有关等腰三角形问题

初一暑期数学基础巩固与方法培养训练（十四）
专题（四）：有关等腰三角形问题
等腰三角形是一类特殊的三角形，正因为它特殊，所以它比一般的三角形应用更为广泛，因此学好等腰三角形有关知识是很必要的．下面就有关知识从四个方面进行解读．
一、概念篇
1．等腰三角形概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2．等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．
说明：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形一定是等边三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．
3．等腰直角三角形概念：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．
二、特征篇
1．等腰三角形特征：（1）等腰三角形是轴对称图形，其底边中线所在直线是它的对称轴，或底边上的高所在直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在直线是它的对称轴；（2）等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”；（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线互相重合，称“三线合一”．说明：根据等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中两底角的平分线、两腰的中线、两腰的高相等；等腰三角形的两底角相等是说明两角相等的依据；“三线合一”是说明两角相等、两线相等及两线垂直的重要依据．
2．等边三角形特征：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形所有特征外，还具有：（1）它只有三条对称轴；（2）三个内角都相等，都等于60º；（3）每条边上的中线都是“三线合一”的线段．
三、识别篇
1．等腰三角形的识别：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称等角对等边．
说明：（1）等腰三角形的识别方法是说明两线段相等的重要方法，它是三角形中角相等关系转化为边相等关系的重要依据，同学们要重点掌握．（2）要注意等腰三角形特征与识别是两个不同的结论，学习时分清它们之间的区别．
2．等边三角形的识别：（1）三条边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形或有两个角为60º的三角形是等边三角形；（3）有一个角为60º的等腰三角形是等边三角形．
四、注意篇
1．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
2．在计算等腰三角形有关边、角问题时，要注意利用分类讨论思想进行全面考虑．
3．注意“三线合一”在处理等腰三角形问题时的综合运用．
五、等腰三角形问题注意分情况讨论
等腰三角形因其内角有顶角和底角之分；其边有底边和腰之分；其形状有锐角三角形、钝角三角形和直角三角形；其高的位置有在形内、在形外和在三角形的一边上；因而有关等腰三角形问题，当题中条件不明确时应分情况讨论，谨防漏解.
（一）对角的讨论
例1 已知等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求三个内角.
（二）对边的讨论
例2 已知等腰三角形的两边长分别为（2x-1）cm和(x+1)cm，周长19cm,求x和三边长.
（三）对形状及高的位置的讨论
例3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三个内角的度数.
（四）对问题本身的讨论
例4 如图3，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AC 边中线BE 分三角形周长为21cm 和15cm ，求三边长
.
六、利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. （一）、证明线段相等
例5 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ， DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .
（二）、证明两条线垂直
例6 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD .
（三）、证明角的倍半关系
例7 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝
12
∠BAC .
（四、证明线段的倍半关系
例8 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
图4
B
F D
E C
A
F E 图3 D C
B
A
C
D
E F 图1
B
A
F D
图2
B
E
C
A
（五）、证明一个角是直角
例9 如图5，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.
（六）、证明线段的和差关系
例10 如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且∠ABC ＝2∠C .求证：CD ＝AB +BD . 练习：.
1、已知：等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于5，求它的周长．
2、10.如果以4cm 长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x 应在的范围是( ) A.x>4cm B.x>2cm C.x≥4cm D.x≥2cm
3、如图，一个顶角为︒40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则
=∠+∠21____.
4、如图，︒=∠15A ，作线段⋅⋅⋅DE CD BC 、、，使⋅⋅⋅====DE CD BC AB ，如此进行下去，一共可以得到 个等腰三角形.
5、已知：等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于15， 求它的周长．
6、已知等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15和18两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长．
7、已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小．
8、已知：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，求这个等腰三角形的底角的度数．
图5
A
B
C
D
E
D 图6
C
E B
A
.
9、 如图1，已知AH ⊥BC 于H ，∠C=28°，且AB+BH=HC ，求∠B 的度数.
图1
10、 如图2，已知AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证AB+BD=AC.
图2
11 如图3，在△ABC 中，AC=AB ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，求证：EF ⊥BC.
图3
12.如图，D E ，分别为ABC △的边A B A C ，上的点，BE 与C D 相交于O 点．现有四个条件：①
A B A C =，②O B O C =，③ABE AC D ∠=∠，④B E C D =．
请你认为这四个结论正确吗？写出一个正确．．的的理由。

13.两个全等的含30 ，60
角的三角板A D
E 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结B D ， 取B D 的中点M ，连结M E ，M C ．试判断E M C △的形状， 并说明理由．
B
C
A E。