广东省中山市普通高中高二数学1月月考试题04

高二数学1月月考试题04
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1、函数f(x)＝x+cosx 在点⎪⎭⎫
⎝⎛)3(,3
ππ
f 处切线的斜率是（ ）
A. 231-
B. 231+
C. 233-π
D. 2
3
3+π 2、从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.
12 B.13 C.2
3
D.1
3、已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
4、条件210p x ->：
，条件2q x <-：，则p ⌝是q ⌝的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 5、下列命题是真命题的是（ ）
①“若2
2
0x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题； ②“正六边形都相似”的逆命题；
③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题； ④“若123x -是有理数，则x 是无理数”.
A ．①④
B ．③④
C ．①③④
D ．①②③④
6、已知焦点在x 轴上的双曲线，其两条渐近线方程为x y 2
1
±
=，则该双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. 4
5
C. 5
D. 25
7、某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19，则这射手在一次射击中不够9环的概率是（ ）
A.0.48
B.0.52
C.0.71
D.0.29
8、利用独立性检验来考虑两个分类变量X 与Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y
有关系”的可信度。

如果k ≈3.852，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）
A ．25%
B .95%
C . 5% D. 97.5%
9、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A B C D
10、设F 1
、F 2为双曲线1
4
22
=-y x
的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90o ，则△F 1PF 2的面积是（ ） A. 5 B.
2
5
C. 2
D. 1 11、已知点P 在抛物线y 2
＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）
A. )1,41(-
B. )1,4
1( C. （1,2） D. （1,－2）
12、把一条长10厘米的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率是（ ） A.
31 B. 41 C. 103 D. 5
3 第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题（每小题5分，共4×5=20分）
13、 抛物线x 2
=ay 的准线方程是y=2，则a=_________;
14、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图。

为了用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应由出 人。

频率/
15、已知x 与y 之间的一组数据为
则y 与x 的回归直线方程a bx y +=必过定点______;
16、函数f(x)=2x 2－lnx 的单调递减区间是_______; 三、解答题：（共6个小题，共70分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（10分）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=
e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 求此椭圆方程。

18、（12分）已知命题p ：“方程x 2
+mx+1=0有两个相异负根”,
命题q ：“方程4x 2
+4(m －2)x+1=0无实根”，若p 或q 为真，p 且q 为假， 试求实数m 的取值范围。

19、（
（1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245, z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。

7.（12分）已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2
＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行。

二、. 求a 、b 的值；
三、. 当x ∈[1,3]时，f(x)＞1－4c 2
恒成立，求实数c 的取值范围。

21、（12分）已知椭圆14
92
2=+y x 内有一点P （2，1）,过点P 作直线交椭圆于 A 、B 两点。

(1).若弦AB 恰好被点P 平分，求直线AB 的方程；
(2).当原点O 到直线AB 的距离取最大值时，求△AOB 的面积。

22、（12分）已知函数f(x)＝x 3
－x ＋a ，x ∈R. (2). 求 f(x)的单调区间；
(2).若曲线y ＝f(x)上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，
求a 的取值
参考答案
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、‐8 ； 14、25 15、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,23 16、 ⎥⎦⎤ ⎝
⎛21,0 （或⎪⎭
⎫ ⎝
⎛2
1,0）
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分） 17、（10分）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42
-=的焦点重合， 求此椭圆方程。

解：∵ 抛物线x y 42
-=的焦点为 （-1,0）……………….2分
∴ c=1 ………………………………4分 又∵ 2
1
==
a c e ∴ a=2 ………………6分 ∴
b 2
=a 2
-c 2
=3 ………………………………8分
∴ 所求椭圆的方程为 13
42
2=+y x 。

…………………10分 18、（12分）已知命题p ：“方程x 2
+mx+1=0有两个相异负根”,
命题q ：“方程4x 2
+4(m －2)x+1=0无实根”，若p 或q 为真，p 且q 为假，试求实数m 的取值范围。

