河北省衡水中学2018届高三数学上学期二调考试试题理

2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221|x x A ，1|ln()02B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()R A B =I ð（ ） A ．∅B ．1(1,]2-C ．1[,1)2D ．(1,1]-2.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S =（ ） A ．63或120 B ．256C ．120D ．634.42()(1x x+-的展开式中x 的系数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．125.已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．60A ∠=︒的三角形C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D ．等腰直角三角形6.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，15a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C．2D ．927.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83B ．163C ．323D ．168.已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x R ∈）的图像关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图像（ ） A ．关于直线3x π=对称B ．关于点2(,0)3π对称 C ．关于点(,0)3π对称 D ．关于直线6x π=对称9.设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ ） A ．[]8,10B ．(6,)+∞C ．(6,8]D ．[8,)+∞10.已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（1ω>，||2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,]62ππ11.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x <时，()f x 满足2()'()()f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A ．5B ．3C ．1或3D ．112.已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1211sin()2sin()0510πθπθ++-=，则2tan()5πθ+= ． 14.已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，6B π∠=，则BA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为 ．15.数列{}n a 满足1(2|sin |1)22n n n a a n π+=-+，则数列{}n a 的前100项和为 ．16.函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)3A B ϕ>；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞． 其中真命题的序号为 ．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =，4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．18.如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0θπ<<），C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求OA OP S ⋅+u u u r u u u r的最大值；（2）若//CB OP ，求sin(2)6πθ-的值．19.已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈都有0n a >，且33321212()n n a a a a a a +++=+++……．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式1log (1)3n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． 20.已知函数21()ln 2f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值． 21.已知函数2()(1)(1)xf x axe a x =--+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数，2.718281e =…）． （1）若函数()f x 仅有一个极值点，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且1232x x -<+<-． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程将圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）设A ，B 是曲线C 上的任意两点，且OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x a =-++，a R ∈． （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()|2|3f x x +-<，求a 的取值范围．2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷答案一、选择题1-5:BDCCC 6-10:BBADC 11、12：DA 二、填空题13.2 14.3(3,2+ 15.5100 16.②③ 三、解答题17.解：（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，所以2960CE +-=，所以CE =．（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，所以5sin CDE ∠=， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos()cos cossin sin333DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠314525=-⨯+=18.解：（1）由已知得A ，B ，P 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(cos ,sin )θθ，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r(1,0)(cos ,sin )(1cos ,sin )θθθθ=+=+， 所以1cos OA OQ θ⋅=+u u u r u u u r，又因为平行四边形OAQP 的面积为||||sin sin S OA OP θθ=⋅=u u u r u u u r，所以1cos sin )14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++u u u r u u u r ．又因为0θπ<<，所以当4πθ=时，OA OQ S ⋅+u u u r u u u r1．（2）由题意知，(2,1)CB =u u u r ，(cos ,sin )OP θθ=u u u r，因为//CB OP ，所以1tan 2θ=， 因为0θπ<<，所以02πθ<<．由cos 2sin θθ=，22cos sin 1θθ+=，得sin θ=，cos θ= 所以4sin 22sin cos 5θθθ==，223cos 2cos sin 5θθθ=-=，所以sin(2)sin 2coscos 2sin666πππθθθ-=-431552=-⨯=．