八年级(上)1月月考期末复习数学试卷解析版

八年级（上）1月月考期末复习数学试卷解析版
一、选择题
1．下列图书馆的馆徽不是．．
轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
2．若1(2,)A y ，2(3,)B y 是一次函数31y x =-+的图象上的两个点，则1y 与2y 的大小关系是( )
A ．12y y <
B ．12y y =
C ．12y y >
D ．不能确定
3．如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，点B 恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于( )
A ．25°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 4．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ）
A ．（﹣5，3）
B ．（1，﹣3）
C ．（2，2）
D ．（5，﹣1） 5．能表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 是常数且m ≠0）的图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．下列各点中，位于平面直角坐标系第四象限的点是（ ）
A ．（1，2）
B ．（﹣1，2）
C ．（1，﹣2）
D ．（﹣1，﹣2）
7．以下问题，不适合用普查的是（ ）
A ．旅客上飞机前的安检
B ．为保证“神州9号”的成功发射，对其零
部件进行检查
C ．了解某班级学生的课外读书时间
D ．了解一批灯泡的使用寿命 8．如图，在R △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，
E 为AC 上一点，且AE ＝85
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）
A ．185
B ．245
C ．4
D ．265
9．下列各组数是勾股数的是( )
A ．6，7，8
B ．1，3，2
C ．5，4，3
D ．0.3，0.4，0.5 10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，下列说法中，不一定正确的是（ ）
A ．BC 2+AC 2＝A
B 2
B ．2B
C ＝AB
C ．若△DEF 的边长分别为1，2，3，则△DEF 和△ABC 全等
D ．若AB 中点为M ，连接CM ，则△BCM 为等边三角形
二、填空题
11．若关于x 的分式方程122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 12．将函数y=3x+1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．
13．计算：32()x y -=__________．
14．如图，△ABC 中，5BC =，AB 边的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 边的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，则△AEG 周长为____．
15．若正实数,m n 满足等式222
(1)(1)(1)m n m n +-=-+-，则m n ⋅=__________． 16．16_______．
17．23(3)2716-=_____．
18．如图，已知直线l 1：y=kx+4交x 轴、y 轴分别于点A （4，0）、点B （0，4），点C 为x 轴负半轴上一点，过点C 的直线l 2：12
y x n =+经过AB 的中点P ，点Q （t ，0）是x 轴上一动点，过点Q 作QM ⊥x 轴，分别交l 1、l 2于点M 、N ，当MN=2MQ 时，t 的值为
19．函数y ＝－3x ＋2的图像上存在一点P ，点P 到x 轴的距离等于3，则点P 的坐标为________．
20．如图，直线1l x ⊥轴于点(1,0)，直线2l x ⊥轴于点(2,0)，直线3l x ⊥轴于点(3,0)，…直线n l x ⊥轴于点(,0)n .函数y x =的图像与直线123
,,n l l l l 分别变于点123,,,n A A A A ；函数3y x =的图像与直线123,,,n l l l l 分别交于点123,,,n B B B B ，如果11OA B ∆的面积记的作1S ，四边形1221A A B B 的面积记作2S ，四边形2332A A B B 的面积记作3S ，…四边形n 1n n n 1A A B B --的面积记作n S ，那么2020S =________.
三、解答题
21．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(0,2)，点C 是x 轴上的一个动点.当点C 在x 轴上移动时，始终保持ACP ∆是等腰直角三角形（90ACP ︒∠=，点A 、C 、P 按逆时针方向排列）；当点C 移动到点O 时，得到等腰直角三角形AOB （此时点P 与点
（初步探究）
（1）写出点B 的坐标________；
（2）点C 在x 轴上移动过程中，作PD x ⊥轴，垂足为点D ，都有AOC CDP ∆∆≌，请在图2中画出当等腰直角AOP ∆的顶点P 在第四象限时的图形，并求证：AOC CDP ∆∆≌.
（深入探究）
（3）当点C 在x 轴上移动时，点P 也随之运动.探究点P 在怎样的图形上运动，请直接写出结论，并求出这个图形所对应的函数表达式；
（4）直接写出2AP 的最小值为________.
22．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB =10cm ，BC =6cm ，若点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）若点P 在AC 上，且满足PA =PB 时，求出此时t 的值；
（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上（但不与A 点重合），求t 的值．
23．已知一次函数y=2x+b.
(1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b 的值;
(2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b 的值.
