【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题6_不等式最新模拟_理

【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题6 不等式最新模拟
理
1、（2012滨州二模）不等式｜x －5｜－｜x －1｜＞0的解集为 （A ）(－∞，3) （B ）(－∞，－3) （C ）(3，＋∞) （D ）(－3，＋∞)
2、（2012德州二模）已知函数()|1||23|,f x x x =--+则f （x ）≤1的x 的取值范围是 。

答案：（－∞，－3］⋃［－1，＋∞） 解析：依题意，有｜x －1｜－｜2x ＋3｜≤1， ①当x≤－3
2
时，原不等式化为：1－x ＋2x ＋3≤1，解得：x≤－3，所以x≤－3； ②当－
3
2
＜x ＜1时，原不等式化为：1－x －2x －3≤1，解得：x≥－1，所以－1≤x＜1； ③当x≥1时，原不等式化为：x －1－2x －3≤1，解得：x≥－5，所以x≥1； 综上可知：x 的取值范围是（－∞，－3］⋃［－1，＋∞） 3、（2012
德州一模）若直线100ax by (a,b (,))+-=∈+∞平分圆
222220x y x y +---=，则12
a b
+的最小值是( )
A ．
B ．3+．2 D ．5
4、（2012济南3月模拟）已知实数x ,y 满足|2x +y +1|≤|x +2y +2|，且11≤≤-y ，则z =2x +y 的最大值
A. 6
B. 5
C. 4
D. -3 【答案】
B
5、（2012济南三模）若全集U =R ，集合{235}A x x =+<，B =｛3|log (2)x y x =+｝，则()U
C A
B =
A ．{}14≥-≤x x x 或
B ．
{}
14>-<x x x 或
C ．
{}12>-<x x x 或
D ．{}12≥-≤x x x 或
答案：D
解析：因为
}14{}532{<<-=<+=x x x x A ，
}2}{02{})2(log {3->>+=+==x x x x x y x B ，所以}12{<<-=⋂x x B A ，所
以}21{)(-≤≥=⋂x x x B A C U 或，选D.
6、（2012莱芜3月模拟）若设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数
24z x y =+的最大值为
(A)10
(B)12
(C)13
(D) 14
【答案】C
【解析】
7、（2012临沂3月模拟）实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=取得最大值
4，则实数a 的值为
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）
2
3
8、（2012临沂二模）设{}
213A x x =-≤，{}
0B x x a =->，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是
（A ）()-∞，-1 （B ）(1]-∞-， （C ）(2)-∞-， （D ）(2]-∞-，
【解析】集合}21{}3123{≤≤-=≤-≤-=x x x x A ，而}{a x x B >=，因为A B ⊆，所以1-<a ，选A.
9、（2012青岛二模）设变量,x y 满足约束条件：3
123
x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
,则目标函数1y z x +=的
最小值为 .
答案：1
【解析】画出可行域得()2,1点为选用目标，所以()111(1)
1.020
y y z x x --+--=
===-- 10、（2012青岛3月模拟）已知0,0a b >>,且24a b +=,则
1
ab
的最小值为 A.
41 B.4 C.2
1
D.2 答案：C
【解析】
142114424a b ab ab ab b a +===+≥2,ab ≤11
.2
ab ≥ 11、（2012日照5月模拟）在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
200
x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y
x z 23+=的最大值的变化范围是
.
12、（2012泰安一模）函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则
n
m 2
1+的最小值等于 A.16
B.12
C.9
D. 8
【解析】令13=+x ，得2-=x ，此时1-=y ，所以图象过定点A )1,2(--,点A 在直线
01=++ny mx ,所以
12=+--n m ，即
12=+n m .
8424442)(21=+≥++=++n m m n n m n m ）（，当且仅当n
m
m n 4=
，即m n 2=时取等，此时2
1
,41==n m ，选D.
13、（2012烟台二模）已知函数()f x x 2,=-若a 0≠，且a,b R ∈，都有不等式
()a b a b a f x ++-≥成立，则若实数x 的取值范围是＿＿＿
答案：［0,4］
解析：因为｜a ＋b ｜＋｜a －b ｜≥2｜a ｜，依题意，得： ｜a ｜f （x ）≤｜a ＋b ｜＋｜a －b ｜恒成立，就有｜a ｜f （x ）≤2|a｜，所以，f （x ）≤2，画出f （x ）＝｜x －2｜的图象，如右图，当f （x ）≤2，时有0≤x≤4。

