正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
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第五章
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
模用有效值表示时，为有 效值相量，即 I I ψ
I I ψ Ie jψ I cos ψ jI sin ψ
⑤ “j” 的数学意义和物理意义
j90 90 旋转因子： e
e
j90
cos90 jsin 90 j
第五章 正弦电流电路 例 试写出下列正弦量的相量并作出相量图。 i1 50 2sin(100t )A 6 U 1 π u1 100 2sin(100t )V 3
例：设有正弦电流：
试求：两电流的和及差。
解：用相量表示两正弦电流为
70.745 A I 1 42.430 A I 2
I I1 I 2
I1
45º 0 -30º
I2
I I1 I 2
其相量图如图所示 将两相量相加，得
I2
I I (70.745 42.430 )A 91.418.4 A I 1 2
初相位
决定正弦量起始位置
角频率 幅值
决定正弦量变化快慢 决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。
第五章 正弦电流电路
◆ 幅值：交流电的最大瞬时值称为幅值或最大值，如Im。
幅值必须大写, 下标加 m。
Im
i
T
t
◆ 决定正弦量变化快慢的三种描述： ①周期 T：变化一周所需的时间。 单位：秒(s) ②频率 f：每秒变化的次数。单位：赫兹(Hz)
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
ω
A I m
+1
a 0
b
ω t1
ωt
若：有向线段长度 = 电流最大值 I m 有向线段与横轴夹角 = 初相位 有向线段以速度 ω 按逆时针方向旋转 则：该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。
ψ
(I ) I m
1
相量图：把相量表示在复平面的图形。
第五章 正弦电流电路
注意
① 相量与正弦量是对应关系，而并不是等于正弦量。
i I msin(ωt ψ) I I ψ
② 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量 表示。 ③ 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
④ 相量（有效值相量）的表示形式
U
①交流电压、电流表测量的数据均为有效值 ②交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
第五章 正弦电流电路
5.2 正弦量的相量表示法
一 正弦量的表示方法
必须小写
解析式： i I m sin(ωt ψ ) i 波形图：
重点
O
ωt
Iψ 相量： I
由于前两种不便于运算，故引出相量表示法。
若 u i 0,
若 u i 0,
称 u 滞后 i 角；
称 u 超前 i 角；
u,i
o
u
i
t
u,i i
u
t
o
第五章 正弦电流电路
两个正弦量的相位关系
0 , 180 , u i 若 u i 若 若 u i ， 2
有效值必须大写
第五章 正弦电流电路 正弦量的有效值与最大值关系 当 i I m sin(ωt ψ ) 时，则
Im 1 T 2 1 T 2 2 I i dt I m sin (ωt ψ )dt T 0 T 0 2
即
I
同理
注意
Im 2
Um 2
0.707I m
0.707 Um
第五章
正弦电流电路
四 周期量和正弦量的有效值 有效值：如果一个周期电流 i 通过电阻 R , 在一个周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通过该电 阻 R 消耗的能量 , 则I 定义为 i 的有效值。
0
则有
T
2 i 2 R dt I RT
周期电流
直流
I
1 T
T
0
i 2dt
第五章 正弦电流电路
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) 91.4 2 sin(ωt 18.4 )A 其瞬时值表达式：
将两相量相减，得
I I (70.745 42.430 )A 72.479.4 A I 1 2
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) 72.4 2 sin(ωt 79.4 )A 其瞬时值表达式：
称 u 与 i 同相； 称 u 与 i 反相；
称 u 与 i 正交。
u,i
u
i
t
u,i u o
i
t
u,i u o
i
t
o
第五章 正弦电流电路
注意: ① 两个同频率正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。
i
i1
i2
t
O
② 不同频率的正弦量比较无意义。 ③ 相位差的绝对值规定不超过π。
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
模用有效值表示时，为有 效值相量，即 I I ψ
I I ψ Ie jψ I cos ψ jI sin ψ
⑤ “j” 的数学意义和物理意义
j90 90 旋转因子： e
e
j90
cos90 jsin 90 j
第五章 正弦电流电路 例 试写出下列正弦量的相量并作出相量图。 i1 50 2sin(100t )A 6 U 1 π u1 100 2sin(100t )V 3
例：设有正弦电流：
试求：两电流的和及差。
解：用相量表示两正弦电流为
70.745 A I 1 42.430 A I 2
I I1 I 2
I1
45º 0 -30º
I2
I I1 I 2
其相量图如图所示 将两相量相加，得
I2
I I (70.745 42.430 )A 91.418.4 A I 1 2
初相位
决定正弦量起始位置
角频率 幅值
决定正弦量变化快慢 决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。
第五章 正弦电流电路
◆ 幅值：交流电的最大瞬时值称为幅值或最大值，如Im。
幅值必须大写, 下标加 m。
Im
i
T
t
◆ 决定正弦量变化快慢的三种描述： ①周期 T：变化一周所需的时间。 单位：秒(s) ②频率 f：每秒变化的次数。单位：赫兹(Hz)
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
ω
A I m
+1
a 0
b
ω t1
ωt
若：有向线段长度 = 电流最大值 I m 有向线段与横轴夹角 = 初相位 有向线段以速度 ω 按逆时针方向旋转 则：该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。
ψ
(I ) I m
1
相量图：把相量表示在复平面的图形。
第五章 正弦电流电路
注意
① 相量与正弦量是对应关系，而并不是等于正弦量。
i I msin(ωt ψ) I I ψ
② 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量 表示。 ③ 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
④ 相量（有效值相量）的表示形式
U
①交流电压、电流表测量的数据均为有效值 ②交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
第五章 正弦电流电路
5.2 正弦量的相量表示法
一 正弦量的表示方法
必须小写
解析式： i I m sin(ωt ψ ) i 波形图：
重点
O
ωt
Iψ 相量： I
由于前两种不便于运算，故引出相量表示法。
若 u i 0,
若 u i 0,
称 u 滞后 i 角；
称 u 超前 i 角；
u,i
o
u
i
t
u,i i
u
t
o
第五章 正弦电流电路
两个正弦量的相位关系
0 , 180 , u i 若 u i 若 若 u i ， 2
有效值必须大写
第五章 正弦电流电路 正弦量的有效值与最大值关系 当 i I m sin(ωt ψ ) 时，则
Im 1 T 2 1 T 2 2 I i dt I m sin (ωt ψ )dt T 0 T 0 2
即
I
同理
注意
Im 2
Um 2
0.707I m
0.707 Um
第五章
正弦电流电路
四 周期量和正弦量的有效值 有效值：如果一个周期电流 i 通过电阻 R , 在一个周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通过该电 阻 R 消耗的能量 , 则I 定义为 i 的有效值。
0
则有
T
2 i 2 R dt I RT
周期电流
直流
I
1 T
T
0
i 2dt
第五章 正弦电流电路
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) 91.4 2 sin(ωt 18.4 )A 其瞬时值表达式：
将两相量相减，得
I I (70.745 42.430 )A 72.479.4 A I 1 2
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) 72.4 2 sin(ωt 79.4 )A 其瞬时值表达式：
称 u 与 i 同相； 称 u 与 i 反相；
称 u 与 i 正交。
u,i
u
i
t
u,i u o
i
t
u,i u o
i
t
o
第五章 正弦电流电路
注意: ① 两个同频率正弦量之间的相位差为常数， 与计时起点的选择无关。
i
i1
i2
t
O
② 不同频率的正弦量比较无意义。 ③ 相位差的绝对值规定不超过π。
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0