24．一架梯子AB 长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B 离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
25．证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形全等．
四、压轴题
26．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；
（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……
①用n 表示t 的內数；
②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）
27．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
28．如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A ＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P ．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．
（1）当∠A =44°时，求∠BPD 的度数；
（2）设∠A =x °，∠EPC =y °，求变量 y 与 x 的关系式；
（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．
29．（1）填空
①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；
②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．
（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．
30．如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．
(1)求P 点的坐标；
(2)求△APB 的面积；
(3)x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A 、是轴对称图形，不符合题意；
B 、是轴对称图形，不符合题意；
C 、是轴对称图形，不符合题意；
D 、因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不是轴对称图形，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，此一次函数系数k ＜0，y 随x 增大而减小，然后观察A 、B 两点的坐标，据此判断即可.
【详解】
解：∵一次函数1y =+的系数k ＜0，y 随x 增大而减小，
又∵两点的横坐标2＜3，
∴12y y >
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是理解本题题意，熟练掌握一次函数的增减性.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据图形折叠的性质得出BC=CE ，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE ，进而可判断出△BEC 是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补
的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵△ABC沿CD折叠B与E重合，
∴BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故选B．
【点睛】
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠前后的对应边相等，对应角相等.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．
【详解】∵一次函数y=kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大，
∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣4
5
＜0，不符合题意；
B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；
C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=3
2
＞0，符合题意；
D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，
故选C．
【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
对于各选项：先通过一次函数的性质确定m、n的符合，从而得到mn的符合，然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断，从而可确定该选项是否正确．
【详解】
A、由一次函数图象得m＞0，n＞0，所以mn＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A选项错误；
B、由一次函数图象得m＞0，n＜0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所
以B选项错误；
C、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C选项正确；
D、由一次函数图象得m＜0，n＞0，所以mn＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数图象：正比例函数y＝kx经过原点，当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、（1，2）在第一象限，故本选项错误；
B、（﹣1，2）在第二象限，故本选项错误；
C、（1，﹣2）在第四象限，故本选项正确；
D、（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】
解：旅客上飞机前的安检适合用普查；
为保证“神州9号”的成功发射，对其零部件进行检查适合用普查；
了解某班级学生的课外读书时间适合用普查；
了解一批灯泡的使用寿命不适合用普查．
故选D．
【点睛】
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值
不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图，作点E 关于AD 的对称点E ′，连接CE ′交AD 于P ′，连接EP ′，此时EP ′+CP ′的值最小，作CH ⊥AB 于H ．求出CE ′即可．
【详解】
如图，作点E 关于AD 的对称点E ′，连接CE ′交AD 于P ′，连接EP ′，此时EP ′+CP ′的值最小，作CH ⊥AB 于H ．
∵∠ACB =90°，AC =6，BC =8，
∴AB 22AC BC +2268+， ∴CH =AC BC AB ⋅=245
， ∴AH 22AC CH -=222465⎛⎫- ⎪⎝⎭
185， ∴AE =AE ′=85
，
∴E ′H =AH -AE ′=2， ∴P ′C +P ′E =CP ′+P ′E ′=CE 22CH E H '+222425⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=265， 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系. 9．C
解析：C
【解析】
【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可．
【详解】
解：A 、222768+≠，故此选项错误；
B 3
C、222
+=，故此选项正确；
345
D、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理、等边三角形的判定以及相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】
A、由勾股定理可知BC2+AC2=AB2，故A正确；
B、∵∠C=90︒，∠B=60︒，
∴∠A=30︒，
∴AB=2BC，故B正确；
C、若△DEF的边长分别为1，2DEF和△ABC不一定全等，故C错误；
D、∵CM是△ACB的中线，
∴CM=BM=CB，
∴△BCM是等边三角形，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定，本题属于基础题型．
二、填空题
11．4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值．
【详解】
方程变形得：，
去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-
解析：4
【解析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】 方程变形得：
+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-2， ∵方程122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．y=3x-1
【解析】
∵y=3x+1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x ﹣1．
故答案为y=3x ﹣1．
解析：y=3x-1
【解析】
∵y=3x +1的图象沿y 轴向下平移2个单位长度，
∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x ﹣1．
故答案为y=3x ﹣1．
13．【解析】
【分析】
根据积的乘方法则进行计算.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.
解析：62x y
【解析】
【分析】
根据积的乘方法则进行计算.
