电阻电路的等效变换和化简

R1
包含
1
a
R3
1d
R12
R31
R1
R2
R3
2
R23
3
2
3
型网络
Y型网络
R2
b
R4
三端 网络
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，Y 网络的变形：
型电路 ( 型)
T 型电路 (Y、星 型)
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
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2. —Y 变换的等效条件
1 + i1
u12 R12
– R3u1 31
u12 R12
– R3u1 31
– i2 2+
i3 +
R23 u23
–3
接: 用电压表示电流
1 +i1Y –
u12Y – i2Y R2
2+
R1 u31Y R3 i3Y +
u23Y – 3
Y接: 用电流表示电压
i1 =u12 /R12 – u31 /R31
i2 =u23 /R23 – u12 /R12
3.
b
100 10 60 50
80 R
c
R
2.
5
a 20
15 b
7
6
6
a
b
R
R
d
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例 求: Rab
a
b
20
100 10
40
60 50
a
20
120
b
100 60
60
80
a
b
20 100
a
b
100
Rab＝70
20 40
100 60
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例 求: Rab
20
5
a
15 b
20 缩短无电阻支路
US
＋
－＋ ＋
－ US
US ＋ －
－ US ＋
（1） 把理想电压源转移到邻近 的支路，得到电压源和电阻的串 联结构。
（2） 原电压源支路短接， 转移电压源的值等于原电压源 值，方向保证各回路的KVL方 程不变。
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例
+ 1 10V －
I=?
2 5V +－
2 1
10V －+
I=? －5V +
– i2 2+
i3 +
R23 u23
–3
等效条件：
1 +i1Y –
u12Y – i2Y R2
2+
R1 u31Y R3 i3Y +
u23Y – 3
i1 =i1Y ,
i2 =i2Y , i3 =i3Y ,
u12 =u12Y , u23 =u23Y , u31 =u31Y
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1 + i1
_
+i R
+
US(R2//R1)/R1 _
ri1_
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例6. 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
1k 10V
1k
I
0.5I
º
+
U_
º
2k +500I- I º
+
10V
U_
º
1.5k
I
º
+
10V
U_
º
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理想电流源的转移 iS iS
iS iS
iS
iS
（1） 把理想电流源沿着包 含它所在支路的任意回路转移 到该回路的其他支路中去，得 到电流源和电阻的并联结构。
－ + 2
等效电导等于并联的各电导之和
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（3） 并联电阻的电流分配
电流分配与电导成正比
对于两电阻并联，有：
i
º R1
i1 R2
i2
º
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（4） 功率
p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2
p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn 总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2
（1） 求出等效电阻或等效电导； （2）应用欧姆定律求出总电压或总电流； （3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
c
d 求: Rab , Rcd
a 6
5
15
5 等效电阻针对电路的某两
b
端而言，否则无意义。
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1. a
20 40
7
_
8v +
7 I
7
I=0.5A
5 10V 10V 6A
+ 5 U_
2A
6A
+ U_ 5∥5
U=20V
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例3. 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
+
+
10V_
1_0V
10
6A
10
+
70V
_
+
6V_
2A
10
6A
10
+
66V
_
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1A 6A
10
7A 10
10
+
70V
_
两电路具有相同的VCR 未变化的外电路A中 的电压、电流和功率 化简电路，方便计算
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2.2 电阻的串联和并联
1. 电阻串联( Series Connection of Resistors )
（1） 电路特点
R1
Rk

Rn
i
+ u1 _ + U k _ + un _
+
u
_
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(1)
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y (2) u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0
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由式(2)解得：
i1 =u12 /R12 – u31 /R31 (3) i2 =u23 /R23 – u12 /R12 (1)
5
a
15 b
7
6
6
7 6 6
Rab＝10
4
a
15 b
10
4
a
15 b
7 3
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例 求: Rab
对称电路 c、
c
d等电位
c
R
R
R
i
R
i
a
短路
R
b
R
a i1 R
根据电
d
R i2 b
d
c
R
R
流分配
a
b
R
R
d
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2.3 电阻的星形和三角形联接及其
等效变换 (—Y 变换)
c
1. 电阻的 ，Y连接
（2） 原电流源支路去掉， 转移电流源的值等于原电流源 值，方向保证各结点的KCL 方程不变。
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例
I=?
