高三数学人教版一轮复习课件第4章 第3讲

与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝___|a_||_b_|c_o_s_θ___，规定零向量与任一向量
的数量积为 0，即 0·a＝0.
(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘 数
学
文 理
积．
合
订
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
数
学
文
理 合
＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2
订
＝ 22＋4×2×1×cos60°＋4＝2 3.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
6．(教材改编)在圆 O 中，长度为 2的弦 AB 不经过圆心，则A→O·A→B的值为 ___1_____.
[解析] 设向量A→O，A→B的夹角为 θ，则A→O·A→B＝|A→O||A→B|·cosθ＝|A→O|cosθ·|A→B| 数
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三讲 平面向量的数量积
1
知识梳理双基自测
2
考点突破互动探究
3
名师讲坛素养提升
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
文 理
知识梳理双基自测
合
订
数 学
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．向量的夹角
两个非零向量 a 与 b，过 O 点作O→A＝a，O→B＝b，则_∠__A_O__B__叫做向量 a 与 b
AD＝4，则A→C·D→B＝___－__7___.
文
(理)在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝4，E 为 CD 的中点，则A→E·A→C＝( C )
数 学
理
合 订
A．8
B．10
C．12
D．14
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
[解析] (1)本题考查数量积的定义和运算．a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－ 1)＝3.故选 B．
5．a 在 b 方向上的投影＝|a|·cosθ＝a|b·b| .
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．(2018·辽宁鞍山一中模拟)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝
(A)
A．6
B．5
数
C．1
D．－6
学
文
理 合
[解析] 由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A．
∴A→E·A→C＝(34A→C＋14B→D)·A→C＝34|A→C|2＋14B→D·A→C＝34|AC|2＝12，故选 C．
数
文 理
解法二：坐标化：如图建立平面直角坐标系，则 A(－2,0)，C(2,0)，不妨设 学
合
订 D(0,2a)，则 E(1，a)
订
求数量积的向量求解．
(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积
(如本例(3))．
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
〔变式训练 1 〕
(1)(2018·课标全国Ⅱ，4)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)＝
(B)
A．4
B．3
则 A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．
∴A→B＝(－3,0)，B→C＝(0,4)，C→A＝(3，－4)．
∴A→B·B→C＝－3×0＋0×4＝0，
文
理 合 订
B→C·C→A＝0×3＋4×(－4)＝－16，
C→A·A→B＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
∴A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝－25.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
向量数量积的四种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
文 a·b＝x1x2＋y1y2.
数 学
理 合
(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要
文 理 合
＝12|A→B|·|A→B|＝12×( 2)2＝1.
学
订
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
文
考点突破互动探究
理
合
订
数 学
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
考点1 平面向量数量积的运算——师生共研
例1
(1)(2014·重庆)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，
3．a·b 中的“·”不能省略．a·a＝a2＝|a|2.
数
学
文
理 合
4．两向量 a 与 b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且 a 与 b 不共线；两向量 a 与 b 的夹
订
角为钝角⇔a·b<0，且 a 与 b 不共线．当 a、b 为非零向量时 a、b 同向⇔a·b＝|a||b|；
a、b 反向⇔a·b＝－|a||b|.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
[分析] (1)利用数量积的定义求解； (2)利用数量积的坐标公式求解； (3)由已知可得△ABC为Rt△，因此可用多种方法解决． [解析] (1)∵a＝(－2，－6)，
∴|a|＝ －22＋－62＝2 10.
文 理
∴a·b＝2 10× 10cos60°＝10.
cosC＝45，
数
文 理
∴A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝B→C·C→A＋C→A·A→B
学
合
订
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA
＝－20×45－15×35＝－25.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解法二：如图，建立平面直角坐标系，
解法二：由菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°得∠BCD＝120°，∠ABD＝ 数
文 理
30°，在△BCD
中，由余弦定理得
BD＝
3a，所以B→D·C→D＝B→D·B→A＝
学
3a·acos30°
合
订
＝ 3a·a·23＝32a2.故选 D．
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解法三：如图建立平面直角坐标系，则 C(a,0)，A(a2， 23a)，B(0,0)
－kb)＝0，即 a2－k2b2＝0，即 5－25k2＝0，即 k2＝15，所以 k＝± 55.故选 D．
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ __2___3___.
