2013年高考预测-数学(10)含答案

2013年高考预测系列试题
【数学】高考预测试题（10）·预测题
新课标高考数学《概率与统计》命题预测
高考命题分析：
1、概率是每年高考的重点考查内容之一，在近几年新课标各省市的高考试卷中，一般命制1~2道题，在整套试卷中占10～15分左右，一般有一道选择题或填空题和一道解答题，在选择题或填空题中往往单独考查古典概型和几何概型，在解答题中往往与统计综合考查。

命题特点是：（1）强化应用意识。

试题一般以应用题的形式呈现，例如2011年山东高考题以我们的日常生活和社会热点为背景，重在考查应用数学的能力。

(2）注重综合能力，尤其加强对数学符号使用能力的考查.
2、统计这一内容是高考考查的一大热点，从基础知识和基本技能的考查到与概率等其他知识的交汇考查，都体现了新课标高考对统计的重视.新课标高考对统计的考查主要体现了以下两个特点：一是覆盖面广，几乎所有的统计考点都有所涉及，说明统计的任何环节都不能遗漏；二是考查力度加大,2011年新课标高考中有关统计的试题量比往年有所增加。

高考命题特点：
1、从内容上看主要考查以下两点
(1)概率与统计包括随机事件、等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,抽样方法，总体分布的估计，线性回归，独立性检验等.
（2）概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围,是考查应用意识的良好素材,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及，问题以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,考查对概率事件的识别及概率计算。

解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用.
2、从考查形式上看主要有以下特点
(1）背景熟悉，切入点实际,注重概念的形成
概率与统计的试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合,变式和拓展,进而加工为立意高、情境新、设问巧，并赋予时代气息，贴近学生实际的问题。

如2012年高考卷中,新课标全国卷第19题以“产品质量"为背景；江西卷第16题以“绩效考评"为背景；广东卷第17题以“测试”为素材，让考生感到真实、亲切。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念。

尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

（2）识图处理数据，追溯概念形成
统计与概率中有大量的数据与图形相关,如:频率分布直方图中样本的数字特征，茎叶图中的原始数据，散点图中的相关性，在2012年的《考试说明》中也要求“了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点”.从一些省份的高考题中也充分的体现了识图处理数据，考查概念和思想的题目，如2012年江西卷第7题、福建卷第19题、浙江卷第13题等.
动向1:抽样方法
内容解读：考查抽样方法及抽样中的计算。

应抓住各种抽样方法及各自特点。

对于分层抽样，与其有关计算在高考试题中较常见,难度较低，关键抓住按怎样的比例分层。

【示例1】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为________。

解析：本题主要考查用分层抽样抽取样本的问题，分层抽样是随机抽样常用的方法之一，其特点是样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等。

抽取的男运动员的人数为错误!×48＝12。

答案12
动向解读：本题考查了分层抽样方法在解决实际问题中的应用，注重考查了考生的实际应用能力。

动向2：频率分布直方图的考查
内容解读：考查频率分布直方图的识图与计算。

重点考查看图、识图的能力，对频率分布直方图中各参数的认识，以及在统计学中样本对总体的估计作用。

延伸：(1）频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率,频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率。

注意频率分布直方图中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×错误!＝频率.
（2）各组频率的和等于1,即所有长方形面积的和等于1。

（3)频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势.
（4）从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容.
【示例2】从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图（如图).由图中数据可知a＝________。

若要从身高在［120，130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在
［140，150]内的学生中选取的人数应为________。

解析：根据频率之和等于1，可知(0。

005＋0。

010＋0。

020＋a ＋0。

035)×10＝1，解得a＝0。

030；身高在[120，150］内的频率为0。

6，人数为60人,抽取比例是错误!，而身高在［140，150]内的学生人数是10，故应该抽取10×错误!＝3人.答案0。

030 3
动向解读：本题主要考查频率分布直方图的应用、考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力。

动向3：有关茎叶图的考查
内容解读:考查茎叶图的识图与计算。

高考常借助样本的数字特征，频率分布直方图、茎叶图来考查考生的绘图、识图和计算能力。

延伸：（1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加，方便记录与表示；
（2）茎叶图只便于表示两位(或一位）有效数字的数据，对位
数多的数据不太容易操作；而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、清晰；
(3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录,不能遗漏。

【示例3】甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________。

解析由茎叶图可知甲的平均数为
乙的平均数为
答案24 23
动向解读：本题考查茎叶图和平均数的基本知识，考查观察能力和计算能力，属于基本题。

茎叶图是近几年考查的热点之一，常与平均数、方差、中位数和众数联合考查。

动向4：有关样本的数字特征的考查
内容解读:考查样本的数字特征的计算.中位数、众数、平均数、标准差（方差）是进行统计分析的重要数字特征，是高考的常考点。

我们不但要熟练掌握公式进行计算,还要理解公式的本质及联系。

【示例4】某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验。

选取两大块地,每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
(1）假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望;
(2）试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2)如下表：
差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1,x2,…，
x n的样本方差s2＝错误!［(x1－错误!）2＋（x2－错误!)2＋…＋（x n－错误!)2］，其中x为样本平均数。

