(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专
项训练题
单选题
1、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4
x+1的最小值为（ ） A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A
解析：将函数变形为y =3(x +1)+4
x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x >0，所以x +1>0，
所以y =2+3x +4
x+1=2+3(x +1)−3+4
x+1
=3(x +1)+4
x+1−1≥2√3(x +1)⋅4
x+1−1=4√3−1， 当且仅当3(x +1)=
4
x+1
，即x =
2√33
−1>0时等号成立，
所以函数y =2+3x +4
x+1
的最小值为4√3−1.
故选：A ．
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
2、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．c
a >c
b B ．ab <b 2 C ．a −b +1a−b
≥2D ．
1a−1
<
1
b−1
答案：C
分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<
1a
<1
b
，而c 的正负不确定，故A 错误；
对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；
对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1
a−b >0，所以a −b +1
a−b ≥2√(a −b )×1
a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1
a−1与1
b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.
3、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．
√2−1
2
B ．√2−1
C ．√2+1
D ．
√2+1
2
答案：D
分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y
对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出
x+√xy x+y
的最大值，设√y
x =
t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.
由题意可得，a ≥
x+√xy x+y
对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求
x+√xy x+y
的最大值即可，
x+√xy x+y
=
1+√
y
x 1+y x
，设√y
x =
t(t >0)，则
1+√
y x 1+y x
=
1+t 1+t
2，再设1+t =m(m >1)，则
1+√
y x 1+y x
=
1+t 1+t
2=
m
1+(m−1)
2=
m
m 2−2m+2
=
1
m+2m
−2
≤
2√m⋅2m
−2
=
2√
2−2
=√2+1
2
，当且仅当m =2m ⇒√y
x =√2−1时取得“=”.
所以a ≥
√2+1
2
，即实数a 的最小值为
√2+1
2
. 故选：D.
4、若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是（）
A．(−2,+∞)B．(3,+∞)C．(6,+∞)D．(2,+∞)
答案：D
分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围
设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，
所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，
即a>f(3)=2，得a>2，
所以实数a的取值范围为(2,+∞)，
故选：D
5、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=
A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}
答案：C
分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则
M∩N={x|−2<x<2}．故选C．
小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
6、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1
a +3
b
的最小值是（）
A．7B．2+√3C．4D．4+2√3
答案：D
分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，
所以y =1a +3b =(a +b )(1a +3b )=4+b a +
3a b
≥4+2√b a
⋅
3a b
=4+2√3，
当且仅当b
a =
3a b
即b =√3a 时，等号成立.
结合a +b =1可知，当a =√3−1
2
,b =3−√32
时，y 有最小值4+2√3.
故选：D.
7、已知y =(x −m )(x −n )+2022(n >m )，且α,β(α<β)是方程y =0的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）
A ．α<m <n <β
B ．m <α<n <β
C ．m <α<β<n
D ．α<m <β<n 答案：C
分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.
∵α，β为方程y =0的两实数根，∴α，β为函数y =(x −m )(x −n )+2022的图像与x 轴交点的横坐标， 令y 1=(x −m )(x −n )，∴m ，n 为函数y 1=(x −m )(x −n )的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数y =(x −m )(x −n )+2022的图像可由y 1=(x −m )(x −n )的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以m <α<β<n . 故选:C.
8、已知正实数a ，b 满足a +1
b
=2，则2ab +1
a
的最小值是（ ）
A ．52
B ．3
C ．9
2
D ．2√2+1
答案：A
分析：由已知得， a =2−1
b
代入得2ab +1
a
=2(2b −1)+
b
2b−1
，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.
解：因为a +1
b =2，所以a =2−1
b >0，所以0<b <2 ， 所以2ab +1
a =2(2−1
b )b +b
2b−1=2(2b −1)+b
2b−1， 令2b −1=t ，则b =
t +12
，且−1<t <3 ，
所以2ab +1
a =2t +
t +12
t
=2t +
12t
+12
≥2√2t ⋅
12t
+12
=52
，当且仅当2t =
12t
，即t =12
，b =34
,a =2
3
时，取等号，
所以2ab +1
a
的最小值是52
.
故选：A.
9、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）
A ．(−6,−2)
B ．(−∞,1
6)∪(1
2,+∞) C ．(−1
2,−1
6)D ．(−∞,−1
2)∪(−1
6,+∞)
答案：D
解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−
2b a
，2×6=−c
a
，得b =−4a ，c =−12a ，
∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−1
6或x <−1
2，
所以不等式的解集是(−∞,−1
2)∪(−1
6,+∞). 故选：D
小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.
10、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−1
2<x <1
3}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−1
6)B ．(−∞,1
6)C ．(−1
6,+∞)D ．(1
6,+∞) 答案：A
分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−1
2
<x <1
3
}
则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b
a
(−12)⋅13=2
a ， 解得{a =−12
b =−2
，
则−12x −2>0的解集为(−∞,−1
6) 故选：A 填空题
11、已知x >5
4，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7
分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.
法一：∵x >54，∴4x −5>0， y =4x +
14x−5
=(4x −5)+
14x−5
+5≥2+5=7，
当且仅当4x −5=1
4x−5，即x =3
2时等号成立， 所以答案是：7.