[解析] 由题意知|a＋2b|＝ a＋2b2
订
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．(教材改编)已知向量 a 与 b 的夹角为π3，|a|＝ 2，则 a 在 b 方向上的投影为
(C)
A． 3
B． 2
数
文 理
C．
2 2
D．
3 2
学
合
订
[解析] ∵a 在 b 方向上的投影为|a|·cos a，b ＝ 2cosπ3＝ 22.选 C．
数 学
文
理 合
的夹角；范围是__[_0_，__π_]_.
订
π
a 与 b 的夹角为____2____时，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cosθ 叫做 a
(1)设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝__x_1x_2_＋__y_1_y2__. ②模：|a|＝ a·a＝___x_21＋__y_21_.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
③设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|A→B|＝ x1－x22＋y1－y22.
订
(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0 而 0·a＝0.
2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．
|b|＝ 10，则 a·b＝____1_0___.
(2)(2015·广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，A→B 数
文 理
＝(1，－2)，A→D＝(2,1)，则A→D·A→C＝(
A)
学
合
订
A．5
B．4
C．3
D．2
(3)已知点 A，B，C 满足|A→B|＝3，|B→C|＝4，|C→A|＝5，则A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B 的值是___－__2_5__.
数 学
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
解法三：C→A在B→C上的投影为数量 CB，C→A与A→B上的投影为数量 BA，因此B→C·C→A
＝－B→C2＝－16，
C→A·A→B＝－A→B2＝－9，A→B·B→C＝0.
∴A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝－25.
数
学
文 理 合
C．5·山东高考)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝
订 (D)
A．－32a2
B．－34a2
C．34a2
D．32a2
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(3)(文)(2018·湖南五市十校教改共同体联考)在平行四边形 ABCD 中，AB＝3，
合
订
(2)在□ABCD 中，∵A→B＝(1，－2)，A→D＝(2,1)，
∴A→C＝A→B＋A→D＝(3，－1)
∴A→D·A→C＝(2,1)·(3，－1)＝5.故选 A．
数 学
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(3)解法一：如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且 B＝π2，cosA＝35，
a·b ④夹角：cosθ＝___|_a_||b_|__＝
x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22.
⑤已知两非零向量 a 与 b，a⊥b⇔a·b＝0⇔___x_1_x_2_＋__y1_y_2_＝__0_；a∥b⇔a·b＝
±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．
数
学
文 理 合
⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量B→A＝(12， 23)，B→C＝( 23，12)，则∠ABC＝( A )
A．30°
B．45°
数
文
C．60°
D．120°
学
理
合
订
[解析] cos∠ABC＝|BB→→AA|·|BB→→CC|＝ 23，所以∠ABC＝30°.故选 A．
文 理 合 订
(2)解法一：如图B→D＝B→C＋C→D，又∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°，从而可知B→C与C→D夹角为 60°，又 BC＝CD＝a
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
∴B→D·C→D＝(B→C＋C→D)·C→D＝B→C·C→D＋|C→D|2＝a·acos60°＋a2＝32a2.故选 D．
则A→C·D→B＝(A→B＋A→D)·(A→B－A→D)＝A→B2－A→D2＝9－16＝－7.
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(理)解法一：转化法：注意到菱形的对角线 AC⊥BD．故用A→C、B→D表示A→E，
由题意知A→E＝A→C＋C→E＝A→C＋12C→D＝A→C＋14(B→D－A→C)＝34A→C＋14B→D
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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
4．(教材改编)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，若 a＋kb 与 a－kb 互相垂直，则
实数 k＝( D )
A． 5
B．5
数
文
C．± 5
理
D．±
5 5
学
合
订
[解析] 由已知 a＝(1,2)，b＝(3,4)，若 a＋kb 与 a－kb 互相垂直，则(a＋kb)·(a
解法四：A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝0＋C→A·(B→C＋A→B)＝C→A·A→C＝－A→C2＝－25.
订
解法五：∵A→B＋B→C＋C→A＝0，
将其两边平方可得A→B2＋B→C2＋C→A2＋2(A→B·B→C＋A→B·C→A＋B→C·C→A)＝0，故A→B·B→C
＋A→B·C→A＋B→C·C→A＝－12(A→B2＋B→C2＋C→A2)＝－25.
∴B→D＝B→A＋B→C＝(32a， 23a)，又C→D＝B→A＝(a2， 23a)
∴B→D·C→D＝(32a， 23a)·(a2， 23a)＝34a2＋34a2＝32a2，故
文
理 合
选
D．
订
(3)(文)在平行四边形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，A→C
＝A→B＋A→D，D→B＝A→B－A→D，