有理数的规律探索
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分析：先算下直角三角形的面积 为4，图①边上格点8个，内部 格点1个，只有当a=1时符合
图②边上格点7个，内部格点 15个，代入公式可求
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细 读题，找到图形内和图形外格点的数目．
[对应训练]
1．在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究
1+1 2+2
3+4
4+8
5+16
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律， 利用规律解决问题．
[对应训练]
2. 如 图 是 由 火 柴 棒 搭 成 的 几 何 图 案 ， 则 第 n 个 图 案 中 有 ____2_n_(_n_＋__1_)___根火柴棒．(用含n的代数式表示)
1×4 2×6 1×2×2 2×2×3
解析：a1＋a2=1+3=4，a2＋a3=3+6=9，a3＋a4=6+10=16， ...,a399＋a400＝4002=160000
[对应训练]
4.观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187，…Fra bibliotek解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32020的末位数
字是( B )
A．0
B．1
C．3
D．7
解析：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36 ＝729，37＝2187…∴末尾数每4个一循环，∵2020÷4 ＝505，∴3＋32＋33＋34＋…＋32020的末位数字为1
类型二 数式规律型问题
数式规律型：数式规律问题主要是通过观
察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的
它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.
(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形
并完成下表：
m n m＋n f
12
3
2
13
4
3
23
5
4
25
7
34
7
猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿 过的小正方形的个数f与m，n的关系式是．(不需要证明) (2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成
1 (1 1 ) 1 2n n 2 2n 1 2 2n 1 2n 1
类型三 图形规律型问题
图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆
等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其
中的规律，要注意对应思想和数形结合．
例3．如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右 排列，那么第2020个图形是____□____．
2.观察下列等式： 1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，...,
则1+3+5+7+...+2019=__1_0_1_0__2_
[对应训练] 3.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做 三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记 为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算a399＋ a400＝____1_.6_×__1_05_或_1_6_0_0_00____．
立．
解：(1)如表：
m n m＋n f
12
3
2
13
4
3
23
5
4
25
7
6
34
7
6
f＝m＋n－1
(2)当m，n不互质时，上述结论不成立，如图
本节课到此结束，下课！
△△□□□△○○□□□△○○… 解析：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，
一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，(2020－2)÷6 ＝ 336…2 所 以 第 2020 个 图 形 是 与 循 环 的 第 二 个 图 形 相 同 是 正 方
形．故答案为：□
[对应训练]
1.观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个 图形有_____2_1____个太阳．
2×1+1=22-12
2×2+1=32-22 2×3+1=42-32 2×4+1=52-42
2n+1=(n+1)2-n2
3.观察下列各式：1 1 3
1 2
1
1 3
1
，3
5
1 2
1 3
1 5
，1 5
7
1 2
1 5
1 7
，…
根据观察计算：113
结论，以列代数式即函数关系式为主要内容
例 ．2:观察按下列顺序排列的等式： 9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31, 9×4+5=41,…… 猜想：第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表 示成__9_(_n_-_1_)_+_n_=_1_0_(_n_-_1.)+1
[对应训练]
1 3
5
5
1
7
L
1
(2n 1)(2n 1)
．
（n为正整数）
解：原式= 1 (1 1) 1 (1 1) 1 (1 1) ... 1 ( 1 1 )
2 3 23 5 25 7
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ) 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
3×8 3×2×4
类型四 数形结合猜想型问题
数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图 形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数 或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应 关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相 关问题．
类型四 数形结合猜想型问题
例4 :“皮克定理”是用来计算顶点在格点的多边 形的面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公 式中的s表示多边形的面积，a和b中有一个表示 多边形边上（含顶点）的格点个数，另一个表示 多边形内部的格点个数，请你选择一些特殊的多 边形（如图①）进行验证，得到公式中表示多边 形内部的格点个数的字母是___a ___,并运用这个 公式求得图②中多边形的面积___1_7_.5____
专题2 有理数的规律探索
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有 某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化 过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其 中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字 规律”“数式规律”“图形规律”“数形结合猜想型”等题型．
解数字或数式规律探索题的方法：
第一步：标序号； 第二步：找规律，分别比较各部分与序号数(1，2，3，4，…， n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来； 第三步：根据找出的规律表示出第n个数式．
解图形规律探索题的方法：
第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表 示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数n的关系：针对寻找第n个图形表 示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比 对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变 化推导出第n个图形的个数；
类型一 数字猜想型问题
数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题 目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题
【例1】 将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律， 数阵中第10行从左至右的第5个数是__5_0__．
=1+2
=1+2+3 =1+2+3+4
第10行共10个数字，最后一个数字=1+2+3+4+...+10=55
1
1.观察下列一组数：2
,
3 4
,
5 6
,
7 8
……
，它们是
按一定规律排列的. 那么这一组数的第k个数是
__2_k2_k_1 ___
.