3
2
1A
3A
1 2
I=6/8=0.75A
2 3A
3A
I=?
3 1A 1A
1
2
I=?
3 ＋－
2 6V 1 ＋
2V －
2
＋ 2V－
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理想电压源的转移
－ US ＋
－ US
路为二端络网(或一端口网络)。
无
i i
无 源
源 一 端
口
2. 两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则 称它们是等效的电路。
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B
i
+ u
等效
-
C
i
+ u
-
对A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B
A
C
A
（1）电路等效变换的条件
明 确 （2）电路等效变换的对象
（3）电路等效变换的目的
ri1/R3
R2//R3
+ i1 R
+
US _
(R2//R3)ri1/R3_
注:
受控源和独立源一样可以进行电 源转换；转换过程中注意不要丢 失控制量。
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例5. 求电流i1
R1
R3
+ i1
US _
+
R2 ri1
_
i1
R3
+
R1 R2 US/R1
ri1
_
R3
+
US/R1
R2//R1
ri1
=G1u2+G2u2+ +Gnu2
表明
=p1+ p2++ pn
（1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比 （2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
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3. 电阻的串并联 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
例 计算各支路的电压和电流。
i3 =u31 /R31 – u23 /R23
根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得Y型型的变换条件：
或
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类似可得到由型 Y型的变换条件：
简记方法： 变Y
或
或 Y变
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特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R = 3RY
注意
外大内小
R12 R1 R2
R31 R3
R23
(1) 等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 (2) 等效电路与外部电路无关。 (3) 用于简化电路
30
20 30 20
2A
30
30
40 RL
30
30
20 10 10 20
2A
10
40 RL
30
10 2A
10
10
IL
40 RL 40
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2.4 电源的串联和并联
1. 理想电压源的串联和并联
串联 +
+º
uS1_
+
uS
uS2_
_
等效电路
º
并联
I
º
+
+
uS1_
uS2_
º
注意参考方向
+ +º uS
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
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(2) 等效电阻
R1
Rk
Rn
i
+ u1 _ + U k _ + un _ 等效
i
+
u
_
由欧姆定律
+
R eq u_
结论： 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
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(3) 串联电阻的分压
说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换， 所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
i
+ uS _
+
实 际
iS
u
电
Ri
_
压
源
i +
实 际 电
Gi
u _
流 源
端口特性
u=uS – Ri i i = uS/Ri – u/Ri
比较可得等效的条件：
i =iS – Giu
iS=uS /Ri Gi=1/Ri
例
两个电阻的分压：
i º ++
u-1 R1 u_ u+2 R2
º
注意方向 !
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(4) 功率
p1=R1i2， p2=R2i2，， pn=Rni2 p1: p2 : : pn= R1 : R2 : :Rn
表明
总功率
p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ +Rni2 =p1+ p2++ pn
6
i1 5
i1 5
+
165V
-
i2 6 i3
+
18
4 i4
165V
i5
-
12
i2
i3
18
9
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例
+ 12V_
I1 I2 R I3 R
+
+
2R U_1 2R U_2 2R
I4 求：I1 ,I4 ,U4
+
2R U_4
解 ① 用分流方法做
②用分压方法做
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从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
（1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比 （2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
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2. 电阻并联 (Parallel Connection)
(1) 电路特点
i
+
i1 i2
ik
in
u R1 R2
Rk
Rn
_
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)； (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
电阻电路的等效变换和化简
2.1 等效电路的概念
电阻电路
仅由电源和线性电阻构成的电路
分析方法
（1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分 析电阻电路的依据；
（2）等效变换的方法,也称化简的方法
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1. 两端电路（网络）
任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个
端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电
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由电压源变换为电流源：
i
+
uS _
+
u
Ri
_
由电流源变换为电压源：
i
iS
+ 转换
Gi u_
i
iS
+
Gi u_
i
+
uS _
+
u
Ri
_
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i
+
uS _
+
iu
Ri
_
i
iS
+
iS GiSi u_
注意
(1) 变换关系 数值关系: 方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。
(2) 等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
• 开路的电压源中无电流流过 Ri；
表 现
开路的电流源可以有电流流过并联电导Gi 。
在 • 电压源短路时，电阻中Ri有电流；
电流源短路时, 并联电导Gi中无电流。
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
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利用电源转换简化电路计算。
例1.
5A
3
2A
4
例2. U=?