()2
323262
-=-=
x y x y x y
()
x y
故答案为：62
【点睛】
考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.
14．【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=GC，据此计算即可．
【详解】
解：∵ED，GF分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AG=GC，
∴△AEG的周长为AE
解析：【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=GC，据此计算即可．
【详解】
解：∵ED，GF分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AG=GC，
∴△AEG的周长为AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=5．
故答案是：5．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握性质是解题关键．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
15．【解析】
【分析】
根据整式的完全平方公式将等式两边的式子进行化简，从而求得的值.
【详解】
∵
∴
∴
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握完全平方公式及整式的
解析：12
【解析】
【分析】
根据整式的完全平方公式将等式两边的式子进行化简，从而求得m n ⋅的值.
【详解】
∵2222
(1)()2()12221m n m n m n m mn n m n +-=+-++=++--+ 2222(1)(1)2121m n m m n n -+-=-++-+
∴222222212121m mn n m n m m n n ++--+=-++-+
∴21mn = ∴12
mn =， 故答案为：
12. 【点睛】
本题主要考查了整式的乘法公式，熟练掌握完全平方公式及整式的化简是解决本题的关键. 16．4
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】
解：原式==4．
故答案为4．
【点睛】
此题主
解析：4
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】
解：原式．
故答案为4．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
17．4
【解析】
【分析】
根据算数平方根和立方根的运算法则计算即可．
【详解】
解：
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了算数平方根和立方根的计算，熟记运算法则是解题的关键． 解析：4
【解析】
【分析】
根据算数平方根和立方根的运算法则计算即可．
【详解】
3344=-+=
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了算数平方根和立方根的计算，熟记运算法则是解题的关键．
18．10或
【解析】
【分析】
先求出的值，确定的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；
解析：10或
227 【解析】
【分析】
先求出k n ，的值，确定12l l ，的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；
【详解】
解：把()40A ，
代入到4y kx =+中得：440k +=，解得：1k =-， ∴1l 的关系式为：4y x =-+，
∵P 为AB 的中点，()40A ，
，()0,4B
∴由中点坐标公式得：()2,2P ，
把()2,2P 代入到12y x n =
+中得：1222n ⨯+=，解得：1n =， ∴2l 的关系式为：112
y x =+， ∵QM x ⊥轴，分别交直线1l ，2l 于点M N 、，()0Q t ，
， ∴(),4M t t -+,1
,12N t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， ∴()1341322
MN t t t ⎛⎫=-+-+=- ⎪⎝⎭，44MQ t t =-+=-， ∵2MN MQ =, ∴33242
t t -=-， 分情况讨论得：
①当4t ≥时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：10t =；
②当24t ≤<时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：227
t =； ③当2t <时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：102t =>，故舍去；
综上所述：10t =或227
t =； 故答案为：10或227
． 【点睛】
本题属于一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识点，能够表示出线段的长度表达式，合理的使用分类讨论思想是解决本题的关键，有一定的难度．
19．或
【分析】
根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出点P的纵坐标，然后代入函数解析式求出x的值，即可得解．
【详解】
解：∵点P到x轴的距离等于3，
∴点P的纵坐标的绝对值为3，
解析：
1
,3
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或
5
3
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出点P的纵坐标，然后代入函数解析式求出x的值，即可得解．
【详解】
解：∵点P到x轴的距离等于3，
∴点P的纵坐标的绝对值为3，
∴点P的纵坐标为3或﹣3，
当y=3时，﹣3x+2=3，解得，x=﹣1
3
；
当y=﹣3时，﹣3x+2=﹣3，解得x=5
3
；
∴点P的坐标为（﹣1
3，3）或（
5
3
，﹣3）．
故答案为（﹣1
3
，3）或（
5
3
，﹣3）．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是本题的关键，注意分类讨论．
20．4039
【解析】
【分析】
根据直线解析式求出An−1Bn−1，AnBn的值，再根据直线ln−1与直线ln互相平行并判断出四边形An−1AnBn Bn−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出Sn的表
解析：4039
【解析】
根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n 的值，再根据直线l n−1与直线l n 互相平行并判断出四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S n 的表达式，然后把n ＝2020代入表达式进行计算即可得解．
【详解】
根据题意，A n−1B n−1＝3（n−1）−（n−1）＝3n−3−n ＋1＝2n−2，
A n
B n ＝3n−n ＝2n ，
∵直线l n−1⊥x 轴于点（n−1，0），直线l n ⊥x 轴于点（n ，0），
∴A n−1B n−1∥A n B n ，且l n−1与l n 间的距离为1，
∴四边形A n−1A n B n B n−1是梯形，
S n ＝
12（2n−2＋2n ）×1＝12
（4n−2）=2n-1， 当n ＝2020时，S 2020＝2×2020-1=4039 故答案为：4039．
【点睛】
本题是对一次函数的综合考查，读懂题意，根据直线解析式求出A n−1B n−1，A n B n 的值是解题的关键，要注意脚码的对应关系，这也是本题最容易出错的地方．
三、解答题
21．（1）()2,0B ；（2）证明见解析；（3）点P 在直线上运动；2y x =-；（4）8.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）根据题意作图，再根据等腰直角三角形的性质判定AOC CDP ∆∆≌；
（3）根据题意去特殊点，再利用待定系数法即可求解；
（4）当P 在B 点时，AP 最小，故可求解.
