高中数学人教A版必修4 1.5第1课时 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象 作业 Word版含解析

[A.基础达标]
1．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 解析：选A.只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y ＝sin(x ＋1)的图象，故选A.
2．将函数y ＝cos 3x 的图象向左平移π
4
个单位长度，所得函数的解析式是( )
A ．y ＝cos(3x ＋π4)
B ．y ＝cos(3x －π
4)
C ．y ＝cos(3x －3π4)
D ．y ＝cos(3x ＋3π
4
)
解析：选D.y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝cos 3(x ＋π4)＝cos(3x ＋3π
4
)．故
选D.
3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π
6的图象( ) A ．向左平移π
3个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π
6个单位
D ．向右平移π
6
个单位
解析：选B.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－1
2⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴向右平移π
3
个单位．
4．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π
4
个单位长度，所得图象经过点
⎝⎛⎭
⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53
D ．2 解析：选D.函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π
4
个单位长度得到函数f (x )＝
sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω＞0)，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，故得ω的最小值是2.
5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
解析：选A.由题意，y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位
为y ＝cos(x ＋1)，显然点(π
2
－1,0)在函数图象上．故选A.
6．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π
12
个单位，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图
象，则φ的值为________．
解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12
个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，所以φ的值为π
3.
答案：π3
7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π
4
)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝2sin(x
＋π
4
)的图象，只需将y ＝f (x )的图象上________． 解析：因为T ＝π，所以ω＝2π
T
＝2.
所以f (x )＝sin(2x ＋π
4
)．
因此要得到函数g (x )＝2sin(x ＋π
4
)的图象，只需将f (x )的图象上各点的纵坐标变为原来的
2倍，横坐标变为原来的2倍．
答案：各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍
8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π
6
)的图
象，则φ＝________.
解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)
的图象，而sin(x ＋11π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin(x －π6)，即φ＝11π6
. 答案：11π6
9．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)说明该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的． 解：(1)先列表，后描点并画图.
(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π
6
个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π6的图象．
或把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 1
2
x
的图象．再把所得图象上所有的点向左平移π
3
个单位长度，得到y ＝
sin ⎣⎡⎦
⎤1
2⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象． 10．已知函数y ＝3sin 2x 的图象C 1，问C 1需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭
⎫2x －7π4的图象C 2，并且平移路程最短？
解：①∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤π
2＋⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4 ＝3sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π8， ∴将y ＝3sin 2x 的图象C 1向右平移5π
8
个单位长度可得C 2.
②∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝⎛⎭
⎫2x －5π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π
4＋2π ＝3sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π8， ∴将y ＝3sin 2x 的图象C 1向左平移3π
8
个单位长度可得C 2.
综上可知，平移路程最短的方法是向左平移3π
8
个单位长度．
[B.能力提升]
1．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π
2
个单位长度，所得图象对应的函数( )
A ．在区间[π12，7π
12]上单调递减
B ．在区间[π12，7π
12]上单调递增
C ．在区间[－π6，π
3
]上单调递减
D ．在区间[－π6，π
3
]上单调递增
解析：选B.将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin[2(x －π
2
)
＋π3]＝3sin(2x －2π3)，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12
，k ∈Z ，故递增区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )，当k ＝0时，得递增区间为[π12，7π
12
]，故选B.
2．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭
⎫－π2<θ<π
2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝
⎛⎭⎫0，3
2，则φ的值可以是( )
A.5π3
B.5π6
C.π2
D.π6
解析：选B.将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度，得g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]，
由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝3
2
，sin (θ－2φ)＝3
2，解得θ＝π3，φ＝－k π或－π
6
－k π(k ∈Z )，结合选项取得φ
＝5π
6
. 3．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭
⎫ω>0，－π2≤φ<π
2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6
个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：由题意，y ＝sin x ――→向左平移
π6
个单位长度
y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6―――――――――――――――→每个点的横坐标伸长到原来的2倍
纵坐标不变 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6
所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22
. 答案：2
2
4．某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中0＜A ≤2,0＜ω＜2，－π2＜φ＜π
2
)的图
y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．
解析：在平面直角坐标系中描出这五个点， 如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意； 又因为0＜A ≤2，
函数图象过(4，－2)，所以A ＝2， 因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，
又∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6
，
由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称，知x ＝1时函数取得最大值2， 因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝π3
.
答案：y ＝2sin(π3x ＋π
6
)
5．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π
3
个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．
解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π
3个单位长度后，所得图象的函数解析式为 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π
3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.
因为平移后的图象与原图象重合，
所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k 2
(k ∈Z )，
又因为ω＞0，所以k ≥1，
故ω＝3k 2≥32
.
故ω的最小值为3
2
.
6．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.
(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦
⎤－π4，2π
3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π
6
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y
＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．
解：(1)因为ω＞0，根据题意有
⎩
⎨⎧
－π4ω≥－π22π3ω≤π
2
⇒0＜ω≤3
4.
所以ω的取值范围是⎝⎛⎦
⎤0，34. (2)f (x )＝2sin 2x ，
g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－7
12
π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π
3
，
故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π
3
.。