19.解：（1）由于33321212()n n a a a a a a +++=+++……，① 则有33332121121()n n n n a a a a a a a a ++++++=++++……，② ②—①，得322112112()()n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++……， 由于0n a >，所以211212()n n n a a a a a ++=++++…，③ 同样有21212()(2)n n n a a a a a n -=++++≥…，④ ③—④，得2211n n n n a a a a ++-=+，所以11n n a a +-=（2n ≥）．由3211a a =，3321212()a a a a +=+，得11a =，22a =．由于211a a -=，即当1n ≥时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =．（2）由（1）知n a n =， 则211(2)n n a a n n +=+111()22n n =-+，所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++ (11111111111111)(1)()()()()2322423521122n n n n =-+-+-++-+--++… 1111(1)2212n n =+--++3111()4212n n =-+++． 因为110(1)(3)n n S S n n +-=>++，所以数列{}n S 单调递增，所以min 11()3n S S ==． 要使不等式1log (1)3n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33a a >-． 因为10a ->，所以01a <<，所以1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是1(0,)2．20.解：（1）211'()ax f x ax x x-=-=，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在区间(0,)+∞内单调递增；当0a >时，令'()0f x =，则x =，当0x <<时，'()0f x >，()f x 为增函数，当x >'()0f x <，()f x 为减函数． 所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x的单调递增区间为，单调递减区间为)+∞．（2）由21ln (1)12x ax a x -≤--，得22(ln 1)(2)x x a x x ++≤+， 因为0x >，所以原命题等价于22(ln 1)2x x a x x++≥+在区间(0,)+∞内恒成立． 令22(ln 1)()2x x g x x x++=+，则222(1)(2ln )'()(2)x x x g x x x -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间(0,)+∞内单调递增，由(1)10h =>，11()2ln 2022h =-+<，所以存在唯一01(,1)2x ∈，使0()0h x =，即002ln 0x x +=，所以当00x x <<时，'()0g x >，()g x 为增函数， 当0x x >时，'()0g x <，()g x 为减函数， 所以0x x =时，00max 2002(ln 1)()2x x g x x x ++=+0002(2)x x x +=+01x =，所以01a x ≥，又01(,1)2x ∈，则1(1,2)x ∈, 因为a Z ∈，所以2a ≥， 故整数a 的最小值为2．21.解：（1）'()2(1)(1)(1)(22)xxxf x ae axe a x x ae a =+--+=+-+， 由'()0f x =，得1x =-或220xae a -+=（*）． 由于()f x 仅有一个极值点， 所以关于x 的方程（*）必无解． ①当0a =时，（*）无解，符合题意； ②当0a ≠时，由（*）得22xa e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤． 由于这两种情况都有当1x <-时，'()0f x <，于是()f x 为减函数，当1x >-时，'()0f x >，于是()f x 为增函数，所以仅1x =-为()f x 的极值点． 综上可得a 的取值范围是[]0,1．（2）证明：由（1）得，当102a <<时，1x =-为()f x 的极小值点， 又因为2222(2)(1)(1)10a f a a e e -=---=--+>对于102a <<恒成立，(1)0a f e -=-<对于102a <<恒成立，(0)(1)0f a =-->对于102a <<恒成立，所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ， 当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即121x -<<-，210x -<<且12111()(1)(1)0xf x ax e a x =--+=，22222()(1)(1)0x f x ax e a x =--+=（**），所以1231x x -<+<-．下面再证明122x x +<-，即证122x x <--， 由210x -<<，得2221x -<--<-， 由于1x <-时，()f x 为减函数，于是只需证明12()(2)f x f x >--，也就是证明2(2)0f x --<，22222222222(2)(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=------=----+，借助（**）式代换可得222222(2)(2)x x f x a x e ax e ----=--⋅-22222(2)x x a x e x e --⎡⎤=---⎣⎦，令2()(2)(10)xx g x x e xe x --=----<<， 则2'()(1)()xx g x x e e --=+-，因为2()xx h x ee --=-在区间(1,0)-内为减函数，且(1)0h -=，所以2'()(1)()0xx g x x e e --=+-<在区间(1,0)-内恒成立，于是()g x 在区间(1,0)-内为减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，这就证明了122x x +<-．综上所述，1232x x -<+<-．22.解：（1）设11(,)x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(,)x y ，则有11,1.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为112cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2214x y +=． （2）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线C 的普通方程化为极坐标方程得2222cos sin 14ρθρθ+=． 设1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+，则1||OA ρ=，2||OB ρ=， 则2222222212cos ()1111cos 52sin sin ()||||4424OA OB πθθπθθρρ++=+=++++=． 23.解：（1）当1a =时，()|2||21|f x x x =-++．由()5f x ≥，得|2||21|5x x -++≥．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以x ∈∅； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 故原不等式的解集为4|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）()|2|2|2||2||24||2|f x x x x a x x a +-=-++=-++|2(24)||4|x a x a ≥+--=+， 因为原命题等价于[]min ()|2|3f x x +-<，所以|4|3a +<，所以71a -<<-．。