2008年全国数学奥赛

2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1、已知实数x ，y 满足42423x x
-=，423y y +=，则444y x +的值为（ ）。

A 、7 B 、
1132+ C 、7132
+ D 、5 ［答］A
解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得
212444311344x ++⨯⨯+==，2114311322y -++⨯-+==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x
++-=-+=
2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。

A 、512
B 、49
C 、1736
D 、12 ［答］C
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n
通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736
p =
3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A 、6条
B 、8条
C 、10条
D 、12条
［答］B
解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不
同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至
少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，
至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，
从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

A 、52a
B 、1
C 、32
D 、a ［答］B 解：如图，连接O
E ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC
又因为∠ABO ＝11(601802)12022
ABD a a ∠=︒+︒-=︒- 所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝OA ＝1
5、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）。

A 、2种
B 、3种
C 、4种
D 、5种
［答］D
解：设12345,,,,a a a a a 是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列，
首先，对于1234,,,a a a a ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。

又如果1a （1≤i ≤3）是偶数，11a +是奇数，则12a +是奇数，这说明一个偶A B C D E O F （第3题答案图） A B C O D E （第4题答案图）
数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。

所以12345,,,,a a a a a 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条
件：
2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1。

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6、对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ，若关于x 的方程1()4
x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 。

［答］a ＞0，或a ＜－1 解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04
a x a x ++++=， 依题意有210,(1)(1)0,
a a a +≠⎧⎨∆=+-+⎩ 解得，a ＞0，或a ＜－1
7、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟。

［答］4。

解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米。

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则66x y s -= ①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则33x y s += ②
由①，②可得4s x =，所以
4s x
= 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。

8、如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是 ∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 。

［答］9。

解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ， 则MN ∥AB 又MF ∥AD ， 所以∠FMN ＝∠BAD ＝∠DAC ＝∠MFN ， 所以FN ＝MN ＝12
AB ， 因此FC ＝FN ＋NC ＝12AB ＋12AC ＝9。

9、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 。

［答］163
解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ，
内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则
11()22a ABC ah S a b c r ∆==++， 所以 a r a h a b c
=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此
,a a h r DE h BC -= 所以DE ＝
()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c -+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝
8(79)168796
⨯+=++。

10、关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 。

［答］48,32,x y =⎧⎨=⎩ 160,32
x y =⎧⎨=⎩ A B C D M F （第8题） A B C D M F （第8题答案图） N A
B C D E I
r
h a
（第9题答案图）
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数。

设：2,2,x a y b ==则22104()a b a b +=-，
同上可知，,a b 都是偶数，设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-， 所以，,c d 都是偶数，设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，
于是 222(13)(13)213s t -++=⨯，其中,s t 都是偶数。

所以 222222(13)213(13)2131511s t -=⨯-+≤⨯-
所以｜s －13｜可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337,329,313,289,257，
故只能是2
(13)t +＝289，从而｜s －13｜＝7，于是6,4;s t =⎧⎨=⎩ 20,4,s t =⎧⎨=⎩ 因此48,32,s y =⎧⎨=⎩ 160,32
s y =⎧⎨=⎩ 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数
c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2）
，且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。

解：存在满足条件的二次函数。

因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。

由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得
2552a b c -+= ①
当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++
由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤
2，
故 2a b c ++= ②
由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分 当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥ 所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故
20(42)4(25)0a a a a ⎧⎨---≤⎩ 即20,(31)0,
a a ⎧⎨-≤⎩ 所以13a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥， 所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故
210,(4)4(1)(51)0,a a a a -⎧⎨----≤⎩ 即21,(31)0,
a a ⎧⎨-≤⎩ 所以13a = 综上，141,4,25333
a b a c a ====-= 所以，存在二次函数23141333
y x x =++，在实数范围内，对于x 的同一个值，都有132y y y ≤≤成立。

……………15分
12、是否存在质数,p q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数。

令△＝2224q p n -=，其中n 是一个非负整数，则2()()4q n q n p -+=， ……………5分 由于1q m q n ≤-≤+且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数。

因此，有如下几种可能情形：
22,2,q n q n p -=⎧⎨+=⎩ 24,,q n q n p -=⎧⎨+=⎩ ,4,q n p q n p -=⎧⎨+=⎩ 2,2,q n p q n p -=⎧⎨+=⎩ 2,4.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩
消去n ，解得2
1q p =+，222p q =+，52p q =，2q p =，2
22p q =+ ……………10分 对于第1,3种情形，2p =，从而5q =；对于第2,5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）。

又当2,5p q ==时，方程为22520x x -+=，它的根为121,22
x x ==，它们都是有理数。

综上有述，存在满足题设的质数。

………………15分
13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论。

解：存在满足条件的三角形。

当△ABC 的三边长分别为6,4,5a b c ===时，∠A ＝2∠B ，
……………5分 如图，当∠A ＝2∠B 时，延长BA 至点D ，使
AD ＝AC ＝b ，连接CD ，则△ACD 为等腰三角形。

因为∠BAC 为△ACD 的一个外角，所以
∠BAC ＝2∠D ，由已知，∠BAC ＝2∠B ，所以
∠B ＝∠D ，所以△CBD 为等腰三角形。

又∠D 为△ACD 与△CBD 的一个公共角，
有△ACD ∽△CBD ，于是 AD CD CD BD =，即 b a a b c
=+， 所以2().a b b c =+ ………………10分
而264(45),=⨯+所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形。

……………15分
说明：满足条件的三角形是唯一的。

若∠A ＝2∠B ，可得2()a b b c =+，有如下三种情形；
(i)当a c b 时，设1,,1a n c n b n =+==-（n 为大于1的正整数）， 代入2()a b b c =+，得2(1)(1)(21)n n n +=--，解得5n =，有6,4,5a b c ===； A B C D （第13题答案图）
(ii)当b a c 时，设1,,1c n a n b n =+==-（n 为大于1的正整数）， 代入2()a b b c =+，得2(1)2n n n =-⋅，解得2n =，有2,1
,3a b c ===，此时不能构成三角形；
(iii)当a b c 时，设1,,1a n b n c n =+==-（n 为大于1的正整数）， 代入2()a b b c =+，得2(1)(21)n n n +=-，即2310n n --=，此方程无整数解。

所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件。

14、已知有6个互不相同的正整数126,,,a a a ，且126a a a ，从这6
个数中任意取出3个数，分别设为,,i j k a a a ，其中i j k ，记123(,,)i j k
f i j k a a a =++。

证明：一定存在3个不同的数组(,,)i j k ，其中16i j k ≤≤ ，使得对应着的3个(,,)f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5。

证明：在6个正整数中任意取出3个数共有20种取法，从而确定了20个数组(,,)i j k ，
由于012312313(,,)3213
i j k f i j k a a a =++≤++= …………5分 把数轴上的点0到点133
分成如下9个部分； 012x ≤ ，112x ≤ ，312x ≤ ，322x ≤ ，522x ≤ ，532
x ≤ ， 732x ≤ ，742x ≤ ，1343
x ≤ ……………10分 由于20＝9×2＋2，由抽屉原则知，在上述9个部分中，一定有一个至少含有3个(,,)f i j k ，从而，这3个(,,)f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5。