法二：∵x >5
4
，令y ′=4−
4(4x−5)2
=0得x =1或x =3
2
，
当54
<x <32
时y′<0函数单调递减， 当x >3
2时y′>0函数单调递增，
所以当x =3
2时函数取得最小值为：4×3
2+14×32
−5
=7，
所以答案是：7.
【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.
12、设x >0, y >0, x +2y =5，则√xy
的最小值为______.
答案：4√3
分析：把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．
∵√xy
=√xy
,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴
√xy
≥
√3√xy √xy
=4√3，
当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立， 故所求的最小值为4√3．
小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
13、已知a >b >0，那么当代数式a 2+4
b (a−b )取最小值时，点P (a,b )的坐标为______ 答案：(2,1)
分析：根据题意有b(a −b)≤(
b+a−b 2
)2，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16
a 2≥
16，结合a >b >0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b 的值，从而可求得答案 解：由a >b >0，得a −b >0，
所以b(a −b)≤(
b+a−b 2
)2=
a 24
，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，
所以a 2+4
b (a−b )≥a 2+16
a 2≥16，其中第一个不等式等号成立的条件为a =2
b ，第二个不等式等号成立的条件为a 2=
16a 2
，
所以当a 2+4b (a−b )取最小值时，{a 2=
16
a 2a =2
b a >b >0
，解得{a =2b =1
所以点P (a,b )的坐标为(2,1)， 所以答案是：(2,1)
小提示：关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等
号的条件，考查计算能力，属于中档题 14、函数y =3x +1
x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3
分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，
所以y =3(x −1)+1
x−1+3≥2√3(x −1)×1
x−1+3=2√3+3， 当且仅当3(x −1)=1
x−1，因为x >1，即当x =
3+√33
时，等号成立.
所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3. 所以答案是：3+2√3.
15、已知x >0，则7−x −9
x 的最大值为________． 答案：1
分析：直接利用基本不等式求最大值.
∵x >0，则7−x −9
x =7−(x +9
x )≤7−2√x ⋅9
x =1， 当且仅当x =9
x 即x =3时取等号． 所以答案是：1 解答题
16、设a ∈R ，关于x 的二次不等式ax 2−2x −2a >0的解集为A ，集合B ={x |1<x <2 }，满足A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围. 答案：(−∞,−2)∪(2,+∞)
分析：由题意a ≠0，求出方程ax 2−2x −2a =0的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.
解：由题意a≠0，令ax2−2x−2a=0，解得两根为x1=1
a −√2+1
a2
,x2=1
a
+√2+1
a2
，由此可知x1<0,x2>
0，
当a>0时，解集A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，因为x1<0,x2>1，所以A∩B≠∅的充要条件是x2<2，即1
a
+
√2+1
a2
<2，解得a>2；
当a<0时，解集A={x|x1<x<x2}，因为x1<0,x2<2，所以A∩B≠∅的充要条件是x2>1，即1
a
+
√2+1
a2
>1，解得a<−2；
综上，实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞).
17、已知不等式ax2+(1−a)x+a−1<0．
(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对a∈[0,1
2
]恒成立，求实数x的取值范围．
答案：(1)(−∞，−1
3
)；
(2)(−1−√5
2，−1+√5
2
)．
分析：（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．
（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用{g(0)<0
g(1
2
)<0，解不等式组．
（1）
当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；
当a≠0时，由已知，得{a<0
(1−a)2−4a(a−1)<0即{a<0
3a2−2a−1>0，
解得a<−1
3
,
综上，实数a的取值范围为(−∞，−1
3
)．
（2）
原不等式可化为(x 2−x +1)a +x −1<0， 设g （a ）=(x 2−x +1)a +x −1， 由题意，当a ∈[0，1
2]，g(a)<0 恒成立，
所以{
g(0)<0g(1
2)<0
，即{x −1<0
12(x 2−x +1)+x −1<0
,
解得
−1−√52
<x <−1+√52
，
所以实数x 的取值范围为(−1−√52
，
−1+√52
)．
18、若函数y =3x 2−5x +a 的两个零点分别为x 1,x 2，且有−2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围． 答案：−12<a <0.
分析：根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围． 令f (x )=3x 2−5x +a ，
则{f(−2)>0f(0)<0f(1)<0f(3)>0 得a 的取值范围是−12<a <0．
故实数a 的取值范围为−12<a <0.
小提示：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
19、解关于x 的不等式ax 2+(a -1)x -1≤0． 答案：答案见解析
分析：解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解. 因为ax 2+(a -1)x -1≤0，即(ax -1)(x +1)≤0， 当a =0时，则-x -1≤0，即x ≥-1； 当a >0时，则-1≤x ≤1
a ；
当a<0时，①当-1<a<0时，则x≤1
或x≥-1；
a
②当a=-1时，则(x+1)2≥0，即x∈R；
；
③当a<-1时，则x≤-1或x≥1
a
综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x≥-1}；
}；
当a>0时，不等式的解集为{x|-1≤x≤1
a
或x≥-1}；当-1<a<0时，不等式的解集为{x|x≤1
a
当a=-1时，不等式的解集为R；
当a<-1时，不等式的解集为{x|x≥1
或x≤-1}.
a。