14、（2012烟台二模）已知向量()(),1,2,,=-=+a x z b y z r r
且⊥a b r r ，若变量x,y 满足
约束条件1
325x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则z 的最大值为
15、（2012滨州二模）设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0
，
b ＞0）的最大值为12，则
32
a b +的最小值为 （A ）25
6
（B ）83 （C ）113 （D ）4
答案：D
解析：画出不等式组的可行域，如右图所示，目标函数变为：
a z y x
b b =-+，所直线a
y x b
=-及其平行线，由图可知，当直线经过
点B 时，目标函数取得最大值，求得B 点坐标为（4,6），所以有4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，
32a b
+＝
1326()6a b
⨯+＝
132194(23)()(12)66b a
a b a b a b
⨯++=++
≥1(126+＝4，所以，选D 。

16、（2012德州二模）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤+≤≤14300a
y
a x y x ，若11--=x y z 的最小值为41
，
17、（2012德州一模）已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组501x y y x x +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
确定，若M(x,y )为区域D 上的动点，点A 的坐标为(2，3)，则z OA OM =的最大值为( )
A.5 B ．10 C ． 14 D ．25
2
答案：C
解析：不等式组的可行域如图所示BCD 区域，
z OA OM =＝|OA||OM |cos AOM ∠
＝|cos AOM ∠
ON |，所以就是求|ON |的最大值，当点M 在D 点时，
|ON |最大，D （1,4），OA
＝，OD
＝，AD
＝
，
cos ON AOD OD ∠=
==，所以，|ON |
＝
，因此最大值为：
ON |＝14，故选C 。

18、（2012德州一模）不等式2
313|x ||x |a a ++-≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
答案：［-1,4］
解析：因为314|x ||x |++-≥，即31|x ||x |++-的最小值为4，原不等式写成：
23a a -≤31|x ||x |++-，则23a a -小于或等于31|x ||x |++-的最小值，即： 23a a -≤4，解得14a -≤≤。

19、（2012临沂3月模拟）不等式312<+x 的解集为___________；
20、（2012青岛二模）设x 、y 满足约束条件360
200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
，则目标函数22
z x y =+的最大
值为 .
【答案】52
【解析】目标函数几何意义为区域内动点P 到原点的距离的平方，做出图象如图
，由图象可知当点P 在C 点时到原点的距离最大，由
⎩⎨⎧=--=+-06302y x y x ，得⎩⎨
⎧==6
4y x 此时C 点坐标为)6,4(，所以52642
2=+=z 。

【2012安徽省合肥市质检理】设1
02m <<
，若1212k
m m +≥-恒成立，则k 的最大值
为 ；
【山东省微山一中2012届高三模拟理】5．若x ，y 满足约束条件
11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数
2z x y =+的最大值是 （ ）
A ．－3
B ．3
2 C ． 2 D ．3
答案D
解析:该题通过由约束条件
11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，求目标函数2z x y =+的最大值简单考查线性规划
求最优解问题;只要画出可行域即可看出最优解.
【山东省潍坊市三县2012届高三模拟理】6．设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是
（ ）
A ．ab ＜b2＜1
B ．2
1
log b ＜
2
1
log a ＜0 C ．2b ＜2a ＜2 D ．a2＜ab ＜1
【答案】C
【解析】因为b ＜a ＜1,所以2b ＜2a <1,故选C.
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（11）如果不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≥01,
2,
0y kx x y x 表示的平
面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为
（A ）5121或
（B ）31
2
1或
（C ）41
5
1或
（D ）21
4
1或
【山东实验中学2012届高三第四次诊断性考试理】10. 设x 、y 满足约束条件，
若目标函数
（其中0,0a b >>)的最大值为3,则
的最小值为（）
(A) . 3 (B) . 1 (C) .2 (D) . 4 【答案】A
【解析】解：如图所示，线性规划区域为三角形ABC ，而目标函数的斜率为a
k b =-
<0，
因此目标函数的最大值即为过点B （1,2）取得。

所以有a+2b=3,
121121220,0,()()(2)(5)
331(5
)33a b
a b a b a b a b b a
a
>>∴+=++=++≥+=
（当且仅当a=b=1时，等成立），故
12
a b +的最小值为3 【山东省潍坊市三县2012届高三联考理】
【2012唐山市高三模拟统一考试理】已知变量x ，y 满足约束条件
10,
310,10,y x y x y
x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
则
2z x y =+的最大值为 。

【答案】 2
【解析】本题主要考查线性规划的最优解. 属于基础知识、基本运算的考查.
实数x，y满足不等式组
10,
310,
10,
y x
y x
y x
+-≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪-+≥
⎩则可行域如图，作出2
y x
=-，平移，当直线通
过A(1,0)时，
2
z x y
=+的最小值是⒉.
【2012年西安市高三年级第三次质检理】在平面直角坐标系xOy上的区域D
由不等式组
给定.若M(x ,y)为D上的动点，点N 的坐标为（，1)，则的最大值为. _______
【答案】4
【解析】本题主要线性规划可行域的概念、平面向量的数量积. 属于基础知识、基本运算的考查.
2
z OM
ON x y =⋅=+
【2012年西安市高三年级第四次质检理】不等式|x+1| + |x-1|<3的实数解为_______
【答案】33(,)
22-
【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.
法 1 由绝对值的意义，|1|,|1|x x -+分别表示数轴上的点到1，-1的距离。