【详解】
（1）∵点A 的坐标是(0,2)，△AOB 为等腰直角三角形，
∴AO=BO
∴()2,0B
（2）如图，
∵ACP ∆是等腰直角三角形，且90ACP ∠=︒∴AC PC =
∵PD BC ⊥∴90PDC ∠=︒∴90AOC PDC ∠=∠=︒，90DPC PCD ∠+∠=︒
∵90
ACP
∠=︒∴90
ACB PCD
∠+∠=︒∴DPC ACB
∠=∠
在AOC
∆和CDP
∆中，
,
,
.
AOC PDC
DPC ACB
AC PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
AOC CDP AAS
∆∆
≌
(3)点P在直线上运动；
∵两点确定一条直线
∴可以取两个特殊点
当P在y轴上时，2
OP OC OA
===，
∴()
0,2
P-
当P在x轴上时，2
OP OA
==，∴()
2,0
P
设所求函数关系式为y kx b
=+；
将()
2,0和()
0,2
-代入，得
20,
2.
k b
b
+=
⎧
⎨
=-
⎩
2
20
b
k b
=-
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1,
2.
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
2
1
b
k
=-
⎧
⎨
=
⎩
所以所求的函数表达式为2
y x
=-；
（4）如图，作AP⊥直线2
y x
=-，即P与B点重合，
∴AP2=22+22=8.
【点睛】
此题主要考查一次函数的几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质。

等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质.
22．（1）
25
4
t=；（2）
32
3
t=.
【解析】
【分析】
（1）根据中垂线性质可知，作AB的垂直平分线，与AC交于点P，则满足PA=PB，在Rt△ABC中，用勾股定理计算出AC=8cm，再用t表示出PA=t cm，则PC=()
8t-cm，在Rt△PBC中，利用勾股定理建立方程求t；
（2）过P作PD⊥AB于D点，由角平分线性质可得PC=PD，由题意PC=()
t8
-cm，则PB=()()
6t8=14t
---cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理建立方程求t.
【详解】
（1）作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于P ，连接PB ，如图所示，
由垂直平分线的性质可知PA=PB ，此时P 点满足题意，
在Rt △ABC 中，2222AC=AB BC =106=8--cm ，
由题意PA= t cm ，PC=()8t -cm ，
在Rt △PBC 中，222PC +BC =PB ，
即()2228t +6=t -，解得25t=4
（2）作∠CAB 的平分线AP ，过P 作PD ⊥AB 于D 点，如图所示
∵AP 平分∠CAB ，PC ⊥AC ，PD ⊥AB ，
∴PC=PD
在Rt △ACP 和Rt △ADP 中，
AP=AP PC=PD ⎧⎨⎩
∴()Rt ACP Rt ADP HL ≅
∴AD=AC=8cm
∴BD=AB-AD=10-8=2cm
由题意PD=PC=()t 8-cm ，则PB=()()6t 8=14t ---cm ，
在Rt △ABD 中，222PD +BD =PB
即()()22
2t 8+2=14t -- 解得32t=
3
【点睛】 本题考查了勾股定理的动点问题，熟练运用中垂线性质和角平分线性质，找出线段长度，
利用勾股定理建立方程是关键.
