. 故答案为：32 【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长成比例，熟记定理是解题关键.
11．5:4
【解析】
【分析】
过点G 作GP ∥BC 交DF 于P ，设GH=2a ，则由平行线的性质可得
GH HC =PG CF =PG BF =DG BD =23
，即CH=3a ，进而即可得出结论． 【详解】
解：过点G 作GP ∥BC 交DF 于P ， 则
GH HC =PG CF =PG BF =DG BD =23
， 设GH=2a ，则HC=3a ，可得EG=5a 2， ∴EG ：GH=5：4．
故答案为5：4．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及正方形的一些性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．
12．4
【解析】
【分析】
根据比例的性质，可用y 表示x ，根据等式的性质，可得答案．
【详解】 x=35
y ． 3535y y y x y x y y +
+=--=4， 故答案为4．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
13．9cm
【解析】
【分析】
根据比例线段的概念，列出比例式3：4=c ：12，再进行计算即可．
【详解】
解：∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，
∴a ：b=c ：d ，
∵a=3cm ，b=4cm ，d=12cm ，
∴3：4=c ：12，
∴c=9cm ，
故答案为；9cm ．
【点睛】
本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
14．6
【解析】
【分析】
由平行可得到AE ：AC=AD ：AB ，可求得AE ，再利用线段的和差可求得EC ．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴AE :AC =1:3，即AE :9=1:3，
∴AE =3，
∴EC =AC −AE =9−3=6，
故答案为6.
【点睛】
考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
15．15
【解析】
l 1∥l 2∥l 3,
AB DE AB BC EF DE
=++, 所以6512.5
AC =，所以AC =15. 16．8．
【解析】
【分析】
根据题意，证明S 2与S 1两个平行四边形的高相等，长是S 1的2倍，S 3与S 2的长相等，高是S 3的一半，把S 2和S 3用S 1来表示，从而计算出S 2的值．
【详解】
由已知三个平行四边形得：AB ∥HF ∥DC ∥GN ，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，∵F是BC的中点，
∴S2与S1两个平行四边形的高相等，
∵G是CE的中点，CD∥GN，GN∥CD，∴GN=CQ，
∴S3与S2的底相等，
∵BC=2CF=1
2
CE=CG，
∵∠PFC=∠QCG，∠PCF=∠QGC，∴△PFC∽△QCG，
∴
1
2 PF FC
QC CQ
==，
∴S2与S1两个平行四边形的底的比是2：1，
S3与S2的高的比为2：1，
∴S3=2S2=4S1，
∵S1+S3=20，
∴S1=4，
∴S2=8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了面积及等积变换、三角形中位线定理和平行线等分线段定理及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．
17．x＝1，y＝7，z＝10
【解析】
【分析】
先用未知数k分别表示出x、y和z，又因为x+y+z=18，则可得k的值，从而求得x，y，z的值．
【详解】
根据题意，设x+3=2k，y﹣1=3k，z﹣2=4k，
则x=2k﹣3，y=3k+1，z=4k+2．
∴2k﹣3+3k+1+4k+2=18，
解得：k=2，
∴x=2×2﹣3=1，
y=3×2+1=7，
z=4×2+2=10．
【点睛】
本题考查了比例的性质，比较简单．当已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；
（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到GF FH
BE BM
=，由于BM＝BE，
得到GF＝FH，由GF∥AD，得到EF GF
ED AD
=，
FH FO
AD OD
=等量代换得到
EF FH
ED AD
=，即
EF GF
ED AD
=，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，
∵GF∥BE，
∴GF∥BC，
∴GF∥AD，
∴GF EF AD ED
=，
∵AB∥CD，BF EF CD ED
=，
∴GF=BF；
（2）∵EB=1，BC=4，
∴DF BC
FE EB
==4，AE=2217
EB AB
+=，
∴AG DF
GE FE
==4，
∴AG=417
；
（3）延长GF交AM于H，
∵GF∥BC，
∴FH∥BC，
∴GF AF BE AB
=，
∴GF FH BE BM
=，
∵BM=BE，∴GF=FH，∵GF∥AD，
∴EF GF
ED AD
=，
FH FO
AD OD
=，
∴EF FH ED AD
=，
∴EF GF ED AD
=，
∴FO•ED=OD•EF．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．
19．剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形
【分析】
根据黄金分割设出矩形ABCD的长和宽，然后表示出矩形BCFE的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【详解】
设矩形ABCD的长为x，
∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴宽BC
x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴BE x
=-=，
∴
x31
BE
BC
=====，
∴BE与BC的比是黄金比，
∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形．
【点睛】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．
20．a＋c＝2b＋2d.