由图知，
3322x -<<时符合|x+1| + |x-1|<3
∴不等式|x+1| + |x-1|<3的解集为33
(,)
22-
法2 列表法
∴不等式|x+1| + |x-1|<3的解集为33(,)
22-
【2012江西师大附中高三模拟理】不等式
x x x x 2
2->-的解集是（ ）
A．)2,0(B．)0,
(-∞C．)
,2(+∞D．)
,0(
)0,
(+∞
⋃
-∞
【2012江西师大附中高三模拟理】设变量,x y满足约束条件：
34,|3|
2
y x
x y z x y
x
≥
⎧
⎪
+≤=-
⎨
⎪≥-
⎩
则
的
最大值为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划的最优问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
如图，作出变量,x y满足约束条件
34,
2
y x
x y z x y
x
≥
⎧
⎪
+≤=-
⎨
⎪≥-
⎩
则
可行域
是三角形ABC；A(-2,2),B(-2,-2)作出直线
30 x y
-=,
|3|3
z x y x y z
=-⇒-=±,考虑直线3
x y z
-=±在y
轴上截距的绝对值，由图知直线过A点时|3|
x y
-有最大值8
【2012厦门市高三模拟质检理】若实数x，y满足不等式组
10,
220,
0,
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≥
⎩，则：z＝
2x + y的最小值为
A.－2
B.1
C.4
D. 2
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划的最优解问题. 属
于基础知识、基本运算的考查.
作出约束条件
10,
220
0,
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≥
⎩的可行域，如右的阴
影部分，作出辅助直线 y＝2x，平移，易知直线过A时，z＝2x + y的最小值为1
【2012∙厦门模拟质检理12】若变量x,y满足约束条件⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
≥
-
+
≤
-
-
2
2
2
y
x
y
x
y
x
，则z＝2x－y的
最大值等于。

【2012浙江宁波市模拟理】已知实数
y
x,满足
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
-
+
≥
+
-
3
8
2
1
x
y
x
y
x
，若
)
2
5
,3(
是使得
y
ax-取得
最小值的可行解，则实数a的取值范围为
.
【2012安徽省合肥市质检理】已知2,,z x y x y =+满足2y x x y x m ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且z 的最大值是最小值
的4倍，则m 的值是 （ ）
A ．17
B ．16
C ．15
D ．14
【答案】D
【解析】画出可行域可知，如图，
最大值在点(1,1)取得
max 3
z =，最小值在点(,)m m 取得
min 3z m
=，由343m =⨯，解得
14m =。

【2012山东青岛市模拟理】变量x ，y 满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩，目标函数y x z +=2，则
有
A ．z z ,3min =无最大值
B ．,12max =z z
无最小值
C ．
3
,12min max ==z z
D ．z 既无最大值，也无最小值
【2012山东青岛市模拟理】已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则n
m
42+的最小值
为 .
【答案】4
【解析】因22m n +=
，所以224224m n m n +=+≥==（取等条件当
且仅当
11,2m n ==
）。

【2012江西南昌市调研理】不等式1
1
x ≤的解集是 ( )
A ．(1,+∞) B．[1,+∞) C．(-∞,0)∪[1,+∞) D．(-∞,0)∪(1,+∞)
【2012广东佛山市质检理】已知不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥≤a x x y x
y ， 表示的平面区域的面积为4，点)
,(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为 .
【答案】6
【解析】画出可行域得
故可行域的面积21
24
2S a a a =⨯⨯==，解得2a =，做目标直线2y x =-，平移可知，
在点(2,2)处
max 2226
Z =⨯+=。

【2012河南郑州市质检理】若实数
y
x z x y x y x y x 23000
1,+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-则满足的最小值是（ ）
A ．0 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B
【解析】由题可知，23
x y
z +=的最小值，即'2z x y =+的最小值，画出可行域，可得在
点(0,0)处'2z x y =+取最小值0，即0min 31z ==，选B 。

【2012北京海淀区模拟理】若实数,x y 满足40,250,10,x y x y y ì+-?ïïï
+-?íïï-?ïïî 则2z x y =+的最大值
为 .
【答案】7
【解析】画出可行域得
由图可知，在点(1,3)处2
z x y
=+取最大值为7.
【2012∙宁德质检理12】已知实数x，y满足
2,
38,
0,
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩则2
z x y
=-的最大值
为。