23．（1）±4；（2）5
【解析】
【分析】
（1）分别求出一次函数y=2x+b 与坐标轴的交点，然后根据它的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4列出方程即可求出b 的值；
（2）由题意可知：三条直线交于一点，所以可先求出一次函数y=-2x+1与y=x+4的交点坐标，然后代入y=2x+b 求出b 的值．
【详解】
解：（1）令x=0代入y=2x+b ，
∴y=b ，
令y=0代入y=2x+b ，
∴x=-2
b ， ∵y=2x+b 的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4， ∴
12×|b|×|-2
b |=4， ∴b 2=16，
∴b=±4； （2）联立214
y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得：13
x y =-⎧⎨=⎩， 把（-1，3）代入y=2x+b ，
∴3=-2+b ，
∴b=5，
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，图形与坐标的性质，待定系数求一次函数的解析式，解题的关键是根据条件求出b 的值，本题属于基础题型．
24．（1）24米；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【解析】
【分析】
（1）应用勾股定理求出AC 的高度，即可求解；
（2）应用勾股定理求出B ′C 的距离即可解答．
【详解】
（1）如图，在Rt △ABC 中AB 2=AC 2+BC 2，得
AC 米)
答：这个梯子的顶端距地面有24米．
（2）由A 'B '2=A 'C 2+CB '2，得
B
'C=2222
'''25(244)
A B A C
-=--=15(米)，
∴BB'=B'C﹣BC=15﹣7=8(米)．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
25．见解析
【解析】
【分析】
由HL证明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B=∠E，再用边角边证明△ABC≌△DEF．
【详解】
已知：如图所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，DK⊥EF，且AH＝DK．
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，
∴∠AHB＝∠DKE＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEK中，
AH DK
AB DE
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），
∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
AB DE
B E
BC EF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质和命题的证明方法，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是将命题用几何语言规范书写成几何证明格式．
四、压轴题
26．（1）2，7，4；（2）83
x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【解析】
【分析】
（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；
（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．
【详解】
解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；
232017⨯+>，所以20的内数是7；
23614⨯+>，所以6的内数是4；
（2）∵3是x 的內数，
∴2331x ≤+， 解得83
x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；
当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，
当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，
……
∴t 的内数=
②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；
∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【点睛】
本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
27．（1）5y x =+；（2
）3）PB 的长为定值
52 【解析】
【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】
（1）对于直线:5L y mx m =+．
当0y =时，5x =-．
当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m ∴=．
解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =
，AM =
∴由勾股定理，
OM ==．
180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒．
90AOM OAM ∠+∠=︒．
BON OAM ∴∠=∠．
在AMO ∆与OBN ∆中，
90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
．
()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．
BN OM ∴==．．
（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．
AEB ∆为等腰直角三角形，
AB EB ∴=
90ABO EBG ∠+∠=︒．
EG BG ⊥，
90GEB EBG ∴∠+∠=︒．
ABO GEB ∴∠=∠．
AOB EBG ∴∆≅∆．
5BG AO ∴==，OB EG = OBF ∆为等腰直角三角形，
OB BF ∴=
BF EG ∴=．
BFP GEP ∴∆≅∆．
1522
BP GP BG ∴===． 【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．
28．（1）56°；（2）y=454x +
；（3）36°或1807
°. 【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454
x +
解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，
∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠BDC=90°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE=34°，
∴∠BPD =90-34=56°；
（2）∵∠A =x °，
∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -
）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454
x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -
）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454
x +
； （3）①若EP=EC ，
则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902
x -
，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454
x +， ∴902x -+902x --（454
x +）=90°， 解得：x=36°；
②若PC=PE ，
则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902
y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=
1807
°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，
由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454
x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或1807
°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.
29．90︒，45︒；20︒，30︒；2a γβ+=，2a γβ-=.
【解析】
【分析】
（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠得 ()1112
EMF BMC C MC ∠=∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=
∠∠=∠得()1112EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.
（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出
11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.
②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出
()112906090A MC ︒︒︒-+∠=，即可求出解.
（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得 2a γβ+=、2a γβ-=.
【详解】
解：（1）①如图①中，
1112EMC BMC ∠=∠，1112
C MF C MC ∠=∠， ()1111111800229EMF EMC C MF BMC C MC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠⨯=+∠=， 故答案为90︒. ②如图②中，111111,22
EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠， ()111111904522EBF EBC C BF ABC C BC ︒︒∴∠=∠+∠=
∠+∠=⨯=， 故答案为45︒.
（2）①如图③中由折叠可知，
11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，
1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠，
11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠，
11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠，。