【解析】
【分析】
利用相似多边形对应边成比例的性质列出比例式，然后整理即可.
【详解】
当a＋c＝2b＋2d时，A′B′C′D′∽矩形ABCD.
理由如下：设AB＝x，则AD＝2x，那么A′D′＝2x－a－c，A′B′＝x－b－d.
∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
∴AD∶AB＝A′D′∶A′B′＝2∶1，
∴A′D′＝2A′B′，
∴2x－a－c＝2(x－b－d)，
∴a＋c＝2b＋2d.
【点睛】
本题题主要考察了相似多边形的性质和矩形的性质，相似多边形对应边成比例，对应角相等，解题找准对应边是关键.
21．（1）2）9
4
．
【解析】
【分析】
（1）先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
（2）先由34
2
x y
x y
-
+
=
1
2
，变形可得6x﹣8y=2x+y，即可得出4x=9y，即可得到
9
.
4
x
y
=
【详解】
（1）原式
1
21,
2
=⨯+
11, =+
=
（2）∵34
2
x y
x y
-
+
=
1
2
，
∴6x﹣8y=2x+y，∴4x=9y，
∴
9
.
4 x
y
=
【点睛】
本题主要考查了比例的性质以及实数的混合运算，实数的运算和在有理数范围内一样，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
22．
1
:
6
AF FC=，14:1
BE
EF
=．
【解析】【分析】
作DG//AC交BF于G，如图，已知把BD：DC=2：1和AE：ED=1：4，通过作平行线建立FC、AF与DG的关系，GF与BF的关系，EF与EG的关系，即可求得答案.
【详解】
作DG//AC交BF于G，如图，
∵BD
2 DC
=，
∴BD2 BC3
=，
∵DG//CF，
∴BG DG BD2 BF CF BC3
===，
∴
3
FC DG
2
=，
1
GF BF
3
=，
∵DG//AF，
∴EF AF AE1 GE DG ED4
===，
∴
1
AF DG
4
=，
1
EF EG
4
=，
∴
1
AF:FC
6
=，
BE
14:1
EF
=．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线、把它们的比转移到同一条线段上．
23．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，作辅助线，证明BD AB
CD AE
=，进而证明AC＝AE，问题即可解决．
（2）如图2，作辅助线，证明BD AB
CD AE
=，进而证明AE＝AC，问题即可解决．
【详解】
（1）如图1，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，则BD AB
CD AE
=，∠E＝∠BAD，∠ACE＝∠CAD．
∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE，∴BD AB DC AC
=．
（2）如图2，过点C作CE∥AD交AB于点E，则
BD AB
CD AE
=，∠AEC＝∠F AD，∠ACE＝∠CAD．
∵AD平分∠F AC，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC，∴BD AB DC AC
=．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
24．（1）
1
2
AF
BF
=；（2）
1
2
AF
BF k
=．
【解析】
【分析】
(1)作DG∥CF交AB于G，由平行线分线段成比例定理得出FG=BG，BF=2FG，AF=FG，得出AF=FG=BG，即可得出结果；
(2)作DG∥CF交AB于G，由平行线分线段成比例定理得出FG=BG，BF=2FG，
AF FG =
AE
ED
=
1
k
，即可得出结果.
【详解】
解：(1)作//
DG CF交AB于G，如图1所示：
∵AD 是ABC 的中线， ∴BD CD =，
∵//DG CF ，
∴FG BG =，2BF FG =，
∵E 为AD 的中点，
∴AF FG =，
∴AF FG BG ==，
∴12
AF BF =； （2）作//DG CF 交AB 于G ，如图2所示：
∵AD 是ABC 的中线，
∴BD CD =，
∵//DG CF ，
∴FG BG =，2BF FG =，
1AF AE FG ED k ==， ∴122AF AF BF FG k
==． 故答案为：（1）12AF BF =；（2）12AF BF k
=. 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理.。