【2012∙深圳中学模拟理9】已知实数x、y满足⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
-
-
≥
-
+
3
1
,0
9
4
y
y
x
y
x
，则x－3
y的最大值
是 .
【答案】-1
【解析】解：作出不等式组表示的平面区域如图：
作直线l: x－3y=0, 平移直线l，当直线l经过4x+y－9=0与x－y－1=0的交点P(2, 1)时，目标函数z=x－3y取得最大值z=2－3×1=－1,∴x－3y的最大值为－1.
【2012∙海南嘉积中学模拟理11】某企业准备投资A、B两个项目建设，资金来源主要靠企业自筹和银行贷款两份资金构成，具体情况如下表。

投资A项目资金不超过160万元，B项目不超过200万元，预计建成后，自筹资金每份获利12万元，银行贷款每份获利10万元，为获得总利润最大，那么两份资金分别投入的份数是（）
单位：万元
项目自筹每份资金银行贷款每份资金
A 20 30
B 40 30
A、自筹资金4份，银行贷款2份
B、自筹资金3份，银行贷款3份
C、自筹资金2份，银行贷款4份
D、自筹资金2份，银行贷款2份
【2012∙黑龙江绥化市一模理15】已知实数x，y满足
1
21
y
y x
x y m
≥
⎧
⎪
≤-
⎨
⎪+≤
⎩，如果目标函数z x y
=-
的最小值为-1，则实数m=___.
【答案】5
【解析】作出
1
21
y
y x
x y m
≥
⎧
⎪
≤-
⎨
⎪+≤
⎩的可行域，当⎩
⎨
⎧+
=
-
=
3
1
3
1
2
m
x
m
y
时
z x y
=-的最小值为-1，解5
=
m；
【2012∙ 浙江瑞安模拟质检理6】若关于y x ,的不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥ax y y x x 21表示的区域为三角
形，则实数a 的取值范围是( )
A ．)1,(-∞
B ．)1,0(
C ．)1,1(-
D ．),1(+∞ 【答案】C
【解析】由
{12
≥≤+x y x 得M （1,1），因为不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥ax y y x x 21
表示的区域为三角形，所以
11<<-a
【2012·泉州四校二次联考理12】若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨
≤-≤⎩
，则2z x y ＝＋
的最小值为_______．
【2012黄冈市高三上学期模拟考试理】不等式|1||2|3x x -+->的解集为 。

【答案】 （-,∞0）⋃（3，+∞）
【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.
法 1 由绝对值的意义，|1|,|2|x x --分别表示数轴上的点到1，2的距离。

由图知，
03x x <>或时符合|1||2|3x x -+->
∴不等式|1||2|3x x -+->的解集为（-,∞0）⋃（3，+∞） 法2 列表法
∴不等式|1||2|3x x -+->的解集为（-,∞0）⋃（3，+∞）
【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】设实数x ，y 满足不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+021
y x y x y ，则
y x z 2-=的最小值是 ．
【2012厦门市高三模拟质检理】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+-9622
x x x )
1()1(≤>x x ，则不等式f(x)＞f (1)
的解集是 。

【2012金华十校高三模拟联考理】已知实数x，y满足不等式组
220
y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪--≤
⎩，则目标函数
z x y
=+的最大值是。

【答案】 4
【解析】本题主要考查线性规划的最优解问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
实数x，y满足不等式组
220
y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪--≤
⎩则可行域如图，作出y x
=-，平移，当直线通
过A(2,2)时，z x y
=+的最小值是4.
【2012唐山市高三模拟统一考试理】已知
()|1||1|,()4
f x x x f x
=++-<
不等式
的解
集为M。

（1）求M；
（2）当,a b M
∈时，证明：2|||4|.
a b ab
+<+
【山东省滨州市沾化一中2012届高三模拟理】
18．（本题满分12分）解关于x 的不等式021
2
>---x x ax
【答案】18．（本小题满分12分）
解：原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax …………1分
当a =0时，原不等式等价于0)1)(2(<+-x x ……………2分 解得21<<-x ，此时原不等式得解集为{x|21<<-x }； ……………3分
当a >0时, 原不等式等价于0
)1)(2)(1
(>+--x x a x , ……………4分
当,
21
时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且； ……………5分
当0<
,
21
时<a 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或； ……………6分 当,
21
时>a 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧><<-211|x a x x 或； ……………7分 当a <0时, 原不等式等价于0
)1)(2)(1
(<+--x x a x ， ……………8分
当1-=a 时, 原不等式的解集为{}12|-≠<x x x 且； ……………9分。