解：∵ 方程x 2
+mx+1=0有两个相异负根
∴ ⎩⎨⎧<-=+>-=∆0
04212m x x m 得 m>2 ,即命题p ：m>2 ………………2分
又∵ 方程4x 2
+4(m －2)x+1=0无实根
∴ △=16(m －2)2
-16<0 解得 1<m<3, 即 命题q ：1<m<3 …4分 又∵ p 或q 为真，p 且q
为假
∴ p 和q 一真一假 …………………………………………6分 ① 当p 真q 假时，⎩⎨
⎧≥≤>3
12
或m m 得 m ≥3 …………………8分
②当p 假q 真时，⎩
⎨⎧<<≤312
m m 得 1<m ≤2 ………………10分
综上所述，实数m 的取值范围是 (][)+∞,32,1 。

…………12分 19、（
（1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245, z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率。

解：（1）
0.192000
x
= ， ∴ 380x = ……………………4分 （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
48
500122000
⨯= （名）………………………………………8分 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且,y z N ∈，基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个. 事件A 包含的基本事件有： （251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个. ∴ 5
()11
P A =
…………………………………….12分
20、(12分)已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2
＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线与
直线6x ＋2y ＋5＝0平行。

(1). 求a 、b 的值；
(2). 当x ∈[1,3]时，f(x)＞1－4c 2
恒成立，求实数c 的取值范围。

解：(1).∵ f(x)＝x 3＋3ax 2
＋3bx ＋c
∴ )(x f '=3x 2
＋6ax ＋3b ∵ f(x)在x ＝2处有极值
∴ )2(f '=12+12a+3b=0 ①…………………………….2分 又∵ f(x)图像在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行 ∴ )1(f '=3+6a+3b=－3 ② ……………………4分 联立①② 得 a=－1 b=0 …………………6分
(2). ∵ 在x ∈[1,3]内，f(x)= x 3－3x 2＋c ＞1－4c 2
恒成立
∴ )(x f '=3x 2
－6x=0 得 x=0或x=2 ………8分 又∵ f(2)=c －4 , f(1)=c －2 , f(3)=c
∴ f(x)min =c －4 ……………………10分
∴ c －4＞1－4c 2
解得 c 的取值范围为14
5>-<c c 或。

…12分
21、（12分）已知椭圆14
92
2=+y x 内有一点P （2，1）,过点P 作直线交椭圆与A 、B 两点。

(1).若弦AB 恰好被点P 平分，求直线AB 的方程；
(2).当原点O 到直线AB 的距离取最大值时，求△AOB 的面积。

解：(1).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB 的斜率为k
由A 、B 在椭圆上，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+②
①
149
1492
2222
121y x y x
又∵ P （2，1）是AB 的中点 ， ∴ ⎩⎨⎧=+=+24
2121y y x x ……….…2分
由①－② 得
()()()()04
9
21212121=-++-+y y y y x x x x
∴ k=
2121x x y y --=－9
8
…………...….4分
∴ 直线AB 的方程为y －1=－
9
8
(x －2) 即 8x+9y －25=0 ；……6分 (2).当原点O 到直线AB 的距离取最大值时 OP ⊥AB ∵ k OP =
2
1
∴ k AB =－2 ∴ 直线AB 的方程为 y －1=－2(x －2) 即 2x+y-5=0 ……8分
联立方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+149
0522
2y x y x 得 40x 2
-180x+189=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
=+401892
92121x x x x
∴ |AB|=212212
4)(1x x x x k -++=
32
3
…………………10分 ∴ S △AOB =
2
1|OP||AB|=1543 。

…………………………12分
22、（12分）已知函数f(x)＝x 3
－x ＋a ，x ∈R.
(1). 求 f(x)的单调区间；
(2). 若曲线y ＝f(x)上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求a 的取值范围。

解：(1). 令)(x f '=3x 2
-1=0 得 x=3
3
±
………………2分
∴ f(x)的单调递增区间是 (-∞, 33-
) 和(3
3,+∞)
单调递减区间是 (33-
,3
3) ………………………6分 (2). 由题设条件知 A 、B 为函数f(x)的两个极值点， 由(1)知 f(x)的极大值为
a +932，极小值为 －a +9
3
2，…………8分 ∵ 线段AB 与x 轴有公共点 ∴ （
a +932）（－a +9
3
2）≤0 ， …………………10分 解得a 的取值范围是 －9
3
2932≤≤a 。

………………12分。