[对应训练]
2.观察下列等式： 第一行
3=4－1
第二行 5=9－4
第三行 7=16－9
第四行 9=25－16
…
…
按照上述规律，第n行的等式为_2_n_+_1=(n+1)2-n2
【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化 中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
[对应训练]
1．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个 数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么
这组数中y表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15
[对应训练]
图②边上格点7个，内部格点 15个，代入公式可求
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细 读题，找到图形内和图形外格点的数目．
[对应训练]
1．在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究
1+1 2+2
3+4
4+8
5+16
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律， 利用规律解决问题．
[对应训练]
2. 如 图 是 由 火 柴 棒 搭 成 的 几 何 图 案 ， 则 第 n 个 图 案 中 有 ____2_n_(_n_＋__1_)___根火柴棒．(用含n的代数式表示)
1×4 2×6 1×2×2 2×2×3
解析：a1＋a2=1+3=4，a2＋a3=3+6=9，a3＋a4=6+10=16， ...,a399＋a400＝4002=160000
[对应训练]
4.观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2187，…Fra bibliotek解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32020的末位数
字是( B )
A．0
B．1
C．3
D．7
解析：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36 ＝729，37＝2187…∴末尾数每4个一循环，∵2020÷4 ＝505，∴3＋32＋33＋34＋…＋32020的末位数字为1
类型二 数式规律型问题
数式规律型：数式规律问题主要是通过观
察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的
它的一条对角线所穿过的小正方形个数f.
(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形
并完成下表：
m n m＋n f
12
3
2
13
4
3
23
5
4
25
7
34
7
猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿 过的小正方形的个数f与m，n的关系式是．(不需要证明) (2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成
1 (1 1 ) 1 2n n 2 2n 1 2 2n 1 2n 1
类型三 图形规律型问题
图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆
等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其
中的规律，要注意对应思想和数形结合．
例3．如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右 排列，那么第2020个图形是____□____．
2.观察下列等式： 1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42，...,
则1+3+5+7+...+2019=__1_0_1_0__2_
[对应训练] 3.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做 三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记 为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算a399＋ a400＝____1_.6_×__1_05_或_1_6_0_0_00____．
立．
解：(1)如表：
m n m＋n f
12
3
2
13
4
3
23
5
4
25
7
6
34
7
6
f＝m＋n－1
(2)当m，n不互质时，上述结论不成立，如图
本节课到此结束，下课！
△△□□□△○○□□□△○○… 解析：由图形看出去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，
一个三角形，两个圆6个图形为一组，不断循环出现，(2020－2)÷6 ＝ 336…2 所 以 第 2020 个 图 形 是 与 循 环 的 第 二 个 图 形 相 同 是 正 方
形．故答案为：□
[对应训练]
1.观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个 图形有_____2_1____个太阳．
2×1+1=22-12
2×2+1=32-22 2×3+1=42-32 2×4+1=52-42
2n+1=(n+1)2-n2
3.观察下列各式：1 1 3
1 2
1
1 3
1
，3
5
1 2
1 3
1 5
，1 5
7
1 2
1 5
1 7
，…
根据观察计算：113
结论，以列代数式即函数关系式为主要内容
例 ．2:观察按下列顺序排列的等式： 9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31, 9×4+5=41,…… 猜想：第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表 示成__9_(_n_-_1_)_+_n_=_1_0_(_n_-_1.)+1
[对应训练]
1 3
5
5
1
7
L
1
(2n 1)(2n 1)
．
（n为正整数）
解：原式= 1 (1 1) 1 (1 1) 1 (1 1) ... 1 ( 1 1 )
2 3 23 5 25 7
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ) 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
3×8 3×2×4
类型四 数形结合猜想型问题
数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图 形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数 或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应 关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相 关问题．
类型四 数形结合猜想型问题
例4 :“皮克定理”是用来计算顶点在格点的多边 形的面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公 式中的s表示多边形的面积，a和b中有一个表示 多边形边上（含顶点）的格点个数，另一个表示 多边形内部的格点个数，请你选择一些特殊的多 边形（如图①）进行验证，得到公式中表示多边 形内部的格点个数的字母是___a ___,并运用这个 公式求得图②中多边形的面积___1_7_.5____
专题2 有理数的规律探索
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有 某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化 过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其 中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数字 规律”“数式规律”“图形规律”“数形结合猜想型”等题型．
解数字或数式规律探索题的方法：
第一步：标序号； 第二步：找规律，分别比较各部分与序号数(1，2，3，4，…， n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来； 第三步：根据找出的规律表示出第n个数式．
解图形规律探索题的方法：
第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； 第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表 示个数； 第三步：寻找图形数量与序号数n的关系：针对寻找第n个图形表 示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比 对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变 化推导出第n个图形的个数；
类型一 数字猜想型问题
数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题 目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题
【例1】 将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律， 数阵中第10行从左至右的第5个数是__5_0__．
=1+2
=1+2+3 =1+2+3+4
第10行共10个数字，最后一个数字=1+2+3+4+...+10=55
1
1.观察下列一组数：2
,
3 4
,
5 6
,
7 8
……
，它们是
按一定规律排列的. 那么这一组数的第k个数是
__2_k2_k_1 ___
.
[对应训练]
2.观察下列等式： 第一行
3=4－1
第二行 5=9－4
第三行 7=16－9
第四行 9=25－16
…
…
按照上述规律，第n行的等式为_2_n_+_1=(n+1)2-n2
【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化 中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
[对应训练]
1．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个 数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么
这组数中y表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15
[对应训练]