解：（1)X可能的取值为0,1，2，3，4，
且P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝1）＝错误!＝错误!，P(X＝2）＝
错误!＝错误!，
P(X＝3）＝错误!＝错误!，P(X＝4)＝错误!＝错误!。

即X的分布列为:
X的数学期望为：E(X）＝0×
＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋
70
4×错误!＝2。

（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：错误!甲＝错误!×(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406）＝400，s2，甲＝错误!×[（32＋（－3）2＋（－10）2＋42＋（－12)2＋02＋122＋62）］＝57。

25。

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
＝错误!×(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412,错误!乙
s2乙＝错误!×[72＋(－9）2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12）2＋12]＝56。

由以上结果可看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平
均数,且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙。

动向解读：（1）现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道（或不可求）的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差。

(2）平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。

标准差、方差越大，数据的分散程度越大,越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小,越稳定。

动向5：古典概型
内容解读:古典概型是一种最基本的概率模型,在概率部分占有相当重要的地位。

从近年各省市的概率考题来看，古典概型是高考的一个热点。

在解答题中常与统计综合，考查基本概念和基本运算，解答时对数学符号的运用要加以重视。

对于较为复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏.
【示例5】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同。

每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
(1)求在1次游戏中，(i)摸出3个白球的概率；(ii）获奖的概率；
（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）。

解:（1）（i)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A i（i＝0，1，2，3)，则P（A3)＝错误!·错误!＝错误!。

（ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!，且A2,A3互斥,所以P（B）＝P(A2)＋P （A3)＝错误!＋错误!＝错误!.
（2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2。

P（X＝0)＝错误!2＝错误!，P（X＝1）＝C错误!错误!×错误!＝错误!,P（X ＝2)＝错误!2＝错误!.
所以X的分布列是
X的数学期望E错误!错误!错误!＝错误!.
动向解读：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.
动向6:互斥事件的概率加法公式
内容解读:概率加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些较为复杂的事件的概率，运用该公式的关键是分清事件之间是否为互斥的关系,高考题中涉及的事件一般都不复杂，容
易辨别，属于中低档题。

另外，此类试题往往与统计综合考查，例如2012年陕西高考题。

认真审题是正确解决该类问题的前提条件。

【示例6】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(,设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
(1）求当天商店不进货的概率;
（2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期望.
解：（1）P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件"）＋P(“当天商品销售量为1件”）＝错误!＋错误!＝错误!.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3。

P（X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件"）＝错误!＝错误!；P（X＝3）＝P(“当天商品销售量为0件")＋P(“当天商品销售量为2件”）
＋P（“当天商品销售量为3件”)＝1
20
＋错误!＋错误!＝错误!。

故X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝2×错误!错误!错误!.
动向解读：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P（A），即运用逆向思维(正难则反），特别是“至多"、“至少"型题目，用间接求解法就显得较简便。

动向7：几何概型
内容解读：几何概型也是一种基本的概率模型，几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有:长度、面积、体积等，解决该类问题的关键是找准几何度量。

例如2012年福建高考题涉及的几何度量就是面积。

新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主.
【示例7】在区间[－1，1]上随机取一个数x，cos错误!的值介于0到错误!之间的概率为________。

解析:在区间［－1，1］上随机取一个实数x，cos错误!的值位于［0，1］区间，若使cos错误!的值位于错误!区间，取到的实数x应在区间错误!
∪错误!内，根据几何概型的计算公式可知P＝错误!＝错误!。

答案错误!
动向解读：解答本题要抓住它的本质特征,即与长度有关.
动向8:概率统计初步综合问题
内容解读：概率统计是高中数学中与实际生活联系最紧密的部分，因此,高考越来越重视对概率统计的考查,把随机抽样、用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向。

概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键,因此在复习该部分时,要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法。

【示例8】编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
（1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
（22人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率。

解：（1）4,6,6。

（2)①得分在区间[20,30）内的运动员编号为A3,A4，A5，A10，A11，A13。

从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4｝,｛A3，A5}，{A3，A10}，｛A3，A11}，｛A3，A13｝，{A4，A5｝,｛A4，A10｝,{A4，A11｝，{A4，A13｝，｛A5，A10｝，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11｝，｛A10，A13｝，｛A11，A13},共15种。

②“从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50"（记为事件B）的所有可能结果有：{A4，A5｝,{A4，A10｝,{A4，A11}，｛A5，A10｝，｛A10,A11｝，共5种。

所以P（B）＝错误!＝错误!.
动向解读：本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。